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5. Integración en R
5.1. Definición y propiedades
Sea f acotada en [a, b]. Dividimos [a, b] en n subintervalos de
la misma longitud ∆x por medio de los n+1 puntos:
a = x 0 < x 1 < · · · < xn = b con xk+ 1 −xk =
b−a n
≡ ∆x.
Para cada n llamamos suma inferior Ln y superior Un a:
Ln =
n
k= 1
mk∆x , Un =
n
k= 1
Mk∆x , con
mk = ínf{ f (x) : x ∈ [xk− 1 , xk]}
Mk = sup{ f (x) : x ∈ [xk− 1 , xk]}
Def.
Si ambas sucesiones {Ln} y {Un} convergen hacia un
mismo límite, decimos que f es integrable en [a, b] ,
representamos ese límite común por
∫ (^) b
a f^ ó^
∫ (^) b
a f^ (x)dx
y le llamamos integral de f en [a, b].
m 4
M 4
a=x 0 x 1 !xx 2 x 3 b=x 4
[Esta no es la definición de ‘integral de Riemann’ habitual (ver Spivak), pero es mucho más corta].
El significado geométrico es claro: si f ≥ 0 , la integral (≥ 0 ) representa el área A de la región
limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas x=a y x=b : A es para todo n mayor que
la suma Ln de las áreas de los rectángulos pequeños y menor que la suma Un de los grandes;
al crecer n , ambas sumas tienden hacia A. Si f ≤ 0 , Ln y Un son negativas. La integral (≤ 0)
en valor absoluto es el área de la región (situada bajo el eje x ) limitada por el eje x , la gráfica
de f y las rectas x = a y x = b. Si f es positiva y negativa, la integral
a b
+ +
-
∫ (^) b
a f^ será la^ diferencia entre las áreas de las regiones que queden por
encima y las áreas de las que queden por debajo del eje x :
Con los teoremas que veremos, para saber si f es integrable y calcular la integral no necesi-
taremos usar la definición casi nunca. Por ahora, sólo con lo visto, veamos unos ejemplos:
Ej. f (x) = x 2 , x ∈ [ 0 , 1 ].
Ln =
n
k= 1
(k− 1 )^2 n^2
1 n =^
1 n^3
[
2
]
Un =
n
k= 1
k^2 n^2
1 n
1 n^3
[
12 + · · · + n^2
]
0 1
1
Usando el resultado que vimos en un problema de sucesiones:
12 + · · · + n^2 =
n[n+ 1 ][ 2 n+ 1 ] 6 ; Ln =
[n− 1 ]n[ 2 n− 1 ] 6 n^3 , Un =
n[n+ 1 ][ 2 n+ 1 ] 6 n^3 ; Ln , Un → 1 3
∫ (^1) 0 f^.
1
a b b–a n
__
Ej. g(x) =
{ − 1 si x = a 0 si a < x < b 1 si x = b
. Ln = − b−a n ,^ Un^ =^
b−a n ⇒^
∫ (^) b a g^ =^ 0.
g es discontinua, pero integrable. Seguiría siendo
∫ (^) b a g^ =^ 0 si cambiamos el valor 0 por cualquier otro en un número finito de puntos de (a, b).
Veremos pronto que funciones acotadas con un número finito de discontinuidades son siempre integra-
bles, así que las funciones no integrables tienen que ser tan patológicas como la siguiente.
a b
Ej. h(x) =^1
{ 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R−Q
, x ∈ [a, b]. En cada [xk− 1 , xk] hay puntos de Q y de
R−Q ⇒ Ln =
n
k= 1
b−a n = 0 , Un =
n
k= 1
b−a n = b − a ∀n ⇒ h no integrable.
Las siguientes propiedades son intuitivamente claras a la vista del significado geométrico de la
integral y se demuestran mecánicamente usando de las definiciones (las dos primeras se resumen
diciendo que ‘la integral es lineal’, como la derivada):
Teorema:
Sean f y g integrables en [a, b]. Entonces:
∫ (^) b
a c f^ =^ c^
∫ (^) b
a f^ ,^ c^ ∈^ R^ ;^
∫ (^) b
a [^ f^ +^ g] =^
∫ (^) b
a f^ +^
∫ (^) b
a g^.
Si m ≤ f ≤ M en [a, b] ⇒ m(b − a) ≤
∫ (^) b
a f^ ≤^ M(b^ −^ a)^.
∫ (^) b
a f
∫ (^) b
a |^ f^ |^.^ Si^ f^ ≤^ g^ en^ [a,^ b]^ ⇒^
∫ (^) b
a f^ ≤^
∫ (^) b
a g^.
Si f es impar
∫ (^) a −a
f = 0. Si f es par
∫ (^) a −a
f = 2
∫ (^) a 0
f.
M
m
f
g
a c b
La siguiente sigue siendo intuitiva, pero es pesada de demostrar con nues-
tra definición. [Para f continua será trivial usando los teoremas de 5.2,
pero la propiedad es cierta también para f integrable y discontinua].
Teorema:
Si a
Def. El conjunto de todas las primitivas se designa por
∫
f (x) dx.
(Son funciones y no un número como
∫ (^) b
a f^ ; a veces se llama^ integral definida^ de^ f
entre a y b a esta última, e integral indefinida al conjunto de primitivas).
En algunos casos, hallar la primitiva de una f es inmediato y, por tanto, lo es calcular algunas
integrales. Por ejemplo, es ahora ya trivial calcular la primera integral vista en 5.1:
Ej.
∫ (^1) 0 x
2 dx = x^3 3
] 1
0
1 3 pues^
x^3 3 es una primitiva de^ x
2 ya que d dx
x^3 3 =^ x
2 ;
(todas las primitivas de x 2 son
∫ x 2 dx = 1 3 x
3 +K ; si para el cálculo de esta integral tomásemos otro valor de la K 6 = 0 , llegaríamos, desde luego, al mismo resultado).
De hecho, cada derivada conocida nos proporciona una fórmula de integración:
Ej.
∫ dx cos^2 x = tan x ,
∫ sh x = ch x ,
∫ dx [ 4 −x]^2
1 4 −x
∫ 2 x dx x^2 − 1 = log |x^2 − 1 | ,...
(más exacto sería escribir tan x+K , ch x+K , ... ; nosotros no lo haremos pero tengámoslo en cuenta).
A menudo al integrando le faltarán constantes que se calculan derivando de cabeza (como con
la x
2
de arriba: derivando x
3
se tiene 3x
2
, luego falta
1
3 en la primitiva):
Ej.
∫ √dx 1 − 9 x^2
1 3 arc sen^ (^3 x)^ ,^
x − 5 / 3 dx = − 3 2 x
− 2 / 3 ,
∫ dx 4 +x^2
∫ dx 4 [ 1 +(x/ 2 )^2 ]
1 2 arctan^
x 2 ,...
Pero en muchísimas ocasiones calcular primitivas puede ser largo o muy complicado (a ello
nos dedicaremos en la próxima sección). Más aún, hay funciones de apariencia sencilla para
las que se demuestra que no tienen primitivas que puedan escribirse como suma, producto,
composición,... de funciones elementales, como:
senx
2
dx ,
e
x^2
dx ,
sen x
x dx^ ,^
ex
x dx^ ,^
dx
log x ,^
1 +x
3
dx ,
1 +x
2
dx ,...
Si f es continua una primitiva suya es la F de los teoremas fundamentales (pero esto no
sirve para calcular una integral concreta); así F(x) =
∫ (^) x
0 sent
2
dt , F
∗
(x) =
∫ (^) x
− 1 sent
2
dt , ... son
todas primitivas de f (x) = sen x
2
; es decir,
sen x
2
dx =
∫ (^) x
a sent
2
dt + K.
Las variables x, t, ... son mudas, pero no se repite la letra del límite de integración en el
integrando porque podría dar lugar a errores: F( 1 ) es
0 sent
2
dt pero no es
0 sen 1^ dx^ y a
esto nos podría llevar la incorrecta notación
∫ (^) x
0 sen^ x
2
dx.
También hay funciones integrables sin primitivas (claramente no pueden ser continuas):
Ej. f (x) =
{ 1 si x = 0 0 si x 6 = 0
no tiene primitiva
( F(x) =
∫ (^) x a f^ =^0 ∀x^ no lo es
0
1
De los TFCI se deducen las propiedades que habíamos adelantado para el log x =
∫ (^) x 1
dt t
f (x) =
1 x
continua si x > 0 ⇒ F(x) = log x derivable (y continua) si x > 0 y F
′
(x) =
1 x
[De la definición también se deducirían, aunque no lo vamos a hacer aquí,
las otras propiedades: log (ab) = log a+log b (si a, b > 0 ),... ].
El segundo TFCI permite también probar con facilidad algunas de las propiedades generales de
las integrales vistas en 5.1, en el caso particular de que el integrando sea continuo; por ejemplo,
si F y G son primitivas de f y g se tiene:
∫ (^) b
a [^ f^ +^ g] = F^ +^ G^ −^ F^ +^ G =^ F(b)^ −^ F(a) +^ G(b)^ −^ G(a) =^
∫ (^) b
a f^ +^
∫ (^) b
a g^ ,
b
a f^ =^ F(b)^ −^ F(a) =^ F(b)^ −^ F(c) +^ F(c)^ −^ F(a) =^
c
a f^ +^
b
c f^ , ...
Pero recordemos que también son ciertas estas propiedades para las funciones continuas a
trozos. De hecho, sabemos hallar ya fácilmente integrales de muchas f de ese tipo, dividiendo
el intervalo y aplicando los TFCI en cada subintervalo:
Ej. Hallemos
∫ (^) π
0
f , si f (x) =
cos x , 0 ≤ x ≤ π/ 2
− 1 , π/ 2 < x ≤ π
∫ (^) π 0 f^ =^
∫ (^) π/ 2 0 cos^ x dx^ +^
∫ (^) π π/ 2 [−^1 ]dx^ = [sen^ x]
π/ 2 0 + [−x]
π π/ 2 =^1 −^
π
[ pues
∫ (^) π π/ 2 f^ =^
∫ (^) π π/ 2 [−^1 ]dx^ , ya que coinciden salvo en^ x^ =^
π 2
]
0
1
!/
cos x
!
También sabemos hallar ∀x ∈ [ 0 , π] la primitiva:
∫ (^) x
0
f =
x 0 costdt^ ,^0 ≤^ x^ ≤^ π/^2 ∫ (^) π/ 2 0 costdt^ +^
∫ (^) x π/ 2 [−^1 ]dt^ ,^ π/^2 ≤^ x^ ≤^ π^
sen x , 0 ≤ x ≤ π/ 2
1 + π 2 −^ x^ ,^ π/^2 ≤^ x^ ≤^ π
[función que, como nos aseguraba el primer TFCI, es continua también en x = π/2 ].
Como sabemos hallar derivadas de funciones definidas por integrales, sabemos hacer con ellas
todo lo visto en cálculo diferencial: rectas tangentes, crecimiento y decrecimiento, extremos,
límites indeterminados,...
Ej. Hallemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) =
∫ (^) x − 1
t^3 t^4 − 4 dt en x = 1 :
F
′ (x) = x^3 x^4 − 4
, F
′ ( 1 ) = − 1 3 ;^ F(^1 ) =^
∫ (^1) − 1
t^3 t^4 − 4 dt = 0 (integrando impar) ⇒ tangente: y = − x− 1
[ podríamos (primitiva inmediata), pero no es útil, calcular la F(x) = 1 4
[
log |x^4 − 4 | − log 3
]
Ej. Sea F(x) =
∫ (^) x 1 arctan e
t dt. Estudiar dónde F es inyectiva. Precisar si F( 0 ) > 0 ó F( 0 ) < 0.
Integrando continuo ∀x
TFC ⇒ F ′ (x) = arctan(e x ) > 0 ∀x , pues e x > 0 ∀x
⇒ F es estrictamente creciente en R ⇒ F es inyectiva en todo R.
Será F( 0 ) < 0 porque F es estrictamente creciente y F( 1 ) =
∫ (^1) 1 =^ 0 , o porque F( 0 ) =
∫ (^0) 1 =^ −
∫ (^1) 0 y es^
∫ (^1) 0 >^ 0 (integrando positivo en todo^ R).
Ej. Determinemos, si existe, el límite de G(x) = 1 x
∫ (^) x
0
| cost^3 | t^2 + 1 dt cuando x → 0 y cuando x → ∞.
El numerador F =
∫ (^) x 0 es continuo y derivable^ ∀x^ (integrando continuo) y es^ F(^0 ) =^
∫ (^0) 0 =^ 0. Cuando x → 0 tenemos indeterminación 0/0. Por L’Hôpital,
l´ım x→ 0
G(x) = l´ım x→ 0
F′(x) 1 = l´ım x→ 0
| cos x^3 | x^2 + 1
Si x → ∞ , tal vez no valga L’Hôpital (¿tenderá F a ∞?). De hecho, no hay indeterminación, pues vamos a ver (aunque la primitiva sea no calculable) que F está acotada. En efecto:
| cos x^3 | x^2 + 1
1 x^2 + 1 ∀x ⇒ 0 ≤ F(x) ≤
∫ (^) x 0
dt t^2 + 1 = arctan x ∀x
⇒ 0 ≤ l´ım x→∞
G ≤ l´ım x→∞
arctan x x =^0 ⇒^ G^ → x→ 0
En ocasiones se trabaja con funciones similares a la F(x) , definidas por integrales de funciones
f continuas, pero con límites de integración que son también funciones (derivables) de x. Los
TFCI también nos permiten derivarlas:
Si H(x) =
∫ b(x)
a(x)
f entonces H
′
(x) = f [b(x)] b
′
(x) − f [a(x)] a
′
(x).
(Para los x tales que f sea continua en [a(x), b(x)] )
o en [b(x), a(x)] si a(x) > b(x)
[
H(x) =
∫ (^) b(x)
0 f^ −^
∫ (^) a(x)
0 f^ =^ F[b(x)]^ −^ F[a(x)]^ , con^ F(x) =^
∫ (^) x
0 f^ , y regla de la cadena
]
5.3. Cálculo de primitivas
Ya vimos en la anterior sección cómo calcular primitivas inmediatas, consecuencias directas de
las fórmulas de derivación (o casi inmediatas, teniendo cuidado con las constantes que pudieran
faltar). Nos dedicamos ahora a ver cómo hallar primitivas algo más complicadas. No existen
muchas más técnicas que las que veremos en esta sección. Que nos quede claro que la mayoría
de las primitivas no son calculables.
De la linealidad de la derivada se deduce inmediatamente para las primitivas que:
[ f (x) + g(x)]dx =
f (x)dx +
g(x)dx ,
c f (x)dx = c
f (x)dx.
Ej.
∫ [
x + 6 + 5 sen x − 7 x
]
dx = 4
x + 6 dx + 5
sen x dx −
x dx = 8 3 [x+^6 ]
3 / 2 − 5 cos x − 7 x log 7
(insistimos en que no lo escribiremos nosotros, pero que no olvidaremos que podemos añadir +K ).
Es falso que la integral de un producto sea el producto de las integrales por no serlo la derivada,
pero de la fórmula del producto ( f g)
′
= f g
′
+ f
′
g obtenemos:
Integración por partes. Sean f ′
y g
′
continuas (para que existan las primitivas). Entonces:
f (x)g
′
(x)dx = f (x)g(x) −
f
′
(x)g(x)dx ;
∫ (^) b
a f^ (x)g
′
(x)dx = f (x)g(x)
]b
a
∫ (^) b
a f^
′
(x)g(x)dx
Esto reduce el problema a calcular otra primitiva, que será más sencilla si f
′
y g lo son (o si
una de ellas lo es y la otra no es más complicada que la anterior).
Con la notación d f ≡ f
′
(x)dx , la integración por partes se escribe
udv = uv −
vdu.
Ej.
∫ x sen x dx =
[
u = x , dv = sen x dx → du = dx , v = − cos x
]
= −x cos x −
∫ (− cos x) dx = −x cos x + sen x.
Ej.
∫ xe −x dx = [ u = x , dv = e −x dx → du = dx , v = −e −x ] = −x e −x
∫ e −x dx = −(x+ 1 ) e −x .
[las primitivas de sen x y e−x^ no son peores que ellas, pero la derivada del x sí es más sencilla].
Otras funciones que mejoran al derivarlas son los logaritmos (las potencias de x no se complican):
Ej.
x log |x|dx =
[
u = log |x| , dv =
x dx
]
2 3 x
3 / 2 log |x| − 2 3
∫ x 3 / 2 dx x =^ x
3 / 2
[
2 3 log^ |x| −^
4 9
]
Algunas veces conviene tomar g′^ = 1 (es decir, dv = dx ):
Ej.
∫ log x dx =
[
u = log x , dv = dx → du = dx x ,^ v^ =^ x^
]
= x log x −
∫ dx = x log x − x.
Ej.
∫ arctan x dx = [ u = arctan x , dv = dx ] = x arctan x −
∫ x 1 +x^2 = x arctan x − 1 2 log ( 1 +x^2 ).
Otras veces hay que repetir la integración por partes:
Ej.
∫ x 2 e x dx = x 2 e x − 2
∫ x e x dx = x 2 e x − 2 xe x
∫ e x dx = [x 2 − 2 x + 2 ] e x . u ↑ dv ↑ u ↑ dv ↑
Ej. Otro truco:
log xdx x = log x log x −
log xdx x
log xdx x
1 2 [log x]
2 [se podía haber hecho a ojo].
Combinando las dos últimas ideas:
Ej. I =
∫ cos x exdx = cos x ex^ +
∫ sen x exdx = ex[cos x + sen x] − I ⇒ I = 1 2 ex[cos x + sen x] u↑^ dv↑^ u↑^ dv↑
Ej. Curiosidad:
dx x =^
[
u = x, dv = dx x^2 → du = dx, v = − 1 x
]
dx x ¿^ ⇒^? 0^ =^ −1 !! [no olvidemos que hay una K arbitraria aunque no la escribamos].
Primitivas de funciones racionales:
∫ P(x) Q(x)
dx , con P y Q polinomios.
Si el gr P ≥ gr Q , dividimos:
P Q
= C +
R Q
con el resto R de grado menor que Q.
Vimos que Q se puede escribir como producto de polinomios del tipo (x−a)
m
[raíces reales] y
x
2
+cx+d
)n
[complejas], siendo m y n la multiplicidad de las raíces [ m = 1 si son simples].
[El problema es que (como vimos en 3.3), salvo para Q especialmente sencillos, realizar esta descomposición es, en la práctica, imposible por ser imposible hallar sus raíces].
Se prueba que
R Q
se puede escribir como suma de constantes por funciones del tipo:
1 (x−a)
j ,^
1 (x^2 +cx+d)
k y^
x (x^2 +cx+d)
k , con^1 ≤^ j^ ≤^ m^ ,^1 ≤^ k^ ≤^ n^ (llamadas^ fracciones simples).
Para ‘descomponer en fracciones simples’
R Q
(hallar la constante que acompaña a cada fracción)
basta resolver un sistema lineal de ecuaciones. Y así, el problema de integrar P/Q se reduce,
una vez factorizado Q , al de integrar el polinomio C y funciones como las últimas.
Ej. I =
∫ 4 x^4 − 6 x^3 + 5 x^2 − 11 x+ 4 x^5 −x^4 +x^3 − 3 x^2 + 2 x dx =
∫ R(x) Q(x) dx (ya es 4 < 5 ). Empezamos factorizando:
Q(x) = x (x− 1 )
2 (x 2 +x+ 2 ) [suerte hemos tenido] y descomponemos en fracciones simples:
R(x) Q(x) =^
A x +^
B x− 1 +^
C (x− 1 )^2
Dx+E x^2 +x+ 2
A(x^4 −x^3 +x^2 − 3 x+ 2 )+B(x^4 +x^2 − 2 x)+C(x^3 +x^2 + 2 x)+(Dx+E)(x^3 − 2 x^2 +x) x(x− 1 )^2 (x^2 +x+ 2 ) [ Si hubiera (x− 1 ) m escribiríamos B 1 x− 1
Bm (x− 1 )m^ ; si (x^2 +x− 2 )
n , D 1 x+E 1 x^2 +x+ 2
Dnx+En (x^2 +x+ 2 ) n
]
Igualando los coeficientes de x^4 , x^3 , x^2 , x y la constante de ambos términos se obtiene el sistema:
A + B + D = 4 , −A +C − 2 D + E = − 6 , A + B +C + D − 2 E = 5 , − 3 A − 2 B + 2 C + E = − 11 , 2 A = 4
Resolviéndolo: A = 2 , B = 1 , C = −1 , D = 1 , E = − 1
⇒ I =
2 dx
x +^
dx
x− 1 −^
dx (x− 1 )^2
∫ (x− 1 )dx
x^2 +x+ 2
Las
∫ dx (x−a) m son casi inmediatas. Más trabajo dan las otras. Primero se busca un logaritmo:
1 2
( 2 x− 2 )dx x^2 +x+ 2
1 2
( 2 x+ 1 )dx x^2 +x+ 2
3 2
dx x^2 +x+ 2
Y luego un arco tangente completando el cuadrado: x 2
2
7 4 =^
7 4
[( 2 x√+ 1 7
) 2
] .
Por tanto:
(x− 1 )dx x^2 +x+ 2 = 1 2 log(x^2 +x+ 2 ) − 3 2
√^2 7
∫ 2 /
√ 7 dx
([^2 x+^1 ]/
√
2
I = 2 log |x| + log |x− 1 | + 1 x− 1
1 2 log (x^2 +x+ 2 ) − √^3 7
arctan
( (^2) √x+ 1 7
) .
Ej. I =
x^4 − 5 x^2 +x+ 8 x^3 +x^2 − 4 x− 4 dx =
∫ (x− 1 ) dx +
x+ 4 (x+ 1 )(x+ 2 )(x− 2 ) dx [de nuevo las raíces eran sencillas].
x+ 4 (x+ 1 )(x+ 2 )(x− 2 )
A
x+ 1 +^
B
x+ 2 +^
C
x− 2 =^
A(x+ 2 )(x− 2 )+B(x+ 1 )(x− 2 )+C(x+ 1 )(x+ 2 ) (x+ 1 )(x+ 2 )(x− 2 )
Cuando haya tantas raíces reales, mejor que igualar coeficientes se hace x = a para cada raíz a :
x = − 1 → − 3 A = 3 , A = −1 ; x = − 2 → 4 B = 2 , B = 1 2 ; x = 2 → 12 C = 6 , C = 1 2
→ I = 1 2 x^2 − x − log |x+ 1 | + 1 2 log |x+ 2 | + 1 2 log |x− 2 | = 1 2
[
x^2 − 2 x + log
|x^2 − 4 | |x+ 1 |^2
]
[Para hallar las primitivas de las fracciones simples más complicadas
∫ (^) dx (x^2 +x+ 2 ) n
se utilizarían fórmulas de reducción como la propuesta en problemas].
Primitivas de funciones trigonométricas
[Aparecen muy a menudo, ya que están muy ligadas a la integración en polares].
Para integrar
R(sen x, cos x) dx , con R función racional en sen x y cos x , existe siempre un
cambio
[
u=tan
x 2
]
que la lleva a una racional, pero veamos antes una serie de casos más fáciles.
sen
m
x cos
n
x dx :
Si m ó n son impares:
sen
2 k+ 1
x = sen x( 1 − cos
2
x)
k
y se hace u = cos x.
cos
2 k+ 1
x = cos x( 1 − sen
2
x)
k
y se hace u = sen x.
Si m y n pares, se escriben en función del ángulo doble: sen
2
x =
1 −cos 2x 2
, cos
2
x =
1 +cos 2x 2
Ej.
∫ sen^2 x cos^3 xdx =
∫ ( 1 − sen^2 x) sen^2 x cos xdx = [u = sen x o a ojo
] =
∫ (u^2 − u^4 )du = 1 3 sen^3 x − 1 5 sen^5 x.
Ej.
∫ cos 4 xdx = 1 4
∫ ( 1 +cos 2x) 2 dx = 1 4
∫ dx + 1 2
∫ cos 2xdx + 1 8
∫ ( 1 +cos 4x)dx = 3 x 8
sen 2x 4
sen 4x 32
La integral general
R(sen x, cos x) dx se convierte en cociente de polinomios haciendo:
u = cos x , si R es impar en sen x [ es decir, si R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x) ].
u = sen x , si R es impar en cos x [ es decir, si R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x) ].
u = tan x
[
cos
2
x =
1 1 +u^2
, dx =
du 1 +u^2
]
, si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x).
u = tan
x 2
[
sen x =
2 u 1 +u^2
, cos x =
1 −u^2 1 +u^2
, dx =
2 du 1 +u^2
]
, para cualquier R [último recurso].
Ej.
dx
sen x =^
sen xdx 1 −cos^2 x
= [ u = cos x ] =
∫ du u^2 − 1
1 2
∫ du u− 1 −^
1 2
∫ du u+ 1 =^
1 2 log^ |^
u− 1 u+ 1 |^ =^ log^ |^
cos x− 1 cos x+ 1 |^.
O de otra forma:
dx sen x
= [ u = tan
x 2 ]^ =^
∫ (^2) du/[ 1 +u^2 ] 2 u[ 1 +u^2 ]
∫ (^) du u =^ log^ |^ tan^
x 2 |^.
[Ha salido tan fácil por casualidad; las dos expresiones de la primitiva deben coincidir salvo K arbitraria (con pocas cuentas se ve que son iguales)].
Ej.
dx cos^3 x sen x
dx cos^4 x tan x
= [ u = tan x ] =
∫ [ 1 +u^2 ] 2 du u[ 1 +u^2 ]
∫ (^) du u
∫ udu = log | tan x| + 1 2 tan^2 x.
Más largo:
∫ dx cos^3 x sen x
∫ sen x dx cos^3 x[ 1 −cos^2 x]
u=cos x
∫ du u^3 [u+ 1 ][u− 1 ]
∫ [
1 / 2 u+ 1 +^
1 / 2 u− 1 −^
1 u −^
1 u^3
]
du
1 2 log^ |^1 −u
2 | − log u + 1 2 u^2 = log | sen x| − log | cos x| + 1 2 cos^2 x
[
Peor todavía sería hacer u = sen x (también es impar en coseno) ó u = tan x 2
por ejemplo, con el último cambio queda la complicada primitiva
∫ ( 1 +u^2 )^3 u( 1 −u^2 )^3
du
]
Ej.
∫ (^) π
0
dx 1 +cos^2 x
[
u = tan x , dx = du 1 +u^2
]
∫ (^0)
0
du 2 +u^2
1/
1
!
1+cos x
_____^1 2 [resultado evidentemente falso: el integrando es siempre positivo y la integral debía ser un número positivo. No olvidemos que en los cambios de variable las funciones f y g ′ deben ser continuas. El cambio hecho (clásico, como hemos dicho, para este tipo de integrales) es válido sólo hasta π 2 ; sí es cierto que ∫ (^) π/ 2
0
dx 1 +cos^2 x
∫ (^) ∞
0
du 2 +u^2
√^1 2
∫ (^) ∞
0
1 /
√ 2 du 1 +[u/
√ 2 ]
2 =^
√^1 2
arctan
√u 2
∞
0
π
√ 2 4
∫ (^) π 0 =^
π
√ 2 2
pues el integrando es simétrico respecto a x = π 2
. Al ∞ que nos ha aparecido (que como siempre representará un límite) le daremos más seriedad cuando estudiemos las integrales impropias].
Primitivas de irracionales
(las más simples; R función racional de x y de la raíz que se indica).
∫
R
x,
n
ax + b
dx se convierte en racional haciendo u =
n
ax + b.
Ej.
x[ 1 +x]^1 /^4 dx =
[ u = [ 1 +x]^1 /^4 , x = u^4 − 1 dx = 4 u^3 du
]
∫ 4 (u^8 −u^4 )du = 4 u^9 9
4 u^5 5
4 9 [ 1 +x]^9 /^4 − 4 5 [ 1 +x]^5 /^4.
También se puede hacer por partes: ∫ x[ 1 + x]^1 /^4 dx = 4 5 x[ 1 + x]^5 /^4 − 4 5
∫ [ 1 + x]^5 /^4 dx = 4 5 x[ 1 +x]^5 /^4 − 16 45 [ 1 +x]^9 /^4.
Ej.
∫ (^5)
4
dx x− 4
√ x− 4
[ u =
√ x − 4 , x = u 2
]
=
∫ (^1) 0
2 u du u^2 − 4 u+ 4
∫ (^1) 0
2 (u− 2 + 2 ) du (u− 2 )^2
∫ (^1) 0
2 du u− 2
∫ (^1) 0
4 du (u− 2 )^2
= 2 log |u− 2 |
∣^1
0 −^
4 u− 2
∣^1
0 =^2 (^1 −log 2)^.
∫
R
x,
a^2 − x^2
dx se convierte en trigonométrica haciendo x = a sen u.
Ej.
4 − x^2 dx = [ x = 2 sen u , dx = 2 cos u du ] =
∫ 4 cos^2 u du = 2 u + sen 2u
= 2 u + 2 sen u
1 − sen^2 u = 2 arc sen x 2
x 2
4 − x^2.
∫
R
x,
x^2 +a
dx se convierte en racional haciendo u = x +
x^2 +a ,
puesto que (u−x)
2
= u
2
− 2 xu+x
2
= x
2
+a → x =
u 2
a 2 u
→ dx =
1 2
a 2 u^2
du.
El cambio u =
x^2 +a no sirve de nada pues vuelven a aparecer raíces al despejar la x
Ej.
∫ dx x
x^2 + 1
[
u = x +
x^2 + 1 , x = u^2 − 1 2 u ,^ dx^ =^
1 +u^2 2 u^2 du
]
2 du u^2 − 1 = log | u− 1 u+ 1 |^ =^ log
x 1 +
x^2 + 1
Ej.
∫ √xdx x^2 + 1
x^2 + 1 [¡a ojo! , antes de ponerse a calcular a lo loco, miremos si es inmediata].
[
Las primitivas con raíces
ax^2 + bx + c se reducen a las últimas completando cuadrados
]
Recordamos que si las raíces son más complicadas (como
x^3 + a ó
x^2 + a ), las integrales, son, en
general, no calculables. Esto no quiere decir que alguna, en particular, no lo sea:
Ej.
∫ √x^7 dx x^4 + 1
= [t = x^4 ] = 1 4
√tdt t+ 1
= [ u =
t+ 1 ] = 1 2
∫ (u^2 − 1 )du = u^3 6
u 2
1 6 [x^4 − 2 ]
x^4 + 1.
[ Pero no se podría hallar la primitiva de
∫ √dx x^4 + 1
]
Otro tipo de primitivas que se convierten en racionales mediante cambios de variable son:
∫
R(e
x
) dx , siendo R función racional de e
x
Haciendo u = e
x
se convierte en la racional
R(u) u
, pues dx =
du u
Ej.
∫ dx 1 +e^2 x^
∫ du u[ 1 +u^2 ]
∫ [
A u +
Bu+C 1 +u^2
]
du =
∫ du u −
∫ u 1 +u^2 = log u− 1 2 log^ (^1 +u
2 ) = x− 1 2 log^ (^1 +e
2 x ).
Las comparaciones con ≤ son siempre más complicadas que las hechas por paso al límite:
Teorema:
Si f y g son positivas para x ≥ a y l´ım
x→∞
f (x) g(x)
= c finito, entonces:
Si c > 0 ,
a g^ convergente^ ⇔^
a f^ convergente.
Si c = 0 ,
a g^ convergente^ ⇒^
a f^ convergente^ [es decir,^
∫ (^) ∞ a f^ diverge^ ⇒^
∫ (^) ∞
a g^ diverge].
Si c > 0 , para x ≥ M es
c 2
f (x) g(x)
3 c 2
c 2
g(x) ≤ f (x) ≤
3 c 2
g(x) y podemos
aplicar el teorema anterior. Si c = 0 , para x ≥ M es 0 ≤ f (x) ≤ g(x) y de nuevo el
teorema. Además está claro que
∞
M f^ converge^ ⇔^
∞
a f^ converge.
Si el integrando f no es positivo, como en las series, conviene considerar el | f | :
Teorema:
a
| f | convergente ⇒
a
f convergente
[
f se dice absolutamente
integrable en [a, ∞)
]
0 ≤ f +| f | ≤ 2 | f | ⇒
a
[
f +| f |
]
convergente ⇒
a f^ =^
a
[
f +| f |
]
a |^ f^ |^ convergente.
Ej.
∫ (^) ∞
3
[log x]^2 x dx^ diverge, pues si^ x^ ≥^ 3 es^
[log x]^2 x ≥^
1 x e^
∫ (^) ∞ 3
dx x diverge.
Por paso al límite debemos utilizar la parte con c=0 ya que log x no se parece a ningún x s :
1 /x [log x] 2 /x
x→∞
0 e
∫ (^) ∞ 3
dx x divergente ⇒
∫ (^) ∞ 3
[log x]^2 x dx diverge (mayor que divergente).
También nos bastaba la definición:
∫ (^) ∞ 3
[log x] 2 x dx^ =^
1 3 [log^ x]
3
]∞
3 →^ ∞^.
Ej.
∫ (^) ∞
0
√^ xdx x^5 −x+ 1
. Cuando x → ∞ , √ x x^5 −x+ 1
1 x^3 /^2
[
es decir,
x/
x^5 −x+ 1 1 /x^3 /^2
x→∞
]
Como
∫ (^) ∞ 1
1 x^3 /^2
converge, la dada también (no sabemos a qué número).
Ej.
∫ (^) ∞ 0 e
−x^2 dx (sin primitiva elemental) converge, pues e−x
2
e−x^ = e x−x^2 → x→∞
0 e
∫ (^) ∞ 0 e
−x dx converge.
O bien, por desigualdades: si x ≥ 1 es e−x
2 ≤ e−x^ y de aquí: ∫ (^) ∞ 1 e
−x dx converge (⇔
∫ (^) ∞ 0 converge)^ ⇒^
∫ (^) ∞ 1 e
−x^2 converge (⇔
∫ (^) ∞ 0 converge). [ con técnicas de integrales dobles se puede ver que
∫ (^) ∞ 0 e
−x^2 dx = 1 2
π
]
Ej.
∫ (^) ∞ 1 sen^
1 x dx^ ∼^
∫ (^) ∞ 1
dx x divergente^
[
pues l´ım x→∞
sen( 1 /x) 1 /x =^ tl´→ım 0 +
sent t =^1
]
⇒ la dada diverge.
Ej.
∫ (^) ∞
0
sen x 1 +x^3 dx es convergente pues
∣ sen^ x 1 +x^3
1 +x^3 e
∫ (^) ∞ 0
dx 1 +x^3 converge
1 x^3 cuando x → ∞
Ej. Aplicando la misma idea a
∫ (^) ∞ 1
sen√ x x dx^ no podemos concluir nada, ya que^
∫ (^) ∞ 1 √^1 x diverge.
Pero
∫ (^) ∞ 0
sen√ x x dx =
∫ (^) π 0 +^
∫ (^2) π π +^ · · · ≡^
∞
k= 1
ak , donde
|ak| =
∫ (^) kπ (k− 1 )π
| sen√ x| x
∫ (^) kπ (k− 1 )π √dx x
[√
kπ −
[k− 1 ]π
]
La serie es alternada, decreciente y con ak → 0 , con lo que por Leibniz converge (y por tanto la integral).
De aquí deducimos que ∫ (^) ∞ 0 sen^ x
2 dx = [ t = x 2 ] =
∫ (^) ∞ 0
sen√t t dt también converge.
! (^2)! 3! 4!
a (^1)
a (^2)
sen(x )^2
1/"x
–1/"x
"!
(¡a pesar de que f (x) no tiende a 0 si x → ∞! [esto no es como en las series]).
La segunda extensión de la definición de integral es para f no acotada en un extremo del
intervalo:
Def.
Supongamos que
∫ (^) b
t f^ existe para todo^ t^ ∈(a,^ b]^. Se define^
∫ (^) b
a+^ f^ =^ l´ım
t→a+
∫ (^) b
t f^ si el límite
existe y en ese caso la integral impropia se dice convergente.
[
Análogamente:
∫ (^) b−
a f^ =^ tl´→ımb−
∫ (^) t a f^
]
(En vez de a
y b
−
suele escribir a y b ; no olvidemos que la integral es impropia).
a t b
[No se pide que f esté acotada en (a, b] , ni siquiera que esté
definida en el punto a ; para que f sea integrable en [t, b] ,
debe, desde luego, estar acotada en cada intervalo de esa forma;
por ejemplo, si f es continua en (a, b] se tiene, para todo t ,
garantizada la existencia de la integral de f en [t, b] , aunque el
límite puede no existir y divergir la integral impropia].
Ej.
0 +^
dx x^2
= l´ım
t→ 0 +
t
dx x^2
= l´ım
t→ 0 +
[
1 t
− 1 ] no existe (la integral impropia diverge).
0 +^
√dx x
= l´ım
t→ 0 +
[ 2 − 2
t ] = 2 , converge (y su valor es 2 ).
En general, se ve fácil que
∫ (^) b a+^
dx [x−a]s^
e
∫ (^) a− c
dx [a−x]s^
convergen si s < 1 y divergen si s ≥ 1.
[x − a]
s tiene sentido para x < a si s = 1 3 ,^
2 7 , ...^ ; si^ s^ =^
1 2 ó^ s^ =^ π^ la función no está definida
Para este otro tipo de impropias existen criterios de convergencia totalmente análogos a los
vistos para las del primer tipo. Resumiendo (las de a
) y sin demostraciones:
Teorema:
Si 0 ≤ f ≤ g en (a, b] ,
∫ (^) b
a+^ g^ convergente^ ⇒^
∫ (^) b
a+^ f^ convergente e^
∫ (^) b
a+^ f^ ≤^
∫ (^) b
a+^ g^.
Sean f , g ≥ 0 en (a, b] y sea finito el l´ım
x→a+
f (x) g(x)
= c , entonces:
si c > 0 ,
∫ (^) b
a+^ g^ converge^ ⇔^
∫ (^) b
a+^ f^ converge; si^ c^ =^ 0 ,^
∫ (^) b
a+^ g^ converge^ ⇒^
∫ (^) b
a+^ f^ converge.
∫ (^) b
a+^ |^ f^ |^ convergente^ ⇒^
∫ (^) b
a+^ f^ convergente.
Ej.
0 +^
cos^2 x x^3 /^4
dx converge, pues 0 ≤ cos^2 x x^3 /^4
1 x^3 /^4
e
∫ (^1) 0 +^
1 x^3 /^4
converge
o porque
cos^2 x/x^3 /^4 1 /x^3 /^4
x→ 0 +
Ej.
∫ (^7) 2 +^
dx x^3 − 8 diverge, pues se parece cerca de x = 2 a
∫ (^7) 2 +^
dx x− 2 divergente: 1 /[x^3 − 8 ] 1 /[x− 2 ]
x^2 + 2 x+ 4
x→ 2
1 12 (o usando L’Hôpital).
Ej.
∫ (^3) 0 +^
dx sen x. Cerca de 0 el sen^ x^ ∼^ x^ :^
1 / sen x 1 /x (^) x→→ 0 1. Como^
∫ (^3) 0 +^
dx x diverge, la dada diverge.
Ej. La
∫ (^) ∞ 0 +^
sen√ x x dx de antes, no plantea problemas en x = 0 , a pesar de anularse su denominador,
pues se parece cerca de 0 a
x que no sólo converge, es continua.
Ej.
∫ (^1) 0 +^ (log^ x)
(^2) dx es convergente, pues (log^ x) 2 1 /
√ x = (x^1 /^4 log x)^2 → x→ 0 +^
0 (lo sabemos desde 4.5),
con lo que la nuestra es más pequeña que una convergente. Y podemos hallar su valor: ∫ (log x) 2 dx = x(log x) 2 − 2
∫ log x dx = x(log x) 2 − 2 x log x+ 2 x ⇒
∫ (^1) 0 +^ (log^ x)
2 dx = 2.
5.5. Integración aproximada
Como sabemos, funciones integrables pueden no tener primitivas elementales o exigir un cálculo
muy largo. Pero en muchas ocasiones, sólo se necesita el valor aproximado de una integral
definida (en otras, simplemente, cotas de dicha integral). Las Un y Ln de 5.1 (y algún teorema
con desigualdades visto en ella) nos daban ya alguna (mala) estimación, pero será más preciso
utilizar series de Taylor o utilizar las fórmulas sencillas (sobre todo para los ordenadores) de
los trapecios o de Simpson que veremos al final de esta sección.
Integración de series de Taylor.
Estas series se podían derivar término a término (en el intervalo de convergencia). Veamos que
también se pueden integrar término a término en ese intervalo (de nuevo como si se tratasen de
’polinomios infinitos’). Esto será consecuencia de los siguientes resultados:
Teorema:
Sea { fn} sucesión de funciones continuas que converge uniformemente
hacia f en [a, b]. Entonces
∫ (^) b
a f^ =^ nl´→ım∞
∫ (^) b
a fn^.
Sea ε > 0. Existe un N tal que si n ≥ N entonces | f (x)− fn(x)| <
ε b−a
para todo x ∈ [a, b].
Si n ≥ N ,
b
a f^ (x)dx^ −^
b
a fn(x)dx
b
a |^ f^ (x)^ −^ fn(x)|dx^ <^
b a
ε
b−a dx^ =^ ε^.
Este resultado es falso si la sucesión de funciones converge sólo puntualmente (el límite de las
integrales puede ser distinto de la integral del límite) como para la siguiente { fn}:
Ej. fn(x) =
2 n 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 / 2 n 2 n − 2 n^2 x , 1 / 2 n ≤ x ≤ 1 /n 0 , 1 /n ≤ x ≤ 1
4
3
2
1
1/4 1/3 1/2 1
La gráfica de cada fn es un triángulo isósceles de altura n sobre el intervalo [ 0 , 1 n ]^ y vale 0 en el resto de^ [^0 ,^1 ]^ ; el área encerrada por cada fn es 1 2 para todo^ n^. El límite puntual de las fn es f (x) = 0 para todo x ∈ [ 0 , 1 ] ya que para cada x , a partir de un N todas las fn(x) = 0 y fn( 0 ) = 0 ∀n. Está claro que { fn} no converge uniformemente y que se tiene:
0 =
∫ (^1) 0 fn^6 =^ nl´ım→∞
∫ (^1) 0 f^ =^
1
Como consecuencia inmediata de lo anterior, tenemos que:
Teorema:
Si
∞ ∑ n= 1
fn converge uniformemente hacia f en [a, b] entonces
∫ (^) b
a f^ =^
∞ ∑ n= 1
∫ (^) b
a fn
Ej. Como f (x) =
∞
n= 1
sen nx n^2 converge uniformemente en todo R, es
∫ (^) π 0 f^ =^
∞
n= 1
∫ (^) π 0
sen nx n^2
∞
n= 1
2 [ 2 n− 1 ]^3
Y en el caso particular de las series de potencias concluimos:
Teorema:
Si f (x) =
∞
n= 0
anxn^ para |x| < R ⇒
∫ (^) x
0 f^ (t)dt^ =^
∞
n= 0
∫ (^) x
0 ant
n
dt =
∞
n= 0
an n+ 1
x
n+ 1
= a 0 x +
a 1 2
x
2
a 2 3
x
3
+ · · · si |x| < R.
Pues en [−x, x] sabemos que la serie converge uniformemente.
[Fuera de (−R, R) la serie no convergerá y no servirá para aproximar niguna integral].
[
El conjunto de primitivas de f será, desde luego:
f (x) dx = C + a 0 x +
a 1 2
x
2
a 2 3
x
3
]
Ej. Calculemos aproximadamente
∫ (^1) 0 senx
(^2) dx (función sin primitiva elemental). Tenemos que:
∫ (^) x 0 sent
2 dt =
∫ (^) x 0 [t
2 − 1 3! t
6
1 5! t
10 − 1 7! t
14
3 − 1 42 x
7
1 1320 x
11 − 1 75600 x
15
∫ (^1) 0 sent
2 dt = 1 3 −^
1 42 +^
1 1320 −^
1 75600 +^ · · · y podemos aproximar la integral con las sumas parciales de esta serie alternada decreciente: ∫ (^1) 0 ≈^
1 3 −^
1 42 ≈^ 0.3095^ con error menor que^
1 1320 ≈^ 0.0007^ <^10
− 3
∫ (^1) 0 ≈^
1 3 −^
1 42 +^
1 1320 ≈^ 0.310281^ con error menor que^
1 75600 ≈^ 0.000013^ ∼^10
− 5
∫ (^1) 0 ≈^
1 3 −^
1 42 +^
1 1320 −^
1 75600 ≈^ 0.310268158^ con error menor que^
1 9!· 19 ≈^ 0.000000145^ ∼^10
− 7
La misma serie de potencias nos da la integral para cualquier otro x. Por ejemplo, si x = 1 2
∫ (^1) / 2 0 sent
(^2) dt = 1 24
1 5376
1 2703360
1 2477260800
(converge mucho más rápidamente, pues cerca de x = 0 se parece más el desarrollo).
También vemos que si x =
2 π ( ≈ 2.51 ) la integral es positiva (como sospechábamos en 5.2): ∫ √ 2 π 0 sent
2 dt =
[ 2 π]^2 /^3 3
[
2 π^2 7 +^
2 π^4 55 −^
4 π^6 1575 +· · ·^
]
≈ 5.24 [1 – 2.82 + 3.54 – 2.44 + 1.06 – 0.31 + · · · ]
Las sumas parciales de la serie entre corchetes son: 1, – 1.82, 1.72, – 0.72, 0.34, 0.09,... (todo va más lento ahora). Como es alternada decreciente (a partir de tercer término) su suma está entre dos sumas parciales consecutivas, con lo que la integral es > 0. [Para dar su valor con un error < 10 − 2 se ve que hay que sumar 8 términos (dos más) y se obtiene 0.43 ].
Como disponemos de su desarrollo de Taylor, aparte de las anteriores aproximaciones, podemos realizar otras operaciones en la que aparezca la integral, como, por ejemplo, calcular algún límite indeterminado:
l´ım x→ 0
3 x
∫ (^) x 0 sent
(^2) dt−x 4
arctan x^8
= l´ım x→ 0
[x^4 − 141 x^8 +··· ]−x^4
x^8 − 1 3 x
1 14 x
(^8) +o(x (^8) )
x^8 +o(x^8 )
1 14
( Por L’H más largo: l´ım x→ 0
[ 1 +x^16 ]
3
∫ (^) x 0 sent
(^2) dt+ 3 x sen x (^2) − 4 x 3
arctan 8x^7
= l´ım x→ 0
6 sen x 2
arctan 56x^6
Ej. Encontremos cotas racionales de I =
0 g^ si^ g(x) =^ x
(^2) e−x^2 (de primitiva no calculable).
Las cotas más sencillas, pues claramente 0 ≤ g(x) ≤ 1 , son 0 =
∫ (^1) 0 0 ≤^ I^ ≤^
∫ (^1) 0 1 =^ 1.
Podemos mejorar la cota superior hallando el máximo de g en [ 0 , 1 ] :
g ′ (x) = 2 x( 1 −x 2 )e −x^2 ⇒ máximo si x = 1 y g( 1 ) = e − 1 ⇒ I ≤
∫ (^1) 0 e
− 1 ≤ e − 1 e>2. < 10
Si comparamos en [ 0 , 1 ] con diversas funciones integrables:
g(x) ≤ x 2 ⇒ I ≤ 1 3 x
3
] 1
0
1 3 (mejor que la anterior)
g(x) ≤ xe −x^2 ⇒ I ≤ − 1 2 e
−x^2
] 1
0
1 2 [^1 −^ e
− 1 ]
e<2. < 1 2 [^1 −^
10 28 ] =^
9 28 (aún menor)
g(x) ≤ x^2 e−x
3 ⇒ I ≤ − 1 3 e−x
3 ] 1
0
1 3 [ 1 − e−^1 ] < 1 3
[ 1 −
10 28
] =
3 14 (más pequeña aún)
g(x) ≥ x 2 e −x ⇒ I ≥
∫ (^1) 0 x
2 e −x dx = partes
− [x 2
] 1
0 = 2 − 5e − 1 > 2 − 50 27 =^
4 27
Pero si queremos obtener cotas con la precisión que necesitemos, lo mejor es usar Taylor:
I =
∫ (^1) 0
[
x^2 − x^4 + 1 2 x^6 − 1 6 x^8 + · · ·
]
dx = 1 3
5
14
54
1 3 −^
1 5 =^
2 15 <^
1 3 −^
1 5 +^
1 14 −^
1 54 =^
176 945 <^ · · ·^ <^ I^ <^ · · ·^ <^
1 3 −^
1 5 +^
1 14 =^
43 210 <^
1
La cota inferior 2 15 es peor que la obtenida comparando, pero 176 945
27 ya la mejora.
Y la superior 43 210 es más pequeña que la menor de las anteriores:^
43 210 <^
3
[Con un ordenador se consigue mucha precisión ( I ≈ 0.189472 ), nosotros hemos conseguido sólo deducir que 176 945 ≈^ 0.186^ <^ I^ <^
43 210 ≈^ 0.205 ; pero nos costaría poco sumar más términos].
Fórmulas de los trapecios y de Simpson.
Para aplicar cualquiera de estos dos métodos no necesitamos la expresión analítica de f ; nos bastan
algunos de sus valores [situación que experimentalmente se presenta a menudo].
f
a a+h (^) a+kh b a+(k+1)h
h
f(a+kh)
f(a+[k+1]h)
T f
h
Trapecios:
Dividimos [a, b] en n partes iguales de anchura b−a n = h.
Como aproximación de
∫ (^) a+[k+ 1 ]h a+kh f^ tomamos el área del
trapecio T de la figura: h 2 [ f (a+kh) + f (a+[k+ 1 ]h)].
Entonces
∫ (^) b a f^ será aproximadamente igual a la suma de las áreas del los n trapecios:
∫ (^) b a f^ ≈^
h 2 [ f (a) + f (a+h)] + h 2 [ f (a+h) + f (a+ 2 h)] + · · · + h 2 [ f (a + [n− 1 ]h) + f (a+nh)] ,
a b
∫ (^) b 1 2 2 2 2 1 a f^ ≈^
h 2
[
f (a) + 2 f (a+h) + 2 f (a+ 2 h) + · · · + 2 f (a+[n− 1 ]h) + f (b)
]
Simpson:
Una aproximación mejor se tendrá si, dividido [a, b] en un número par n = 2 m de partes iguales de
longitud h = b−a n
b−a 2 m , en vez de sustituir cada trozo de f por una recta, la sustituimos por la parábola
que interpola la gráfica de f en tres puntos consecutivos:
Q
f
2
h h x 0 x 1 x (^2)
x 0 = a+kh , x 1 = a+[k+ 1 ]h = x 0 +h y x 2 = a+[k+ 2 ]h = x 0 + 2 h ,
es decir, por el polinomio: Q 2 (x) = A 0 + A 1 (x − x 0 ) + A 2 (x − x 0 )(x − x 1 ) ,
con: A 0 = f (x 0 ) , A 1 = 1 h [^ f^ (x^1 )−^ f^ (x^0 )]^ ,^ A^2 =^
1 2 h^2 [ f (x 2 )− 2 f (x 1 )+ f (x 0 )].
Integrando Q 2 se tiene tras algunos cálculos:
∫ (^) a+[k+ 2 ]h a+kh f^ ≈^
∫ (^) x 0 +^2 h x 0 Q^2 (x)dx^ =^2 hA^0 +^2 h
2 A 1 + 2 3 h
3 A 1 = h 3
[
f (x 0 ) + 4 f (x 0 +h) + f (x 0 + 2 h)
]
a (^) b
1 4 2 4 2 2 4 1 Y sumando las m integrales anteriores obtenemos:
∫ (^) b a f^ ≈^
h 3
[
f (a) + 4 f (a+h) + 2 f (a+ 2 h) + 4 f (a+ 3 h) + 2 f (a+ 4 h) + · · · + 4 f (a+[n− 1 ]h) + f (b)
]
Si se quiere utilizar con seriedad un método numérico se debe hablar del error cometido. Demos algún
resultado sin demostración. La estimación por trapecios es exacta si f (x) es una recta, función con
f ′′ = 0. No es de extrañar que el error dependa de f ′′
. Puede probarse que:
Si | f ′′(x)| ≤ M 2 para x ∈ [a, b] entonces: |error| ≤ 1 12 (b−a)M 2 h^2
Se prueba que Simpson es exacto si f (x) = a + bx + cx^2 + dx^3 y que:
Si | f (^4 )(x)| ≤ M 4 para x ∈ [a, b] entonces: |error| ≤ 1 180 (b−a)M 4 h^4
Se ve que ambos métodos mejoran, como era esperable, cuando h → 0 , más rápidamente Simpson ya que
h 4 tiende más fuertemente a 0 que h 2
. Como las cuentas a realizar en ambos casos son casi las mismas,
será mejor acudir a Simpson si tenemos que aproximar una integral (hay métodos mucho mejores, pero
también más complicados).
Ej. Poco práctico, para comparar y ver si funcionan los métodos. Aproximemos
∫ (^1) 0
4 dx 1 +x^2 (= π) :
Trapecios: h = 1 2 , n = 2 :
∫ (^1) 0 ≈^
4 4
[
4 5
1 2
]
31 10
h = 1 4 , n = 4 :
∫ (^1) 0 ≈^
4 8
[
16 17
4 5
16 25
4 5
]
Simpson: h = 1 2 , n = 2 :
∫ (^1) 0 ≈^
4 6
[
4 5
1 2
]
47 15
h = 1 4 , n = 4 :
∫ (^1) 0 ≈^
4 12
[
16 17
4 5
16 25
4 5
]
Comparemos ahora los números que nos da trapecios y Simpson con los obtenidos por otros caminos en
los ejemplos anteriores de esta sección:
Ej. Calculemos aproximadamente
∫ (^1) 0 senx
2 dx (ya estimada utilizando Taylor):
h = 1 2
T.
∫ (^1) 0 ≈^
1 4 [ 0 + 2 sen 1 4
∫ (^1) 0 ≈^
1 6 [ 0 + 4 sen 1 4
h = 1 4
T.
∫ (^1) 0 ≈^
1 8 [ 0 + 2 sen 1 16
- 2 sen 1 4
- 2 sen 9 16
- sen 1] ≈ 0.
S.
∫ (^1) 0 ≈^
1 12 [^0 +^ 4 sen^
1 16 +^ 2 sen^
1 4 +^ 4 sen^
9 16 +^ sen 1]^ ≈^ 0.
h = 1 6 T.^
∫ (^1) 0 ≈^
1 12 [^0 +^ 2 sen^
1 36 +^ 2 sen^
1 9 +^ · · ·^ +^ sen 1]^ ≈^ 0.
S.
∫ (^1) 0 ≈^
1 18 [^0 +^ 4 sen^
1 36 +^ 2 sen^
1 9 +^ · · ·^ +^ sen 1]^ ≈^ 0.
h = 1 100 T.^
∫ (^1) 0 ≈^ 0.3105^ S.^
∫ (^1) 0 ≈^ 0.
h = 1 1000 T.^
∫ (^1) 0 ≈^ 0.31026839^ S.^
∫ (^1) 0 ≈^ 0.
[estos últimos valores exigen, desde luego, o una enorme paciencia o un ordenador].
Como f ′′ (x) = 2 cos x 2 − 4 x 2 sen x 2 , f ( 4 ) (x) = ( 16 x 4 − 12 ) sen x 2 − 48 x 2 cos x 2 , en [ 0 , 1 ] es
| f ′′ | ≤ 6 , | f ( 4 ) | ≤ 4 | 4 x 4 − 3 | + | 48 x 2 | ≤ 60 → |error T| ≤ 1 2 h
2 ; |error S| ≤ 1 2 h
4
[Para aproximar la integral de 5.2,
∫ √ 2 π 0 sent
2 dt , Simpson con n = 2 y n = 4 da, respectivamente, 1.67 (la gráfica se parece muy poco a una parábola) y 0.42 ].
Ej. Para otra integral aproximada con Taylor I =
∫ (^1) 0 x
(^2) e−x^2 dx , Simpson da muy buenos resultados:
n = 2 → I ≈ 1 6 [^0 +^ e
− 1 / 4
n = 4 → I ≈ 1 12
[ 0 +
1 4 e−^1 /^16 + 1 2 e−^1 /^4 + 9 4 e−^9 /^16 + e−^1 ] ≈ 0.18951 ].
[Lo largo de Simpson es acotar el error (tampoco sabemos con Taylor si sale serie no alternada)].
Ej. Hallemos también con estos métodos algún racional que aproxime I =
∫ (^1) 0 h^ ,^ h(x) =^
2 x 8 −x^2
Probablemente Simpson daría un error < 10 − 2 con ya con h = 1 2 , pero necesitaríamos acotar la^ h
( 4 ) , lo que es largo. Probemos con Trapecios que hay que derivar menos:
h′^ = 2 8 +x^2 [ 8 −x^2 ] 2 ,^ h
′′ (^) = 4 x[^24 +x (^2) ]
[ 8 −x^2 ] 3 →^ en^ [^0 ,^1 ]^ es^ |h
73
→ |error| ≤ 100 12 · 343 h^2 →
basta tomar h = 1 2
→ I ≈
[
h( 0 ) + 2 h( 1 2 ) + h( 1 )
]
1 4
[
8 31
2 7
]
59 434 con error < 10 − 2 .
Ej. Por último, aproximemos con Simpson I 1 =
∫ (^1) 0 r^ , para la^ r(x) =^
x− 1 x^4 + 1
Tomemos h = 1 2
: I 1 ≡
∫ (^1) 0 r^ ≈^
1 6
[
4 · 8 17
]
49 102 ≈ – 0.480 (sin cota del error).
Número coherente con las cotas que calculamos con Taylor:
S 5 ≈ − 0.578 < · · · < I 1 < · · · < S 7 ≈ − 0.401 ,
Y bastante parecido al ‘exacto’ obtenido con la primitiva y utilizando la calculadora: I 1 ≈ −0..
