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TEOREMAS DE FUNCIONES DERIVABLES
1) TEOREMA DE ROLLE
Enunciado: Si una función es continua en un intervalo [a,b] y derivable en todos sus puntos interiores y f(a) = f(b), existe al menos un punto interior “c” dónde la primera derivada se anula.
H) f(x) es continua en [a,b]
f(x) es derivable en (a,b)
f(a) = f(b)
T) ∃ 𝑐 𝑎⁄^ < 𝑐 < 𝑏 ∧ 𝑓′(𝑐) = 0
D) Como la f es continua y derivable en el intervalo [a,b] alcanza un M y un m , por propiedad de las funciones continuas.
Se presentan dos casos:
a) Si la función es constante: en todo intervalo [a,b] su derivada f’(x) = 0 en todos los puntos interiores. 𝑀 = 𝑚 = 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑅 ∴ 𝑓′(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
b) Si la función no es constante: i) Suponiendo que sea decreciente en el extremo “a”, como la función es continua, tendrá que comenzar a crecer en algún punto interior “c” para poder tomar el mismo valor que “a” en el extremo “b”. 𝑚 ≠ 𝑓(𝑎) ∧ 𝑚 ≠ 𝑓(𝑏) ⇒ ∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓⁄ ′(𝑐)= 0 siendo “c” el punto del Dominio donde la función alcanza un mínimo relativo, por lo tanto 𝑓(𝑐) = 𝑚
y y = f(x)
m f(a) f(c) f(b)
a c b x
y
M = m y = f(x)
f(a) f(b) a b x
ii) Suponiendo que sea creciente en el extremo “a”, como la función es continua, tendrá que comenzar a decrecer en algún punto interior “c” para poder tomar el mismo valor que “a” en el extremo “b”. 𝑀 ≠ 𝑓(𝑎) ∧ 𝑀 ≠ 𝑓(𝑏) ⇒ ∃𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓⁄^ ′(𝑐)= 0
siendo “c” el punto del Dominio donde la función alcanza un Máximo relativo, por lo tanto 𝑓(𝑐) = 𝑀
y M
y=f(x)
f(a) f(c) f(b)
a c b x
Interpretación geométrica
Si una función f(x) es continua en [a,b] y derivable en todos sus puntos interiores y toma los mismos valores en los extremos del intervalo, existe, al menos, un punto interior de dicho intervalo donde la recta tangente trazada a la curva es paralela al eje “x”.
2) TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL
CÁLCULO DIFERENCIAL
ENUNCIADO: Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] y derivable en todos sus puntos interiores, existe por lo menos un punto interior “c” del intervalo (a,b) donde se verifica que la derivada de la función en dicho punto “c”, es igual al cociente entre el incremento de la función determinado por los extremos del intervalo [a,b] y la amplitud del mismo.
H) f(x) es continua en [a,b]
f(x) es derivable en (a,b)
T) ∃ 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) 𝑓⁄ ′(𝑐)= 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑏−𝑎 A
𝛼 𝛽
a c b
D) Por ser f(x) derivable en el intervalo (a,b), podemos trazar la tangente a la curva en todos los puntos de su trayectoria, en dicho intervalo.
Y T S B
−𝑘[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
Y despejamos primero “-k” y luego “k”:
Reemplazando “k” en la combinación lineal (*) resulta:
Derivamos ambos miembros y obtenemos:
El Teorema de Rolle dice que si una función adopta los mismos valores en los extremos del intervalo, como en nuestro caso 𝜑(𝑎) = 𝜑(𝑏), existe un valor “c” que pertenece al intervalo, dónde la primera derivada se anula, para nuestro caso 𝜑′(𝑐) = 0
Si lo generalizamos para cualquier “x” que verifique que: 𝑎 < 𝑐 < 𝑥
Tenemos:
- TEOREMA DE L’HOPITAL (Consecuencia del Teorema de Cauchy)
ENUNCIADO: Si dos funciones f(x) y g(x) derivables en un intervalo, que se anulan en x=a,
es decir, f(a) = g(a) = 0, resulta (^) 𝑔(𝑎)𝑓(𝑎) = 00 una expresión indeterminada.
Demostraremos que si ∃ lim 𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) existirá el^ 𝑥→𝑎lim
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥).
Simbólicamente: (^) 𝑥→𝑎lim𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑎𝑓′(𝑥)𝑔′(𝑥)
D) Si 𝑥 ∈ 𝐸(𝑎, 𝛿) aplicamos el Teorema de Cauchy:
Como f(a) = g(a) = 0⟹ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔′(𝑥)
Aplicando límites a ambos miembros y considerando que como
𝑎 < 𝑐 < 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 → 𝑎 ⟹ 𝑐 → 𝑎
∴ lim 𝑥→𝑎
= lim 𝑥→𝑎
O lo que es lo mismo: lim 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥) que es lo que queríamos demostrar.
Aplicación: El Teorema de L’Hopital puede ser aplicado a los distintos casos de indeterminación, si en la primera instancia se verifica que no se logra eliminar la indeterminación, se puede aplicar el Teorema reiteradamente hasta poder salvarla.
Generalizando:
Dadas las funciones f(x) y g(x) dos funciones que cumplen las siguientes condiciones:
- f(a) = g(a) = 0
- Poseen derivadas sucesivas de orden “n” en 𝐸(𝑎, 𝛿)
- Las funciones tienen derivadas sucesivas nulas con excepción de las de orden “n” que no se anulan simultáneamente.
Se cumple: lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎𝑓
𝑛(𝑥) 𝑔𝑛(𝑥) conocida como la Regla de L’Hopital.
