Introducción a la Matemática Discreta: Ejercicios Resueltos, Apuntes de Matemática Discreta

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E.T.S. DE INGENIER´IA INFORM ´ATICA

PROGRAMA Y BOLET´IN DE PROBLEMAS

de

INTRODUCCI ´ON

A LA

MATEM ´ATICA DISCRETA

para la titulaci´on de

INGENIER´IA INFORM ´ATICA

2 Introducci´on a la Matem´atica Discreta

Bibliograf´ıa

[1] Anderson, I. Introducci´on a la combinatoria. Ed. Vicens Vives, 1993.

[2] Biggs, N.L. Matem´atica discreta. Ed. Vicens Vives, 1994.

[3] Cobos Gavala, F.J. Introducci´on a la Matem´atica Discreta. Apuntes dis- ponibles en la direcci´on:

http://ma1.eii.us.es/docencia/apuntes/Ap IMD.pdf

[4] Grimaldi, R.P. Matem´aticas discreta y combinatoria. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, 1989.

[5] Jones, G.A. y Jones, J.M. Elementary Number Theory. Springer-Verlag,

1. Aritm´etica entera

1.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1 Probar que

1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n^2 ∀ n ∈ Z+

Soluci´on: Para n = 1 s´olo aparece un sumando, verific´andose que 1 = 1^2.

Si suponemos que se verifica para n veamos que tambi´en se cumple para n + 1 es decir, que

1 + · · · + (2(n + 1) − 3) + (2(n + 1) − 1) = (n + 1)^2

o lo que es lo mismo

1 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)^2

En efecto:

1 + · · · + (2n − 1) + (2n + 1) = [1 + · · · + (2n − 1)] + (2n + 1) =

= n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2

Por lo que la igualdad es cierta para cualquier n ∈ Z+.

Ejercicio 1.2 Probar mediante inducci´on completa que an <

)n ∀ n ∈ Z+

donde (an) es la sucesi´on definida por

a 1 = 1, a 2 = 3 an = an− 1 + an− 2 ∀ n ≥ 3

Soluci´on: Los dos primeros t´erminos verifican la proposici´on, ya que

a 1 = 1 <

= 1′ 75 y a 2 = 3 <

1.1. Ejercicios resueltos 5

Soluci´on:

a) Para que la ecuaci´on tenga soluci´on debe verificarse que mcd (84, 990) = 6 divida a c, por lo que el m´ınimo valor que puede tomar c es 12.

84 x + 990y = 12 ⇐⇒ 14 x + 165y = 2

Si resolvemos la congruencia 165 y ≡ 2 (mod 14) ⇐⇒ 11 y ≡ 2 (mod 14) ⇐⇒ − 3 y ≡ 2 (mod 14) ⇐⇒ 15 y ≡ −10 (mod 14) ⇐⇒ y ≡ 4 (mod 14) obtenemos que 165 · 4 − 2 =

14 = 14 · 47 o, lo que es lo mismo, que

14 · (−47) + 165 · 4 = 2

es decir, una soluci´on particular de la ecuaci´on es x 0 = − 47 e y 0 = 4. Dado que la soluci´on general de la ecuaci´on ax + by = c es

x = x 0 +

bn d

y = y 0 −

an d

donde d = mcd (a, b)

La soluci´on general de la ecuaci´on 84x + 990y = 12 es

x = −47 + 165 n y = 4 − 14 n con n ∈ Z

b) El m´ınimo valor que puede tomar la expresi´on 84x + 990y cuando x e y toman valores enteros positivos es 1074 (para x = y = 1), por lo que el m´ınimo valor que puede tomar c para que existan soluciones positivas es 1074, que se encuentra fuera del rango 10 ≤ c ≤ 1000. Es decir, no existe ning´un valor de c ∈ Z+^ con 10 ≤ c ≤ 1000 para el que la ecuaci´on 84 x + 990y = c admita soluciones enteras y positivas.

Ejercicio 1.5 Enviamos por correo dos tipos de paquetes A y B. Por enviar los del tipo A nos cobran 15 c´entimos de euro m´as que por los del tipo B. Sabiendo que hemos enviado m´as paquetes del tipo B que del tipo A, que en total hemos enviado 12 paquetes y que nos han cobrado un total de 13 euros con 20 c´entimos, ¿cu´antos hemos enviado de cada tipo y qu´e nos han cobrado por cada uno?

Soluci´on: Si denotamos por n al n´umero de paquetes del tipo B y por p al precio, en c´entimos de euro, que nos cobran por enviar cada uno de ellos, sabemos que los del tipo A ser´an 12 − n y nos cobrar´an p + 15 c´entimos de

6 Introducci´on a la Matem´atica Discreta

euro por su env´ıo.

Nos queda entonces que pn + (p + 15)(12 − n) = 1320 (expresando los precios en c´entimos de euro), es decir

12 p − 15 n = 1140 ⇐⇒ 4 p − 5 n = 380

Dado que mcd (4, 5) = 1 = 4·(−1)− 5 ·(−1) =⇒ 4 ·(−380)− 5 ·(−380) = 380, la ecuaci´on tiene como soluci´on particular n 0 = p 0 = −380 y la soluci´on general viene dada por p = −380 + 5t

n = −380 + 4t

∀ t ∈ Z

Como n > 0 y 12 − n > 0 se obtiene que

−380 + 4t > 0 =⇒ t > 95

12 − (−380 + 4t) > 0 =⇒ t < 98

Las ´unicas soluciones posibles son, por tanto, t = 96 o t = 97.

Para t = 96 se obtiene que n = 4, es decir, se habr´ıan enviado 4 paquetes del tipo B y 8 del tipo A, que contradice el hecho de que se han enviado m´as paquetes del tipo B que del A.

Para t = 97 obtenemos que n = 8 y p = 105, por lo que se han enviado 8 paquetes del tipo B a 1 euro con 5 c´entimos cada uno y 4 del tipo A a 1 euro con 20 c´entimos cada uno.

Ejercicio 1.6 Hallar todos los puntos enteros del primer octante (x, y, z ≥ 0) de la recta determinada por los planos

2 x + 3y + 5z = 17 3 x + 4y + 4z = 18

Soluci´on: Eliminamos una de las inc´ognitas (por ejemplo la z) multiplicando la primera ecuaci´on por 4, la segunda por 5 y restando; resultando el sistema equivalente al dado 2 x + 3y + 5z = 17 7 x + 8y = 22

La segunda ecuaci´on es una diof´antica que, dado que mcd (7, 8) = 1 divide a 22, admite soluciones enteras.

8 Introducci´on a la Matem´atica Discreta

Soluci´on:

a) Dado que mcd (3, 7) = 1 divide a c, la ecuaci´on admite soluci´on.

La identidad de Bezout nos dice que 3 · (−2) + 7 · 1 = 1, por lo que 3 · (− 2 c) + 7 · c = c, es decir, una soluci´on particular de la ecuaci´on es x 0 = − 2 c e y 0 = c.

La soluci´on general viene dada por

x = − 2 c + 7t y = c − 3 t

∀ t ∈ Z

b) La soluci´on positiva m´as peque˜na es x = y = 1, en cuyo caso c = 10.

c) Para que la ecuaci´on admita soluciones positivas ha de verificarse que

x = − 2 c + 7t > 0 y = c − 3 t > 0

t >

2 c 7 t <

c 3

=⇒ t ∈

2 c 7

c 3

Teniendo en cuenta que el intervalo es abierto, la amplitud m´ınima que debe tener para garantizar la existencia de soluciones positivas es un n´umero mayor que 1, por lo que

c 3

2 c 7

c 21

1 =⇒ c > 21

As´ı pues, s´olo podemos garantizar que la ecuaci´on siempre va a tener soluciones positivas positivas para valores de c mayores o igual a 22.

d) Si queremos que la ecuaci´( on admita dos soluciones positivas, el intervalo 2 c 7

c 3

debe tener una amplitud superior a 2 pero no superior a tres, ya que entonces se garantizar´ıan tres soluciones positivas, es decir,

c 3

2 c 7

c 21

≤ 3 =⇒ 42 < c ≤ 63

por lo que el m´ınimo valor que puede tomar c es 43 y el m´aximo 63.

Es evidente que en un intervalo de amplitud mayor que 2 y menor que tres, existen, al menos, dos valores enteros, pero no quiere decir que no pueda haber tres, por lo que podr´ıa darse el caso de tres soluciones positivas.

1.2. Ejercicios propuestos 9

As´ı, por ejemplo, para c = 52 el intervalo

2 c 7

c 3

tiene de amplitud 2′4762, pero en dicho intervalo hay tres valores enteros, el 15, el 16 y el 17.

e) Basta con hacer x = 2x′^ e y = 2y′^ para que el problema se reduzca a buscar cu´ando va ha tener soluci´on la ecuaci´on

3(2x′) + 7(2y′) = c ⇐⇒ 6 x′^ + 14y′^ = c

Dado que mcd (6, 14) = 2, para que la ecuaci´on admita soluci´on, c ha de ser par, por lo que el m´ınimo valor que puede tomar es 2.

En ese caso, la ecuaci´on se convierte en 6x′^ + 14y′^ = 2 equivalente a 3 x′^ + 7y′^ = 1 cuya soluci´on general (v´ease el primer apartado para c = 1) es x′^ = −2 + 7t y′^ = 1 − 3 t por lo que las soluciones pares de la ecuaci´on 3x + 7y = 2 viene dadas por x = 2x′^ = −4 + 14t y = 2y′^ = 2 − 6 t

∀ t ∈ Z

Ejercicio 1.8 Probar que el polinomio P (x) = x^2 + x + 1 es irreducible. ¿Se pude aplicar, en este caso, el criterio de Eisenstein?

Soluci´on: En este caso, no existe ning´un primo que divida al t´ermino inde- pendiente, por lo que no se puede aplicar el criterio de Eisenstein. Sin embargo, como las ra´ıces del polinomio son complejas, no puede descomponerse en pro- ducto de polinomios de primer grado con coeficientes enteros, por lo que es irreducible.

1.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.9 Utilizar el m´etodo de inducci´on para probar que para cualquier entero n ≥ 2 se verifica que 2n^ > n + 1.

Ejercicio 1.

a) Hacer una tabla de valores de Sn = 1^3 + 2^3 + · · · + n^3 para 1 ≤ n ≤ 6.

1.2. Ejercicios propuestos 11

Ejercicio 1.16 Se considera la sucesi´on de Fibonacci definida por

 



f 0 = 0, f 1 = 1

fn = fn− 1 + fn− 2 ∀ n ≥ 2

a) Probar, por inducci´on en n, que si

F =

=⇒ F n^ =

fn+1 fn fn fn− 1

∀ n ∈ Z+

b) Haciendo uso de la propiedad anterior, probar que fn+1fn− 1 = f (^) n^2 +(−1)n cualquiera que sea n ∈ Z+.

Ejercicio 1.17 ¿Si a divide a b, y c divide a d, debe a + c dividir a b + d? Justifica la respuesta. Sol : Falso.

Ejercicio 1.18 Probar o encontrar un contraejemplo a las siguientes implica- ciones

a) a^3 | b^2 =⇒ a | b Sol : Cierta. b) a^2 | b^3 =⇒ a | b Sol : Falsa.

Ejercicio 1.19 Expresar mcd (1485, 1745) de la forma 1485u + 1745v. Sol : mcd (1745, 1485) = 1745 · 40 + 1485 · (−47)

Ejercicio 1.20 Probar que c | a y c | b si, y s´olo si, c | mcd (a, b).

Ejercicio 1.21 Probar que se verifica la igualdad

mcd (a 1 ,... , ak) = mcd (mcd (a 1 , a 2 ), a 3 ,... , ak)

y que si a 1 , a 2 ,... , ak son enteros no nulos, existen enteros u 1 ,... , uk para los que mcd (a 1 ,... , ak) = a 1 u 1 + · · · + akuk.

Encontrar dicha expresi´on cuando k = 3 con a 1 = 1092, a 2 = 1155 y a 3 = 2002. Sol : u 1 = − 1710 , u 2 = 1615 y u 3 = 1.

Ejercicio 1.22 Hallar mcd (910, 780 , 286 , 195). Sol : 13.

Ejercicio 1.23 Probar que c es un m´ultiplo com´un de a y b si, y s´olo si, es un m´ultiplo de m = mcm (a, b).

12 Introducci´on a la Matem´atica Discreta

Ejercicio 1.24 ¿Tiene soluciones enteras la ecuaci´on 12x + 21y = 46? Jus- tif´ıquese la respuesta. Sol : No.

Ejercicio 1.25 Encontrar todas las soluciones positivas de la ecuaci´on dio- f´antica lineal 5x + 12y = 71. Sol : x = 7, y = 3.

Ejercicio 1.26 Si a 1 ,... , ak y c son n´umeros enteros, ¿cu´ando tiene soluciones enteras x 1 ,... , xk la ecuaci´on diof´antica a 1 x 1 + · · · + akxk = c? Justifica la respuesta. Sol : Cuando el mcd (a 1 ,... , ak) divide a c.

Ejercicio 1.27 Una determinada empresa desea emitir un anuncio por 2 cade- nas de televisi´on con el objetivo de que sea visto diariamente por 910 personas. Al realizar un estudio de audiencia de las dos cadenas se sabe que cada vez que se emite en la primera cadena CTV1 va a ser visto por 325 personas, mientras que en la segunda CTV2 s´olo ser´a visto por 26. ¿Cu´antas veces al d´ıa debe emitirse en cada una de las cadenas para cubrir el objetivo previsto de las, exactamente, 910 personas teniendo en cuenta que CTV1 cobra 600 euros cada vez que lo emite y CTV2 s´olo cobra 60?

Sol : 2 veces al d´ıa por CTV1 y 10 por CTV2.

Ejercicio 1.28 Un coleccionista de obras de arte ha adquirido varios cuadros y dibujos de un artista moderno. Las pinturas le han costado 649 euros cada una y los dibujos se los han dejado a 132 euros cada uno. Cuando el coleccio- nista llega a su casa, no recuerda si el coste total de las obras de arte ha sido de 2716 o 2761 euros.

a) ¿Cu´anto les han costado exactamente? Sol : 2761 euros.

b) ¿Cu´antos cuadros y cuantos dibujos ha comprado? Sol : 1 cuadro y 16 dibujos.

Ejercicio 1.29 La unidad monetaria de Interia es el “ interio” existiendo ´unicamente billetes de 18, 20 y 45 interios.

a) Probar que se puede realizar una compra por cualquier cantidad entera.

b) ¿C´omo podr´ıa pagarse 1 interio? ¿es ´unica la soluci´on? Justifica la respuesta.

Ejercicio 1.30 La compa˜n´ıa Cabitele nos cobra por llamar desde una de sus cabinas 50 c´entimos de euro el minuto por una llamada a Madrid y 1 euro

14 Introducci´on a la Matem´atica Discreta

Ejercicio 1.37 ¿Para qu´e primos p es tambi´en primo p^2 + 1?

Ejercicio 1.38 Probar que si p > 1 y p divide a (p − 1)! + 1, entonces p es primo.

Ejercicio 1.39 Se consideran los n´umeros de Fermat Fn = 2^2 n

• 1. Probar, mediante inducci´on en n, que

F 0 F 1 · · · Fn− 1 = Fn − 2. ∀ n ≥ 1

Ejercicio 1.40 Sean p y q dos n´umeros primos con p > q y tales que p · q + 1 tambi´en es primo. Probar, razonadamente, las siguientes afirmaciones:

a) q ha de ser, necesariamente, 2.

b) Si p 6 = 3 entonces p + 1 es m´ultiplo de 6.

c) Si p 6 = 3, p no puede ser un primo de Mersenne.

d) Probar que los n´umeros Fn de Fermat verifican la recurrencia { F 0 = 3

Fn = (Fn− 1 − 1)^2 + 1 ∀ n ≥ 1

y hacer uso de dicha propiedad para probar que si n ≥ 3 entonces Fn termina en 7.

e) Si p 6 = 3 y p 6 = 5, p no puede ser un primo de Fermat.

Ejercicio 1.41 Demostrar que todo n´umero primo mayor que 3 es de la forma 6 n + 1 o 6n + 5.

Ejercicio 1.42 Probar que si n, q ≥ 1, el n´umero de m´ultiplos de q entre 1 , 2 ,... , n es bn/qc. Utilizar este resultado para probar que si p es primo y pe^ || n!, entonces e = bn/pc + bn/p^2 c + bn/p^3 c + · · ·.

¿En cu´antos ceros termina la expresi´on decimal de 1000!? Sol : 249.

Ejercicio 1.43 Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones indepen- dientes.

a) ¿Es cierto que dos n´umeros enteros positivos y consecutivos son siempre primos entre s´ı? ¿y dos impares consecutivos?

1.2. Ejercicios propuestos 15

b) Se dice que dos n´umeros primos son gemelos si son impares consecutivos, por ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, etc. ¿Es posible encontrar tres n´umeros impares consecutivos (adem´as de 3, 5 y 7) de forma que los tres sean primos?

c) ¿Puede hacerse la diferencia entre dos n´umeros primos consecutivos tan grande como se quiera (mayor que cualquier entero positivo n por grande que ´este sea)?

2. Aritm´etica modular

2.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.1 Probar, mediante congruencias, que 3^2 n+5^ + 2^4 n+1^ es divisible por 7 cualquiera que sea el entero n ≥ 1.

Soluci´on: Trabajando m´odulo 7 se tiene que

32 n+5^ + 2^4 n+1^ = 3^5 · 32 n^ + 2 · 24 n^ = 243 · 9 n^ + 2 · 16 n^ ≡ 5 · 2 n^ + 2 · 2 n^ = 7 · 2 n^ ≡ 0

es decir, 7 divide a 3^2 n+5^ + 2^4 n+1.

Ejercicio 2.

a) Probar que el n´umero inmediatamente posterior a cualquier potencia de 5 es m´ultiplo de 2 pero no de 4.

b) Probar, por inducci´on en n, que si denotamos por pm^ ‖ N a la mayor potencia del primo p que divide a N (as´ı, por ejemplo, 2^3 ‖ 40 ya que 23 = 8 es un divisor de 40 pero 2^4 = 16 no lo es), se verifica que 2 n+2^ ‖ 52

n − 1 para cualquier n ∈ Z+. Indicaci´on: recu´erdese que a^2 k^ − 1 = (ak^ − 1)(ak^ + 1).

Soluci´on:

a) (^5) ≡ 1 (mod 2) 5 ≡ 1 (mod 4)

=⇒ para cualquier n ∈ Z+^ es

5 n^ ≡ 1 (mod 2) 5 n^ ≡ 1 (mod 4)

por lo que

5 n^ + 1 ≡ 0 (mod 2) 5 n^ + 1 ≡ 2 (mod 4) es decir, el numero inmediatamente posterior a cualquier potencia de 5 es divisible por 2 pero no por 4.

18 Introducci´on a la Matem´atica Discreta

b) Para n = 1 se tiene que 2^3 = 21+2^ ‖ 52 1 − 1 = 24. Supong´amoslo cierto para n y vamos a probarlo para n + 1. Debemos probar que

2 (n+1)+2^ = 2n+3^ ‖ 52

n+ − 1 = 5^2 ·^2

n − 1 = (5^2

n − 1)(5^2

n

• 1).

Dado que por hip´otesis de inducci´on es 2n+2^ ‖ 52 n −1 y adem´as 2^1 ‖ 52 n +1, ya que se trata del n´umero inmediatamente posterior a una potencia de 5, se deduce que 2n+3^ ‖ 52 n+ − 1, lo que prueba el resultado.

Ejercicio 2.3 Sean a, b y c tres enteros positivos tales que a | b. Si al dividir c entre a obtenemos un resto r y al dividir c entre b un resto s, ¿qu´e resto se obtiene de la divisi´on de s entre a?

a) Razonar el ejercicio haciendo uso del algoritmo de la divisibilidad y no de congruencias.

b) Repetirlo haciendo uso de congruencias y no del algoritmo de la divisi- bilidad.

Soluci´on:

a) Sabemos que

c = a · q 1 + r con q 1 ∈ Z y 0 ≤ r < a c = b · q 2 + s con q 2 ∈ Z y 0 ≤ s < b

por lo que

a · q 1 + r = b · q 2 + s =⇒ a · q 1 − b · q 2 = s − r

como a | b podemos expresar b de la forma b = a · b′^ con b′^ ∈ Z y, por tanto

s − r = a · q 1 − a · b′^ · q 2 = a · (q 1 − b′^ · q 2 ) = a · q con q = q 1 − b′^ · q 2 ∈ Z

es decir, s = a · q + r con 0 ≤ r < a, por lo que el resto de dividir s entre a es tambi´en r.

b) Sabemos que

c ≡ r (mod a) c ≡ s (mod b)

De la segunda ecuaci´on tenemos que c = s + bt con t ∈ Z, que llevada a la primera nos da s + bt ≡ r (mod a)