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Algoritmos de división y Euclides
Conjuntos: N = {1, 2, 3, ...} Z = {... ,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}
El ' 0 ' no pertenece al conjunto N de los números naturales.
Principio de la buena ordenación
Todo subconjunto no vacío de N ∪ {0} tiene un primer elemento que es menor que todos los demás.
Divisibilidad
Si a divide a b ( a|b ), es que existe un q tal que b=aq* , siendo a ≠ 0.
Todo n perteneciente a Z es un divisor de 0 : n|0 ∀ n ∈ Z.
Valor absoluto
El valor absoluto de un entero es una aplicación de Z en Z : | |: Z → Z.
Al aplicar la función ' valor absoluto ' a un elemento de Z obtenemos otro elemento de Z.
Algoritmo de la división
Si a ∈ Z y b ∈ N entonces ∃ q , r ∈ Z tales que cumplen: a=bq+r* con^ 0 ≤^ r <^ b Si a, b ∈ Z y b ≠ 0 entonces ∃ q , r ∈ Z tales que cumplen: a=bq+r* con 0 ≤ r < |b| además, a MOD b = r
Máximo común divisor
Máximo común divisor d de a y b , mcd(a,b)=d , con d>0 y d|a y d|b , es el mayor de todos los divisores comunes de a y b , es decir, todos los divisores de a y b dividen a d. mcd(a,0)=|a| mcd(ka, kb) = |k|*mcd(a,b) El mcd(a,b) se puede expresar como combinación lineal de a y b : mcd(a,b) = ax + by Además d=mcd(a,b) es el entero positivo más pequeño que lo cumple. Si a y b son primos entre sí (no tienen divisores comunes) entonces mcd(a,b)=1 y, por tanto: ax+by=
Propiedades del operador MOD
Sean a , b , c , d y m enteros con m ≠ 0. Si tenemos a MOD m = c MOD m b MOD m = d MOD m (a+b) MOD m = (c+d) MOD m (ab) MOD m = (cd) MOD m a MOD m = (a MOD m) MOD m
Algoritmo de Euclides
Permite obtener el d=mcd(a,b) y a la vez resolver la ecuación d=ax+by
Algoritmos de división y Euclides 1
Ejemplo Calcular el mcd(3120, 270) y hallar x e y tales que d=3120x+270y
3120 = 27011 + 150 (1) 270 = 1501 + 120 (2) 150 = 1201 + 30 (3) 120 = 30
El último resto ≠ 0 es 30. Por tanto, mcd(3120,270)=. Si ahora hacemos sustituciones inversas, obtendremos: de (3) tenemos 30 = 150 - 120* de (2) tenemos 120 = 720 - 150* de (1) tenemos 150 = 3120 - 720* si sustituimos (2) en (3) 30 = 150 - (720-1501) 30 = 1502 - 720 si sustituimos (1) en el nuevo (3) 30 = (3120-72011)2 - 720 30 = 31202 + 720*(-23) entonces x=2 e y=-
Algoritmos de división y Euclides 2
Ecuaciones Diofánticas
Sean a , b , n ∈ Z. La ecuación lineal ax+by=n tiene solución entera si y sólo si d=mcd(a,b) divide a n. Una solución particular será: x 0 = nd k
y 0 = nd k siendo k y k' factores obtenidos a través del algoritmo de Euclides
La solución general será: x (^) = x 0 + bd t y = y 0 − ad t para todo t ∈ Z. Ejemplo. Calcular la solución general de la ecuación^ 640x + 330y = 7140 Aplicamos el algoritmo de Euclides 640 = 3301 + 310 [310 = 640 - 330] 330 = 3101 + 20 [ 20 = 330 - 310] 310 = 2015 + 10 20 = 10 por tanto, d= Hallemos una solución particular 10 = 310 - 20* 10 = 310 - (330 - 310)15 = 31016 - 330* 10 = (640 - 330)16 - 33015 = 64016 - 330 10 = 64016 + 330(-31) x 0 = 714010 16 = 11. y 0 = 714010 (− 31 ) = −22. La solución general será x = 11.424 + 33010 t = 11.424 + 33 t y = −22.134 − 64010 t = −22.134 − 64 t
La ecuación diofántica x^2 -y^2 =n con n>0 tiene solución entera si y sólo si n puede expresarse como producto de 2 números con la misma paridad. Las soluciones son: (^) x = a + 2 b y = a − 2 b
Ecuaciones Diofánticas 4
Congruencias
Dos enteros a y b son congruentes módulo m si los restos de las divisiones a/m y b/m son iguales. De otra forma, a ≡ b mod(m) si y sólo si m|(a-b) , lo cual se puede expresar como: a-b=mk → a ≡ b mod(m).
a ≡ a mod(m). —reflexiva— Si a ≡ b mod(m) → b ≡ a mod(m). —conmutativa— Si a ≡ b mod(m) y b ≡ c mod(m) → a ≡ c mod(m). —transitiva— Si a ≡ b mod(m) y c ≡ d mod(m) , entonces a+c ≡ b+d mod(m) ac ≡ bd mod(m) Si a ≡ b mod(m) → ka ≡ kb mod(m) Si a ≡ b mod(m) y d|m , → a ≡ b mod(d) a+km ≡ a mod(m) Si para todo i tal que 1 ≤ i ≤ n se cumple que ai ≡ b (^) i mod(m) , entonces n i = 1
Σ a^ i^ ≡^
n i = 1
Σ b^ i^ mod ( m )
n i = 1
Π a^ i ≡^
n i = 1
Π b^ i mod ( m )^
si a ≡ b mod ( m ) entonces a k^ ≡ b k^ mod ( m )
Ejemplo Hallar el resto de la división de 232587 entre 7.
- 23≡2 mod(7)
- Buscamos un n tal que 2 n≡1 mod(7) n=3, ya que 2^3 ≡1 mod(7)
- Descomponemos 2587: vemos que 2587=3862+ es decir, 23 2587 = 233862^ * 23
- Por la propiedad anterior, 23^3 ≡ 23 ≡ 1 mod(7) por tanto, (23 3 ) 862 ≡ 1862 ≡ 1 mod(7)
- Ahora bien, 23 3862^ * 23 ≡ 12 mod(7) 23 2587 ≡ 2 mod(7)
Resolver la ecuación ax ≡ b mod(m) , equivale a resolver la ecuación diofántica ax + my = b. Esta ecuación sólo tiene solución si d=mcd(a,m) | b. Además, el número de soluciones no congruentes módulo m es igual a d.
Ejemplo Encontrar todas las soluciones no congruentes de la ecuación 3x ≡ 9mod(15)
- Lo planteamos como una ecuación diofántica: 3x + 15m = 9 a) hallamos el mcd(3,15)=3 —que además es divisor de 9— b) hallamos una solución particular de la ecuación x 0 = c) hallamos la expresión general de x x (^) = x 0 + bd t (^) = 3 + 153 t (^) = 3 + 5 t d) aplicamos todos los valores de t para 0≤ t <d (entre 0 y d) para hallar todas las soluciones no congruentes de la ecuación t=0 → 3+50 = 3 t=1 → 3+51 = 8 t=2 → 3+5*2 = 13
Congruencias 5
Grafos
Un grafo G se define como un conjunto E de pares no ordenados de elementos distintos del conjunto de elementos V. El conjunto V es el conjunto de vértices del grafo, se denota por V ( G ). El conjunto E es el conjunto de aristas del grafo, se denota por E ( G ). G = ( V , E ) V = { v 1 , v 2 , v 3 , ..., vn } E = { vivj, vm vn , ... }
Dos vértices vi , vj son adyacentes si son los extremos de una arista, es decir, si el par de vértices de V es un elemento de E. #V número de vértices #E número de aristas Un grafo es finito si #V es finito.
Tipos de grafos Multigrafo es aquel grafo en el que 2 vértices pueden definir más de una arista. Pseudografo es aquel grafo en el que 1 vértice puede definir una arista, es decir, la arista tiene origen y final en un único vértice. Digrafo es aquel grafo en el que los pares que forman los elementos de E (conjunto de aristas) están ordenados.
Dos grafos son isomorfos si cada par de vértices adyacentes del primer grafo se corresponde con un par de vértices adyacentes del otro. Grado de un vértice es el número de aristas que parten de él. El grado de un vértice se conserva en el isomorfismo.
Primer teorema de la teoría de grafos
2#E La suma de los grados de los vértices es igual al número de aristas
p
i = 1
Σ gr ( v^ i ) =
multiplicado por 2. Todo grafo contiene —además de los vértices de grado par— un número par (o cero) de vértices de grado impar.
Un grafo es regular si todos sus vértices tienen el mismo grado. Si el grado es k el grafo se llama k- regular. Un subgrafo es cualquier grafo que queda al eliminar algunos vértices o aristas. Al eliminar un vértice desaparecen todas sus aristas. Un grafo es completo si cada par de vértices son los extremos de una arista. K n designa un grafo completo con n vértices. Dos grafos completos con el mismo número de vértices son isomorfos.
Un camino en un grafo G es una sucesión finita de vértices y aristas alternos. La longitud de un camino es el número de aristas que contiene. Un camino es cerrado si sus extremos coinciden. Un camino es simple si no se repite ningún vértice. Un ciclo es un camino cerrado en que sólo se repiten el primer y último vértice (ya que son el mismo).
Grafos 7
Un circuito es un camino cerrado en le que no se repiten aristas. Un grafo es conexo si para cada par de vértices existe un camino que los conecta.
Para un grafo, un camino euleriano es un camino que contiene todas las aristas una sola vez. Un circuito euleriano es un circuito — camino cerrado — que contiene todas las aristas una sola vez y sus vértices extremos coinciden. Un grafo euleriano es aquél que admite un circuito euleriano. En un grafo euleriano todos los vértices tienen grado par. Un grafo conexo es euleriano si y solo si cada vértice tiene grado par. Un grafo conexo admite un camino euleriano no cerrado si y sólo si tiene exactamente 2 vértices de grado impar.
Un camino hamiltoniano es un camino simple que contiene todos los vértices del grafo (sin repetir ninguno). Un ciclo hamiltoniano es un camino hamiltoniano cerrado. Un grafo hamiltoniano es un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano. Todo grafo completo contiene un ciclo hamiltoniano.
Un árbol es un grafo conexo sin ciclos. En un árbol 2 vértices se conectan con un único camino simple. Un árbol es el grafo conexo que menos aristas contiene.
Si a cada arista de un grafo —o digrafo— le damos una longitud , tenemos un grafo etiquetado. La distancia entre dos vértices en un grafo etiquetado es la suma de los valores de las aristas por el camino de longitud mínima.
Un grafo —o multigrafo— es plano si admite una representación en el plano en la que las aristas sólo se cortan en los vértices (sin cruces). Un mapa es una representación —plana (sin cruces de aristas)— de un grafo plano. #R es el número de regiones en que un mapa divide el plano. El grado de una región es la longitud del camino cerrado que la bordea.
Teorema de las regiones
2#E La suma de los grados de las regiones es igual al número de aristas
p
i = 1
Σ gr ( R^ i ) =
multiplicado por 2.
Dos regiones de un mapa son adyacentes si los caminos que las bordean tienen alguna arista en común.
fórmulas
#R + #V = #E + 2 nºregiones + nºvértices = nºaristas + 2 Un grafo plano conexo con #V>2 que contiene un subgrafo isomorfo a K 3 : #E ≤ 3·#V - 6 En un grafo plano conexo con #V>2 que no contiene subgrafos K 3 : #E ≤ 2·#V - 4
Grafos 8
Permutaciones, Variaciones, Combinaciones
Una permutación es una aplicación biyectiva en el seno de un conjunto. Una permutación es una reordenación de los elementos de un conjunto. El producto de permutaciones —equivalente a la composición de 2 aplicaciones— consiste en la aplicación sucesiva de 2 permutaciones sobre los elementos del conjunto. El número de permutaciones diferentes en un conjunto de n elementos es: P(n) = n!
Una variación de orden r en un conjunto de n elementos es una lista ordenada de r elementos distintos. Dos variaciones son diferentes si el orden o algún elemento son diferentes. V(n, r) = (^) ( nn −! r )!
Una variación con repetición de orden r en un conjunto de n elementos es una lista ordenada de r elementos (una lista en la que los elementos pueden repetirse). Dos variaciones con repetición son diferentes si el orden o algún elemento son diferentes. VR(n, r) = nr
Una combinación de orden r en un conjunto de n elementos es una lista de r elementos distintos. Dos combinaciones son diferentes si contienen algún elemento diferente. C(n, r) = V ( n , r ) r! =^
n! r !⋅( n − r )!
Una combinación con repetición de orden r en un conjunto de n elementos es una lista de r elementos —que pueden repetirse—. Dos combinaciones son diferentes si contienen algún elemento diferente. C(n, r) = C(n+r-1, r) Ejemplo Distribuir 10 bolas iguales en 4 bolsas distintas.
n=4, r=10.
=^
13! 10!⋅3! =^286 El número de combinaciones con repetición de orden r en un conjunto de n elementos equivale a hallar el número de soluciones enteras de la ecuación: x 1 +x 2 +...+xr = n
Un caso especial consiste en hallar cuántas soluciones naturales —xi≠ 0 — tiene la ecuación: x 1 +x 2 +...+xr = n C(n-1, n-r) Ejemplo Distribuir 37 bolas iguales en 6 bolsas distintas de forma que todas las bolsas contengan, al menos, una bola. Para que cada bolsa tenga, al menos, una bola, ponemos una bola en cada bolsa —esto sólo se puede hacer de 1 forma—. Así pues, tan sólo quedan 37- bolas para distribuir entre 6 bolsas: C(6+(37-6)-1, 37-6) = C(37-1, 37-6) = C(36, 31)
Métodos Combinatorios 10
Una permutación circular de orden r en un conjunto de n elementos ( r ≤ n ) es una colocación ordenada de r elementos distintos en r posiciones sobre una circunferencia, es decir, el último elemento está situado entre el penúltimo y el primero. Dos permutaciones circulares son diferentes si una no se puede obtener como rotación circular de otra. Pc(n, r) = C(n, r)·(n-1)!
Métodos Combinatorios 11
