Apuntes Mat Discreta, Apuntes de Matemática Discreta

¡Descarga Apuntes Mat Discreta y más Apuntes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity!

Apuntes de

Matemática Discreta

PROGRAMA DE MATEMATICA DISCRETA

Curso 1996-

1.- Conjuntos y aplicaciones.

Noción intuitiva de conjunto, subconjunto y complementario, unión e intersección de conjuntos, producto cartesiano. Definición de aplicación, tipos de aplicaciones, composición de aplicaciones, inversa de una aplicación.

2.- Relaciones y grafos.

Relaciones binarias, relaciones de equivalencia, conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptos básicos y terminología de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos planos. Árboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos.

3.- Teoría elemental de números.

Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ecuaciones Diofánticas. Congruencias : teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeración.

 &RPELQDWRULD \ UHFXUUHQFLD

Principio de inclusión exclusión. Permutaciones con y sin repetición. Combinaciones con y sin repetición. Fórmulas combinatorias, teorema binomial. Sucesiones definidas por recurrencia. Resolución de relaciones recurrenter por iteración. Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funciones definidas recurrentemente.

 &iOFXOR GH SURSRVLFLRQHV

Sintaxis. Deducción natural. Tablas semánticas. Resolución.

%LEOLRJUDItD

Epp, S. S. “Discrete Mathematics with Aplications”. Ed. Wadsworth Publishing Company (1990). Biggs, N. L. “Matemática Discreta”. Ed. Vicens Vives (1994). Bujalance, E. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED) Bujalance, E. “Problemas de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). ( UNED) Liu, C. L. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. McGraw-Hill (1995).

Grimaldi, R. P. “Matemática Discreta y Combinatoria”. Ed. Addisson-Wesley Iberoamericana

Representación

A subconjunto de B : A ⊆ B, o B ⊇ A

A subconj. propio de B : A⊂B, o B⊃A (notese como desaparece la línea de igual al excluirse

tal posibilidad)

Propiedades de la relación ⊆

• reflexiva (cumple la relacion consigo mismo) : A⊆A
• (^) antisimetrica (no simetrica) : si A⊆B y B⊆A ⇒ (^) A=B
• transitiva (B hace de intermediario) : si A⊆B y B⊆C ⇒ A⊆C

Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si mismo.

Las expresiones ‘x∈A’ y ‘{x}⊆A’ son equivalentes, ambas expresiones significan que el

conjunto que tiene a x

como único elemento es subconjunto de A.

$OJXQRV FRQMXQWRV

Nulo ‘∅’ o ‘{}‘ : Es aquel que carece de elementos. Ojo! : |∅|=0 pero {∅}≠∅ porque este conjunto ( {∅} ), tiene un elemento: el nulo.

Universal ‘U’ : Es la colección de todos los elementos implicados en el problema a considerar.

Iguales ‘A=B’ : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden o

repetición.

Diferencia ‘A−B’ : Es el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B : A–B={x| x∈A,

x∉B} )

Diferencia simétrica ‘A⊕B’ : (A∪B)–(A∩B)= (A ∩B^ )∪( A^ ∩B), es decir, = { x∈A o x∈B | x∉A ∩B } Potencia ‘P(A)’ Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de A.

Para todo elemento hay 2 opciones: excluirlo o incluirlo, por lo tanto hay 222..(n veces)

selecciones

posibles. Por tanto, : ‘ dado A de n elementos, |P(A)| = 2 n^ = ∑K=0n ( (^) Kn^ )= Cn,k ‘ (Incluyendo A y ∅)

Ej: Si A={a,b,c} ⇒ P(A)={ ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, A }

8QLyQ LQWHUVHFFLyQ \ FRPSOHPHQWDFLyQ

Conj. Unión ‘A∪B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen al menos a alguno de los

dos.

A ∪ B ={x ∈ U ⁄ x∈A ò x∈B}

Conj. Intersección ‘A∩B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen a la vez a ambos

conjuntos.

A ∩B ={ x ∈ U ⁄ x∈A y x∈B}, Si su interseccion es nula, se dice que A y B sondisjuntos.

Complementario ‘ A ′’ o ‘A ’ : (De un conjunto A), es aquel cuyos elementos no son A : A ={ x |

x∈U, x∉A}

Propiedades de la intersección, complementación y unión

1º A∪∅ = A

A ∩∅ = ∅

2º A∪A = A∩A = A Idempotencia 3º A∪B = B∪A , A∩B = B∩A Conmutatividad 4º (A∪B)∪C = A∪(B∪C) Asociatividad (A∩B)∩C = A∩(B∩C) 5º A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) Distributividad A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) 6º A∪U = U

7º A∪A = U , A∩A = ∅

8º (^) ( A ∪ B) = A ∩ B, (^) ( A ∩ B) = A ∪ B Leyes de Morgan

9º A∪(A∩B) = A∩(A∪B) = A

y otra de regalo : A−B = A∩B , Demostración : x∈(A−B)⇒ x∈A y x∉B ⇒ x∈A y x∈B ⇒ x∈A

∩B

Demostración 8º : (^) ( A ∪ B)⇔A ∩B (Ley de Morgan)

“⇒” : x∈ ( A ∪ B)⇒ x ∉ A∪B⇒ x∉A y x∉B ⇒ x ∈ A y x ∈B ⇒x∈A ∩B

“⇐” : x∈A ∩B ⇒x ∈ A y x ∈B ⇒x∉A y x∉B⇒x ∉ A∪B⇒x∈ (^) ( A ∪B)

La intersección, complementación y unión de conjuntos, se conocen como ‘Operaciones

Boleanas’ en honor

a George Boole, que se marco este rollo aun sin tener idea de su utilidad.

Producto cartesiano (A × B)

Definición

Dados A,B ⊆ U , Se define ‘Producto Cartesiano de A por B’ (A×B) como el conjunto los

elementos

formados por todos los posibles pares del tipo (a,b) ⁄ a∈A, b∈B.

Ojo! : (a,b) es un par ordenado, por lo tanto (a,b)≠(b,a) salvo que a=b, y no es lo mismo (a,b)

que {a,b}

Propiedades

|A×B|=|A|·|B| (Regla del producto) Si tenemos A,B,C,D ≠ ∅ , entonces A×B=C×D ⇒ A=C,B=D?

(A∪A )×B≠(A∪B)×(A ∪B) es decir: (a ∪ a , b ) ≠ ( (a,b) , ( a ,b) )?

Aquella en la que todo elemento de B es imagen de un elemento de A

( B siempre esta cubierto, es decir : ∀ b∈B ∃ al menos un a∈A ⁄ f(a)=b) Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|≥|B|

Biyectiva

Aquella que es a la vez inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|=|B| Propiedad:

Sea f:A→B A,B finitos, si |A|=|B| y f es inyectiva ⇒ también será sobreyectiva ⇒ y también

biyectiva.

Proyección sobre la 1 a y 2 a coordenada

Sean los conjuntos A,B, y D⊆A×B :

• Se denomina ‘proyección sobre la 1a^ coordenada’ a la aplicación π (^) A :D→A definida por π (^) A (a,b)=a.
• Se denomina ‘proyección sobre la 2a^ coordenada’ a la aplicación π (^) B :D→B definida por π (^) B (a,b)=b.
• De forma general : π :D→Ai1 × Ai2 × ... × Aim definida por π (a 1 , a 2 , ..., an)=( ai1, ai2, ..., aim) es una proyección de D sobre las i 1 -ésima, i 2 -ésima, ..., i (^) n-ésima coordenadas. (ver ejemplo en Grimaldi 82 3.12)

&RPSRVLFLyQ GH DSOLFDFLRQHV

F. compuesta (f°g) : Siendo f:A→C, g:B→C, ‘f compuesta con g’ es (g° f)(a) = g(f(a) ) para ∀ a∈

A

La composición : -es asociativa h°(g°f) = (h°g)°f

• no es conmutativa g°f≠f°g

Propiedades

1. f,g inyectivas ⇒ g°f inyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. a)
2. f,g Sobreyectivas ⇒ g°f Sobreyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. b)
3. f,g biyectiva ⇒ g°f biyectiva Se desprende de las anteriores.
4. g°f inyectiva⇒f inyectiva
5. g°f Sobreyectiva⇒g Sobreyectiva
6. La composición de funciones es asociativa : ((h°g)°f)(x)=(h°(g°f))(x)

Demostraciones :

1) Sea a 1 , a 2 ∈ A ⁄ (g ° f)(a 1 )= (g ° f)(a 2 ),

Entonces, (g°f)(a 1 )= (g°f)(a 2 ) (^) ⇔ g(f(a 1 ))=g(f(a 2 )), pues g es inyectiva. Además f(a 1 )=f(a 2 ) ⇒ a 1 =a 2 porque f es inyectiva. Por tanto, g°f es inyectiva.

2) Para g ° f :A → C, sea z ∈ C.

Para g suprayectiva ⇒ ∃ y∈B, con g(y)=z. Para f suprayectiva ⇒ ∃ x∈A, con f(x)=y. Por tanto, z=g(y)=g(f(x))=(g°f)(x). Al ser válido para cualquier z∈C, queda demostrado

que gºf es suprayectiva.

1. Para ((h°g)°f)(x) = (h°g)(f(x)) = h(g(f(x))) ((h°g)°f)(x) = h((g°f)(x)) = h(g(f(x)))

$SOLFDFLyQ LQYHUVD

F. Inversa (f -1) : f -1(y)^ ={x∈A ⁄ f (x)^ =y}

Otra definición de inversa de f:A→B es g:B→A ⁄ g°f=Id A y además f°g=Id B

Ej: f=x 2 , f -1= 2 x ; f -1(4)={2,-2} ; f -1(2,6,8,4,16,25)={± 2, ±4, ±5} ; f -1(11,12,13,14)=∅

Propiedades

• Si f tiene inversa esta es única. Demostración : Sean g 1 , g 2 inversas de f :A→B, observando que g 1 °f =IdA , f°g 1 = IdB, g 2 °f =IdA , f°g 2 = IdB,

resulta fácil demostrar que g 1 =g 2 : g 1 = IdA°g 1 = (g 2 °f )°g 1 = g 2 °(f °g 1 ) = g 2 °IdB = g 2

• f es inversible ⇔ f es biyectiva ‘⇒’ (Suponemos que dado f :A→B, existe^ f -1^ , lo cual probara que f es biyectiva, es decir sobreyectiva e

inyectiva)

Por definición de inyectiva : a1,a2∈A1 ⁄ f(a1)=f(a2)⇒ a1=a Comprobamos que es inyectiva aplicando inversas : f -1^ (f(a1))= f -1^ (f(a2))→ ( f -1^ °f)(a1)=( f -1^ °f)(a2)→a1=a Por definición de sobreyectiva : ∀ b∈B ⇒ ∃ f(a)=b Hemos supuesto que dado un b∈B, ∃ f -1^ (b)∈A ⁄ f(a)=f( f -1^ (b))=b Y puesto que f° f -1^ =Id(b), es lícito afirmar b= Id(b)=( f° f -1^ )(b)=f( f -1^ (b))= f(a)

‘⇐’ Por ser sobreyectiva, para cada b∈B, ∃ algún a∈A ⁄ b=f(a). Con lo queda definida una función g :B→A ⁄ g(b)=a. El único problema sería que g(b)=a 1 ≠a 2 =g(b) debido a que f(a 1 )=b=f(a 2 ), pero esto no ocurre porque f es inyectiva. Por lo tanto, g= f -^.

Propiedades

Si A 1 , A 2 ⊂ A, B 1 ,B 2 ⊂ B, entonces :

1º A 1 ⊂A 2 ⇒ f(A 1 )⊂ f(A 2 ) 2º f (A 1 ∪A 2 ) = f(A 1 )∪f(A 2 ) 3º f (A 1 ∩A 2 ) ⊂ f(A 1 ) ∩ f(A 2 ) 4º A 1 ⊂ f -1^ ( f(A 1 ) ) 5º B 1 ⊂ B 2 ⇒ f^ -1^ (B 1 ) ⊂ f^ -1^ (B 2 ) 6º f^ -1^ (B 1 ∪B 2 ) = f^ -1^ (B 1 )∪ f^ -1^ (B 2 ) 7º f -1^ (B 1 ∩B 2 ) = f -1^ (B 1 )∩ f -1^ (B 2 ) 8º f ( f -1^ (B 1 )) ⊂ B 1

5 5HODFLRQHV \HODFLRQHV \ JUJUDDIIRVRV Relaciones binarias y de equivalencia. Conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptos básicos y terminologia de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos planos. Arboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos

Relación ‘R’: Es cualquier subconjunto de A×B que cumpla la propiedad en concreto. Es decir, siendo x∈A,y∈A y grafo(gráfica) R ⁄ R⊆ A×A, decimos que xRy si (x,y)∈R

El nº de relaciones ó subconjuntos de A×B será 2 A (^) ·B

Relación n-aria : Cualquier subconjunto del producto cartesiano de A 1 × A 2 ×...×An

(Una relación binaria sería una relación de A 1 ×A 2 ) Propiedades que puede cumplir una relación:

1. Reflexiva, si ∀ a∈A ⇒ aRa
2. Simétrica si ∀ a,b / aRb ⇒ bRa
3. Transitiva, si ∀ a,b,c / (aRb y bRc) ⇒ aRc
4. Antisimetrica, si ∀ a,b / (aRb y bRa) ⇒ a=b

Todo elemento cumple las tres primeras consigo mismo. Cuidado con la 4º: no

simetrica≠antisimetrica

Matriz de una relación A × B: - filas = elementos de A, columnas = elementos de B

• 1 si (ai ,bj ) ∈ R , 0 si (ai ,bj ) ∉ R

Relación equivalente ’~’: Es la relación binaria que verifica las propiedades reflexiva, simétrica

y transitiva.

Clase de equivalencia ‘[x]’: Dada una relación de equivalencia en un conjunto A, se define clase de equivalencia de un a∈A, como el conjunto de elementos de A equivalentes al elemento dado. Se denota como [a]={a’∈A / a’~a} El representante de la clase de equivalencia puede ser cualquier elemento del conjunto. Asi, se cumple:

• a’~a ⇔ [a’]=[a] (prop. transitiva)
  • y por tanto, x no∼a ⇔ [x]∩[a] = ∅

Por transitividad de ∼ es imposible que [x]∪[a] ≠ [x]∩[a] porque las clases de equivalencia son

identicas o disjuntas

La clase de equivalencia de cualquier elemento x cumple [x]≠∅ porque x∈[x]

Las clases de equivalencia forman una familia de subconjuntos≠ ∅ y disjuntos entre si, (porque

por transitiva si

tuvieran un elemento en común serían iguales), cuya unión es A. Congruencia modulo n (es un ejemplo de relación de equivalencia en Z ) Dado un natural p>1 se dice que “a es congruente con b módulo p” y se escribe “a≡b (mod p)”

7HPD

si a=b+λp, λ∈ Z ; es decir: a~b ⇔ a–b es múltiplo de p Esta relación es una equivalencia, ya que:

• es reflexiva, todo elemento es congruente con si mismo módulo p porque a-a=0 que es multiplo de p para λ=
• es simétrica, ya que si a–b es múltiplo de p, entonces b–a= también es múltiplo de p. (porque b-a=-(a-b) y λ puede ser + o - porque pertenece a Z )
• es transitiva, porque si a–b, b–c, son múltiplos de p, entonces a–c=(a–b)+(b–c) también es múltiplo de p.

3URSLHGDG

Seran congruentes módulo p ⇔ dan el mismo resto al dividirlos por p. Para comprobar tomamos los valores m,n y hacemos:

m q p r

n q p r

1 2

m-n=(q 1 -q 2 )p ⇒ p divide a (m-n)? (si→congruente, no→no

congruente)

m q p r ; 0 r p

n q p r ; 0 r p

1 1 1 2 2 2

m-n=(q 1 -q 2 )p+(r 1 -r 2 ), para que se cumpla debe ser r 1 –r 2 =0, que

implica r 1 =r 2

&RQMXQWR FRFLHQWH

Es el conjunto de clases de equivalencia de todos los elementos de A. Se denota A/∼.

A/∼^ = { [x] ⁄^ x∈A } donde [x]={ y∈A ⁄^ y∼x}. Nunca es vacío porque ∀x, [x]≠^ ∅ porque siempre

x∼x

Una partición es una colección de conjuntos distintos del vacío y disjuntos entre si. La unión de

particiones de un

conjunto es el propio conjunto. Propiedades del conjunto cociente:

1. para a,b ∈ A/∼ , a∼b ⇔ [a]=[b] Demos ‘⇒’: (suponemos a~b) x∈[a]⇒ x∼a, y por transitiva x∼a, a∼b ⇒ x∼b ⇒ x∈[b] Asi vemos que para cualquier x, si x ∈ [a] y x ∈ [b], [a]=[b]

Demos ‘⇐’: (Suponemos [a]=[b]), por reflexiva a∈[a], y puesto que [a]=[b], entonces a∈[b] , y

por

tanto, a~b

1. a,b ∈ A, a no∼b ⇔ [a]∩[b]=∅

Demos ‘⇒’: (Demostramos que [a]∩[b]≠∅^ es contradictorio), ∃^ x∈[a]∩[b] ⇒^ x∼a, x∼b ⇒^ a∼b

Corolario: Siendo ∼ una relación de equivalencia en A vemos que:

• Las clases de equivalencia de A forman una partición de A ⇔ Cada partición de A define una ~ en A. Si existe equivalencia entre los elementos de una partición, esa partición es clase de equivalencia (Si a,b están en la misma partición⇒a∼b y [a]=[b])

• k∈A es “Cota superior” de C si x≤k, ∀x∈C,”Supremo” será la menor de las cotas superiores.
• k∈A es “Cota inferior” de C si k≤x ∀x∈C, “Ínfimo” será la mayor de las cotas inferiores.
• Un elemento k de A ∀ x ∈ C, x≤k ⇒ k es máximo ∀ x ∈ C, k≤x ⇒ k es mínimo
• x∈C esmaximal/minimal de C si ningún elemento de C es >/< que x. Todo conjunto poset finito tiene al menos 1 maximal y 1 minimal.

Ejemplo: Sea U={1,2,3}, A=P(U) (A,⊆) tiene mínimo = minimal = ∅, máximo = maximal = U

Sea (A,R) poset.

• máximal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ x no relacionado con a
• minimal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ a no relacionado con x
• máximo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ a R x mínimo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ x R a Todo poset finito tiene maximal y minimal. Los máximos y los mínimos, si existen, son únicos.

Sea (A,R) poset con B⊆A

• cota inferior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ x Rb
• cota superior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ b Rx
• supremo o mínima cota superior = x’∈A / x’ es cota superior y x’ R x” con x=cq. otra cota superior
• ínfimo o máxima cota superior = x’∈A / x’ es cota inferior y x” R x’ con x”=cq. otra cota inferior

En todo B⊆A con A=poset finito, el supremo e infimo, si existen, son únicos.

*UDIRV

Def. grafo : Un grafo G es el par (V,A) que representa una relación entre un conjunto de Vertices

y otro de Aristas.

Representaremos cada elemento arista como un par de elementos de V. Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices.

Orden de un grafo: es su nº de vértices = |V|. Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. En este

curso estudiaremos los grafos finitos.

$ULVWDV

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vértices

que une.

Lazo: arista que une un vértice con si mismo

Arista incidente : Se dice que e es “incidente” en v si v esta en uno de los vertces de la arista

Arista múltiple : Aquella que une los mismos vértices que alguna otra.

9pUWLFHV

Vértices adyacentes: Se dice que ‘v,w son adyacentes’ si ∃ e={v,w}∈E (o sea, existe una arista entre los 2 ) Un vertice es adyacente a si mismo si tiene lazo. Grado de un vértice ‘∂’: Es el nº de aristas que inciden en él. Por ejemplo, un lazo aumenta el grado en 2. Depende solo de la estructura matemática, (los isomorfos tienen el mismo). Vértice de aristas múltiples: Es aquel que tiene más de un arista. Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado. Camino (o trayectoria)

Para x,y∈V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de

aristas distintas que

contengan a vx y vy en su primer y último termino. Así: {vx,v1},{v2,v3},...,{vn,vy}

• El nº de aristas de un camino se llamalongitud del camino.
• Si los vértices no se repiten es un caminopropio osimple.
• Si hay un camino no simple entre 2 vertices, tambien habra un camino simple entre ellos.
• Cuando vertice de llegada=vertice de salida, el camino se llamacircuito,ciclo, o camino cerrado.
• Un circuito espropio osimple si solo se repiten el primer y último vértice. En estos apuntes los circuitos seran simples si no se indica lo contrario
• Vértices accesibles: son aquellos entre los que existe un camino. Todo vértice es accesible respecto a si mismo. La accesibilidad entre vértices es una relación de equivalencia cuyas clases son las componentes conexas de G.

Si el grado de cualquier vértice de un grafo ≥^2 ⇒^ el grafo tiene un circuito.

*UDIRV

Grafo simple: Aquel que no tiene lazos ni aristas múltiples

Propiedades de un grafo G(V,E):

• Como cada arista incide en 2 vertices o 2 veces en el mismo vertice si es un lazo, tenemos que: Suma de los grados de todos los vertices es = doble de las aristas:

v ∈V

∑ ∂v=2|E|

Demostración: Al realizar la suma de los grados de todos los vertices, ya que cada arista tiene 2 extremos se cuenta exactamente 2 veces.

• En un grafo finito existe un nº par (o cero) de vértices de grado impar. En general V dividido en: (^) V 1 ={v´∈V ⁄ ∂´v=impar}, (^) V 2 ={v´´∈V⁄ ∂v´´=par }, (^) V 1 ∪V 2 =V; V 1 ∩V 2 =∅

Demostración: Sabemos que v 2 E

p

i 1

∑σ i =

para V={v 1 , ..., v (^) p}. Sean v 1 , ..., v (^) t los

vertices de grado impar y v t+1, ..., v p los de grado par v v 2 E

p

it 1

i

t

i 1

∑ σ^ i +∑σ = = =+ par+impar=impar, asi que debe ser nº de vertices impares= Sabemos que σv (^) i es impar para i=t+1, ..., p, por lo que podemos expresarlo como

Digrafo: Grafo con todas sus aristas dirigidas. Por tanto, los pares de vértices que definen las aristas, son pares ordenados.

Cuidadín !: Multigrafo, pseudografo, subgrafo, digrafo y cualquiera de sus combinaciones

(pseudomultidigrafo, etc), NO se consideran grafos.

Isomorfismo de grafos:

• Dados G=(V,E) y G´=(V´,E´), se denomina ‘ isomorfismo de G a G´ ‘ a la aplicación biyectiva f tal que para a,b∈V, {a,b}∈E ⇔ se cumple {f(a),f(b)}∈E´. Es decir, la aplicación que relaciona biyectivamente pares de vertices de E con pares de vertices de E´, de modo que los vértices conectados siguen estandolo. Se cumple que σa=σf(a)
  • : Isomorfismo es la biyección que mantiene la adyacencia de vertices
• G y G´ se denominan isomorfos, y son matemáticamente iguales, solo varia la apariencia, o sea, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, nº de vértices, nº de aristas, etc.
• Si dos grafos son isomorfos, sus complementarios también.
• Se llamaautomorfismo al isomorfismo de un grafo en si mismo. Un conjunto de automorfismos, sera por tanto, un conjunto de grafos isomorfos.

Dos grafos son isomorfos ⇔ tienen mismo número de vertices y el número de vertices con un

grado dado es el mismo en los dos grafos.

A continuación estudiaremos la representación de grafos mediante matrices, lo que nos permitira

emplear técnicas de algebra lineal en el estudio de grafos.

¿Cuál es la diferencia entre automorfismo e isomorfismo? ¿No son automorfismos todos los

isomorfismos?

0DWUL] GH DG\DFHQFLD

Muestra adyacencias de vertices. Se define como A=(aij)n×n (n=|V|) donde aij=1 si {vi,vj}∈E ; en caso contrario aij=0.

La matriz de adyacencia siempre es simétrica (y por tanto, no se modifica haciendo la

traspuesta), porque a ij = a ji.

Para cualquier k≤n se cumple que aki

i 1..n=

∑ =^ ∂vk (grado de un vértice=sumatorio de la columna o

fila de ese vértice).

Para un grafo G de n vértices con n>1, con A=matriz de adyacencia se cumple: (Uned 151) “El valor del coeficiente aijk^ de la matriz Ak^ , es el nº de caminos de longitud k con extremos

v (^) i y v (^) j ” (Ak^ =A·A·...k veces...·A)

Dado M= A i

i =1..n

∑ , se cumple que:

M=Suma de matrices de adyacencia.

Teorema: Sea G=(V,E), A=matriz adyacencia de G.

• el grafo sera conexo, si y solo si, todos los elementos de M son distintos
• la diagonal de la matriz nos indica el grado de los vértices

Si ∃ un camino de longitud m (m≥n) entre 2 vértices cualquiera, entonces ∃ un camino de longitud ≤n- entre esos dos vértices. Ejemplo:

Para comprobar si dos grafos son isomorfos, comprobamos si sus matrices quedan iguales al permutar su orden.

Ejemplo:

? Sea un grafo con matriz de adyacencia A =





  





   ×

0 3 0 3 2 1 (^0 1 0 3 )

, habra que llegar a A n- =A 2

A + A =





  





  





  





  

=





  





  

2

0 3 0 3 2 1 0 1 0

9 6 3 6 14 2 3 2 1

9 9 3 9 16 3 3 3 1

, como ∀ bij ≠ ∅ el grafo es conexo

0DWUL] GH LQFLGHQFLD

Muestra adyacencias de aristas en vertices. Es la matriz M de |V| filas y |E| columnas, donde mij=1 si vi es vértice de la arista ej, en caso contrario es 0. Solo puede definirse para grados simples.

Para comprobar si un grafo es conexo:

• Se halla la matriz adyacencia de orden n×n y se eleva a la n-1 potencia
• Si todos sus elementos son ≠ 0, el grafo es conexo.

Arista de separación o puente: Aquella que al ser suprimida deja desconectados sus dos vértices.

Si e=(u,v), e∈G es un puente y G tiene k componentes conexas, G-{e} tendría k+1 componentes

conexas

Punto de corte : es un vértice de un grafo conexo G que una vez suprimido convierte a G en

disconexo.

*UDIR HXOHULDQR

Camino euleriano es el camino que contiene a todas las aristas, apareciendo cada una

exactamente una vez.

Circuito euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vertice.

El grafo que admite algun circuito euleriano se llama grafo euleriano.

v1 v2 v3 v4 v v1 0 1 1 0 0 v2 1 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 1 v4 0 1 1 0 0 v5 0 0 1 0 0

v1 v

v3 v v

Ver Uned 89 acerca de como recorrer sin levantar el boli.

$OJRULWPR GH )OHXU\

Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de un circuito

euleriano.Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristas arbitrariamente sometida a

2 condiciones:

1. Se borran las aristas a medida que son atravesadas
2. Solo se recorre una arista puente si no queda otra alternativa

Si el grafo es semieuleriano hay que empezar en un vértice de grado impar.

Si quedas atrapado es que no es euleriano.

+DPLOWRQ

Camino Hamiltoniano: Es aquel que recorre todos los vértices sin pasar 2 veces por la misma arista. Solo puede existir en grafos simples donde no existan vértices impares. Grafo Hamiltoniano - Aquel que admite un camino hamiltoniano.

Es Semihamiltoniano si tiene una trayectoria abierta y pasa una sola vez por cada uno de los

vértices

Todos los hamiltonianos son eulerianos y todos los semihamiltonianos son semieulerianos.

Teorema:

Si un grafo es conexo con |V|≥3, 2 vertices no adyacentes, y ∑∂v>n el grafo es hamiltoniano. No es imprescindible que se cumpla para ser hamiltoniano.

En un grafo, la relación en el conjunto de vertices dada por “estar conectado con” es una relación

de equivalencia (Uned 145). Las clases de equivalencia se llaman componentes conexas de G.

Cada vértice tiene un grado superior a la mitad+1 del número de vértices. ??

$UEROHV

Árbol : Es un grafo conexo y sin circuitos ni lazos.

Ejemplos: n1: o n6: 6 arboles n2: o–o = n7: 11 n8: 23 n3: o–o–o = n9: 47 n10: 106 n4: o–o–o–o = etc,...

n5: o–o–o–o–o =

Un grafo es un árbol ⇔ entre cada par de vertices existe un y solo un camino simple.

Bosque: Grafo cuyas componentes conexas no tienen circuitos.

Teorema:

Sea G(V,E) a) G es un árbol

b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino. c) G es conexo y toda arista de G es de separación

*Arista de separación es aquella tal que si el grafo es conexo, al suprimirla se divide en 2 conexos

d) G no tiene circuitos y |V|=|E|+ e) G es conexo y |V|=|E|+ f) G no tiene circuitos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito

Estas son condiciones equivalentes: a⇒b⇒c⇒d⇒e⇒f⇒a

Demostración a⇒b Porque por definición es conexo y sin circuitos propios b⇒c Es conexo porb. Si hubiese más de un camino entre 2 vértices existiría un circuito. Por definición de árbol esto no puede ocurrir. c⇒d porque en circuito no existe separación |V|=|E|+ Inducción en |V|: Base de inducción |V|=1 como mínimo 1 vértice v⇒|E|= |V|=|E|+ Paso inductivo: Suponemos que el teorema es cierto para grados con menos de n vértices (n=|V|), G-{e}=G´ G 1 =(V 1 , E 1 ) |V 1 ||E|) ???? 2)los n-k vértices restantes necesitan al menos otras n-k aristas que les unan con los demás y quede G conexo |E|≥ k+(n-k)=n=|V| pero por hipótesis |V|=|E|+1 ?????

f⇒g ¿G es conexo? Si tenemos 2 componentes conexas distintas y añadimos arista no se forma circuito y se produce una contradicción Vemos que si no es conexo podría tener 2 supuestas componentes conexas

Pero si le añadimos una arista no se crea un circuito, por lo tanto G tendrá que ser conexo

Árbol Generado - Subgrafo conexo de G que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos