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Problemas de Matem´aticas (2011/2012).
1. Preliminares.
1.1. Comprobar visualmente con diagramas de Venn las siguientes igualdades entre conjuntos:
a) A ∪ B = (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B) b) A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
1.2. Sea f : L → L la funci´on definida en el alfabeto latino L por f = {(a, b), (b, c),... , (y, z), (z, a)} y sea g : P → L la que asigna a cada miembro de un grupo de personas la inicial de su primer apellido. ¿Es f inyectiva o suprayectiva?, ¿lo es g si P = {habitantes de Madrid}?, ¿y si es P mi grupo de Matem´aticas? ¿Es g inyectiva para alg´un P? Hallar f − 1
f − 1 (z)
y f
g(lector)
1.3. Sea p ⇒ q la implicaci´on: ‘Si un cuadril´atero tiene las diagonales iguales entonces el cuadril´atero
es un rect´angulo’. Decidir si son ciertas p ⇒ q , q ⇒ p , (no p) ⇒ (no q) y (no q) ⇒ (no p).
1.4. Demostrar por inducci´on sobre n la f´ormula:
n
k= 1
k 3 = 1 4 n
2 (n+ 1 ) 2 .
1.5. Hallar el mcd y el mcm de: a) 1995 y 9009 , b) 12345 y 67890 , c) 135, 315 y 351.
1.6. Escribir en la forma m´as simplificada posible:
a) 2772 12474 , b) (− 23 )
2 , c) 2(−^3 )
2 , d) (− 2 )^3
2 , e) ( 4 9
3 / 2 , f) ( 9 4
− 3 / 2 , g) 8−^2 /^33 −^4 2 −^4 /^6 92 213 /^15 47 /^5 ,
h) (
3! , i) (
− 3 , j) ( 3 +
3 ( 3 −
3 , k) 1 (n− 1 )! −^
n− 1 n! , l)^
n! (n− 3 )!(n^2 − 2 n)
1.7. Calcular: a) 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 1024 , b) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · + 1024 ,
c) 1/ 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + · · · 1 /1024 , d) 1/ 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + · · ·.
1.8. Si a 1 = −3 y an+ 1 = an + 3 5 , calcular^ a^4 ,^ a^28 y la suma^ S^ =^ a^4 +^ a^5 +^ · · ·^ +^ a^28. ¿Se pueden encontrar 25 enteros en progresi´on aritm´etica cuya suma sea la misma S? ¿Y si son 24 los enteros?
1.9. Calcular
(n 0
(n 1
( (^) n n− 1
(n n
para n = 2 , 3 , 4 , 5 y 6 , y deducir de la f´ormula del binomio
el valor de la suma para cualquier n. ¿Cu´anto vale
n 0
n 1
n 2
n
n n
1.10. Hallar todos los n´umeros reales x que cumplen cada igualdad:
a) x 2 +x+ 2 = 0 , b) x 4 −x 2 − 2 = 0 , c) x 4
- 2 x 2
- 8 x+ 5 = 0 , d) 3x 4 − 7 x 3 − 7 x+ 3 = 0 ,
e) 2 x^2 − 2 x
3 x^2 − 4 x+ 4 = 1 , f)
x + 9 − 2
x + 1 = 0 , g)
x + 3 + 2
x = 0 , h) |x| = −x.
1.11. Encontrar todos los reales x para los que:
a) x− 2 x+ 2 ≥^0 b)^ |x^ −^3 |^ <^5 c)^ |x^ −^5 π| ≥^4 π^ d)^ |^4 −^7 x|^ =^4 −x
2
e)
x
∣ (^) ≤ 2 f) x^3 + x^2 > 2 x g) |x||x − 2 | < 1 h) |x| + |x− 3 | ≤ 5
i) − 3 x 3
1 9 j)^
2 x 3 +^
5 x 12 −^3 ≤^
4 x 15 +^
1 2 k) 7^ +^ x^ +^
6 x <^0 l) 3
4 +x^2 −x^3 < 1
1.12. Determinar si cada afirmaci´on es cierta o falsa (probarlas o dar un contraejemplo):
a) x < y ⇒ x − 1
y − 1 , ∀x, y 6 = 0 ; b) x < y ⇒ x 3 < y 3 , ∀x, y ; c) 0 < x < y ⇒ 3 x 2 < x 2 +xy+y 2 < 3 y 2 ;
d) |x− 5 | < 2 ⇒ 0 < x < 8 ; e) x < 5 ⇒ |x| < 5 ; f) |x| < 5 ⇒ x < 5 ; g) ∃x con |x+ 1 | < x ;
h) ∃x con |x− 1 | = | 2 −x| ; i) ∃x con |x− 1 | = −| 2 −x| ; j) x 2 − 1 ≤ |x 2 − 1 | ≤ x 2
1.13. Precisar si los siguientes subconjuntos de R tienen supremo, ´ınfimo, m´aximo, m´ınimo y si son abiertos o cerrados :
a) {x : |x| > 2 } − { 7 } ; b) {x ∈ Q : x^2 ≤ 4 } ; c) {(− 1 )n^ + 1 n : n ∈ N} ; d) { 10 −^7 n : n ∈ N} ; e) φ.
I
1.14. Determinar el dominio de las siguientes funciones:
a) f (x) =
arctan x 2 − 3
√ x
b) g(x) = arc sen(log x) c) h(x) =
1 1 −x+
√ 5 −x^2
d) k(x) =
∣ 9 −x^2
1.15. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (− 1 , 4 ) y ( 2 , − 5 ). Hallar y dibujar la
funci´on inversa y= f −^1 (x) de la funci´on y= f (x) definida por la recta anterior. Escribir las funciones compuestas f 2 ◦ [ f −^1 ]^2 y [ f −^1 ]^2 ◦ f 2.
1.16. Sean f (x) =
x+2 , g(x) = 2 x. Hallar el dominio de^ f^ ◦^ g^ ,^ g◦^ f^ y^ f^ ◦^ f^. Hallar im^ f^ e im^ g^. Comprobar que f es inyectiva en todo su dominio y calcular f − 1 indicando su dominio.
1.17. Si f y g son crecientes, ¿lo es f + g? ¿Y f · g? ¿Y f ◦ g?
1.18. Determinar si f +g , f ·g y f ◦ g son necesariamente pares o impares en los cuatro casos obtenidos
al tomar f par o impar y g par o impar.
1.19. Comprobar que:
ch 2 x − sh 2 x = 1 ; 1 ch^2 x = 1 −th 2 x ; sh(x+y) = sh x ch y + ch x sh y ; ch(x+y) = ch x ch y + sh x sh y.
1.20. Expresar los siguientes ´angulos en radianes: 15 o , 18 o , 120 o , 150 o , 270 o
. Y estos ´angulos, que est´an
en radianes, en grados: π 9 ,^
7 π 12 ,^
7 π 6 ,^3 π^. Usando Pit´agoras deducir el valor de cos^
π 6 , cos^
π 4 y cos^
π
1.21. Si desde cierta distancia un edificio se v´e bajo un ´angulo π 3 , y alej´andose 200 m se v´e bajo un angulo´ π 6 , ¿cu´ales son la altura del edificio y la distancia que a la que estaba en la primera posici´on?
1.22. a) Expresar sen x 2 y cos^
x 2 en funci´on de cos^ x^. b) Expresar sen^ x^ y cos^ x^ en funci´on de tan^
x
c) Probar que tan x 2
sen x 1 +cos x
. d) Calcular tan π 8 , sen π 12 y cos π 12
1.23. Hallar (sin calculadora) los siguientes valores (en el caso de que existan):
[cos 3 π 4 ]^1 /^4 1252 /^3 e3 log 4−log 5^ log 2 64 log(log(log 2)) ch(log 3) [sh(− 1 )]π
cos(− 13 π 3 ) sen π 8 sen 7 π 12 tan 5 π 4 arctan(tan 5 π 4 ) arc sen(arc cos 0) cos(arctan 17)
1.24. a) Expresar mediante identidades trigonom´etricas sen 3x y cos 3x en funci´on de sen x y cos x. b) Si sen α = − 3 5 y^ α^ es del tercer cuadrante, hallar cos 3α^ y precisar en qu´e cuadrante est´a 3α^.
1.25. Hallar todos los n´umeros reales x tales que:
a) 8 x = 2 −x^2 b) log(x+ 2 ) = 2 log x , c) e 2 | log x| < 8 x
d) cos 2x − 5 cos x = 2 e) 3 tan x + 2 cos x = 0 f) 1 − cos x = sen x 2 g) cos^4 x − sen^4 x = 1 2 h) 1 + 4 sen^2 x = 2 tan x tan 2x i) | tan x| < 1
1.26. Escribir cos 5x en funci´on de cos x y sen 5x en funci´on de sen x. Encontrar a partir de estas
expresiones alg´un polinomio que deba anular el cos π 5 , hallar sus ra´ıces y probar que: cos π 5
1 +
√ 5 4
1.27. Los siguientes complejos est´an en forma cartesiana, trigonom´etrica o exponencial. Escribir cada
uno de ellos en las restantes formas: 1 + i , 3e i π , 2(cos π 6 +^ i sen^
π 6 )^ ,^
7e i π/ 4 , 1 2 +^ i
√ 3
1.28. Calcular: 1 i +^
3 1 + i ,^
3 + i
1 − i 1 + i
4
−16 ei^ π/^3 , 2 −3 i i + 4 ,^
∣e^3 −^ i^ |^2 +^ i^ |
1.29. Determinar si las siguientes igualdades son ciertas para todo z complejo:
2 Re(z) = z + z , Re(z · w) = Re(z) · Re(w) , |z| = |z| , z 2 = |z| 2 .
1.30. Resolver las ecuaciones: z^3 + 8 = 0 , z^4 − 16 z^2 + 100 = 0 , z^2 + i z + 2 = 0 , ez^ = 1.
II
Problemas de Matem´aticas (2011/2012).
3. Derivadas en R.
3.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones y el valor de su derivada en el punto que se indica:
a) f (x) = log
[
π −4 arctan(x^2 )
]
, x = 3 −^1 /^4 ; b) g(x) = arctan
[
x − log( 2 −x)
]
, x = 1.
3.2. Sea f (x) = |x^2 − 4 |. Determinar los x tales que f (x) < 3. Hallar, si existen, f ′(− 3 ) y f ′( 2 ).
3.3. Sea f (x) =
{ (^1) |x| si 0^ <^ |x| ≤^1 a + bx^2 si |x| > 1
. Hallar a y b para que existan f ′( 1 ) y f ′(− 1 ).
3.4. Hallar la primera y segunda derivadas de las funciones siguientes indicando su dominio:
a) f (x) = x 3 sen 1 x ,^ f^ (^0 ) =^ 0 ;^ b)^ g(x) =^ x^ log^ |x|^ ,^ g(^0 ) =^ 0 ;^ c)^ h(x) =^ |x
7 / 3 −x 2 | ; d) k(x) =
x^2 + 1 x^3 −x
3.5. Determinar el dominio de la funci´on y hallar los x que anulan su derivada segunda:
a) f (x) = x^2 + 7 x− 5 + 8 x− 1 , b) g(x) = sen x cos x , c) h(x) = √x+^1 4 −x^2
, d) k(x) = cos x + 1 cos x
3.6. Sea f (x) = x arctan
log |x|
si x 6 = 0 , f ( 0 ) = 0. a] Estudiar si es continua y derivable en x = 0.
b] Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en x = 1.
3.7. Hallar b y c tales que la par´abola y = x 2 +bx+c sea tangente a la recta y = x en x = 1.
3.8. Determinar para qu´e puntos de la gr´afica de f (x) = e x^2 −x la recta tangente pasa por el origen.
3.9. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y + yx 2
- y 3 = 6 en el punto ( 2 , 1 ).
3.10. Sea f (x) = 3 + x 5 (x− 3 )
4
. Probar que su derivada f ′ tiene al menos un cero en el intervalo ( 0 , 3 ).
3.11. Hallar, si existe, un c∈( 0 , 1 ) en el que la recta tangente a f (x) = arctan x 2 −x sea paralela a la recta que une ( 0 , 0 ) y ( 1 , π 4 )^.
3.12. Probar que si x > 0 , entonces x + 4 x ≥ 4. Dar una demostraci´on visual de la desigualdad anterior.
3.13. Hallar (si existen) los valores m´aximo y m´ınimo de estas funciones en los intervalos indicados:
a) f (x) = 2 x − 9 x^2 /^3 en [− 8 , 64 ] b) g(x) = sen x+ 2 |x| en
[
π 2
π 6
]
c) h((x) =
ex 1 −|x| en
[
1 2 ,^
1 4
]
d) k(x) =
√ (x− 1 ) 2
√ (x− 8 ) 2
3.14. Sea f (x) = x + 2 cos x. Hallar, si existe, el valor m´ınimo de f en el intervalo [ 0 , 1 ]. Probar que existe f − 1 , funci´on inversa de f (x) para x ∈ [− 1 2 ,^
1 2 ]^ , y hallar la derivada^ (^ f^
− 1 ) ′ ( 2 ).
3.15. Determinar cu´antas veces se anulan estas funciones en los intervalos que se indican:
a) f (x) = e sen x − x − 1 en [ π 2 ,^ π]^ b)^ g(x) =^ log^
∣x+ 1 2
∣+x en [ 0 , 1 ]
3.16. Sea f (x) = √x^2 1 −x^2
. Determinar su dominio e intervalos de crecimiento y decrecimiento. Probar
que existe un ´unico c ∈
3 5 ,^
4 5
tal que f (c) = 2
3.17. Sea f (x) = 4 arctan x − x 2 − 2. Hallar sus valores m´aximo y m´ınimo en
[
]
. Precisar cu´antas veces se anula f en el intervalo [ 0 , 1 ].
IV
3.18. Sea f (x) = x 3 − 4 x+ log x. Hallar l´ım x→ 0 +^
f (x) y l´ım x→∞
f (x). Hallar los puntos en los que se anulan
f ′^ y f ′′^. Dibujar la gr´afica de f y precisar cu´antas veces se anula f (x) en el intervalo
[
1 2
]
3.19. a) Probar que P(x)= 2 x^3 +x^2 −1 tiene s´olo 1 ra´ız real y dar un intervalo [n, n+ 1 ] al que pertenezca.
b) Sea g(x) = 3 x+ 1 x^3 + 1
. Hallar su dominio, as´ıntotas, estudiar g′^ y dibujar aproximadamente la gr´afica.
Hallar (si existe) el valor m´ınimo de g en el intervalo [ 0 , 1 ].
3.20. Sea f (x) = (x^2 + 1 ) e^3 x−x
2
. Hallar l´ım x→∞
f (x) y l´ım x→−∞
f (x). Probar que f ′^ se anula en un punto del
intervalo ( 1 , 2 ) y que no lo hace m´as veces en su dominio. Estudiar cu´antas soluciones tiene f (x)=.
3.21. Dibujar las gr´aficas de las funciones:
a) x 2 − 4 x+ 5 x− 2
b) x 2 − 4 x^2 − 9
c) √^2 x
1 x
d) ( 2 x^2 − 1 )e−x
2
e) arctan( 3 x−x 3 ) f)
1 2ex− 1 g) e −x cos x h) log
x 2
1 x
3.22. Discutir, seg´un los valores de la constante a , cu´antas soluciones reales tiene la ecuaci´on ex^ = ax.
3.23. Dibujar las curvas:
a) x^2 + y^2 + 2 x − 4 y = 0 ; b) x^2 − xy + y^2 = 3 ; c) 4x^2 − y^2 − 8 x = 12 ; d) x^2 y^2 = x^2 − 1.
3.24. Hallar el a para el que la suma de los cuadrados de las soluciones de x^2 +ax+a− 2 =0 es m´ınima.
3.25. Determinar el ´area m´ınima de todos los tri´angulos del primer cuadrante cuyos catetos son los ejes
y cuya hipotenusa pasa por el punto ( 1 , 2 ). ¿Existe el tri´angulo de ´area m´axima?
3.26. Hallar el punto de la recta tangente a la curva x 2
que est´e m´as pr´oximo al punto ( 2 , 0 ).
3.27. Hallar los puntos de la curva 3y 2 = 21 + 20 x−x 4 situados a mayor y menor distancia del origen.
3.28. Encontrar el punto de la gr´afica de f (x) = 2 arctan(x− 2 ) para el que es m´ınima la suma de sus distancias a ambos ejes.
3.29. Determinar el ´area m´axima que puede tener un rect´angulo que tenga dos lados sobre los semiejes
x, y positivos y el v´ertice opuesto sobre la gr´afica de f (x) =
[
x 3
]− 1 / 2
3.30. Un nadador est´a en el punto A del borde de un estanque circular de 50 m de radio y desea ir al punto diametralmente opuesto B , nadando hasta alg´un punto P del borde y andando luego por el arco PB del borde. Si nada 50 m por minuto y camina 100 m por minuto, ¿a qu´e punto P se debe dirigir para minimizar el tiempo de su recorrido? [Ayuda: si O es el centro del c´ırculo, ¿qu´e relaci´on se da entre los ´angulos PAB y POB ?].
V
4.15. Escribir el polinomio P(x) = x 3 − 2 x 2 − x + 5 ordenado en potencias de (x − 2 ).
4.16. Utilizando polinomios de Taylor determinar con un error menor que 10−^3 el valor de:
a) cos 1 b) e c) log 3 2 d) log^
4 3 e) log 2
4.17. Hallar los 3 primeros t´erminos no nulos del desarrollo de Taylor de f (x) = x( 1 +x 3 )
− 1 / 5 en x = 0. Aproximar por un racional f
1 2
con error menor que 0..
4.18. Hallar los 3 primeros t´erminos no nulos del desarrollo en serie de Taylor en x = 0 de:
a) cos 2 x 3 b)^
5 3 −x c) sen x − x cos x d) ( 2 − x)
1 + x
e) sh x ch x f)
1 cos x g)
log( 1 + 2 x) 1 + 2 x h) cos(sen x)
4.19. Hallar los primeros t´erminos del desarrollo de arc sen x , utilizando el de ( 1 −x^2 )
− 1 / 2 .
4.20. Hallar todos los valores de x para los cuales la serie (^) ∑
[
1 − x cos 1 n
]
es convergente.
4.21. Hallar la suma de las siguientes series:
a)
∞
n= 0
1 ( 2 n)!
b)
∞
n= 0
(− 4 )n ( 2 n + 1 )!
c)
∞
n= 0
1 3 n(n + 1 )
d)
∞
n= 0
2 n + 1 n! 2n^
e)
∞
n= 0
n 3 n
4.22. Hallar un polinomio P tal que l´ım x→ 0
x − 7
[√
1 −x^4 − P(x)
]
= 0. ¿Es ´unico dicho polinomio?
4.23. Calcular los siguientes l´ımites indeterminados cuando x tiende al a indicado:
a = 0 : a)
√ 1 −x^2 −cos x x^4
; b)
x−tan x arctan x^3
; c)
ex−esen^ x x^3
; d) (cos 2x)
3 /x^2 ; e)
sen x cos x −arctan x log( 1 +x^3 )
a = 1 : f)
1 log x
1 x− 1 ; g)
xx−x 1 −x+log x ; h)
1 −x^1 /^2 1 −x
. a = 0 + : i) tan x log x.
a = ∞ : j) [log x] 1 /x ; k)
ex+sen x ex+cos x ; l)
[
x+ 3 x− 3
]x ; m) x 2 arctan 1 x −
1 +x ; n) x tan 1 x.
4.24. Hallar los l´ımites cuando x → 0 y cuando x → ∞ de:
a)
log( 1 +x)
√ 1 +x − x arctan x^3
, b)
arctan x^2 −(ex− 1 )^2 log( 1 +x^3 )
, c)
1 + 2 x−e^2 x−^2 x
2
x^3 +sen x^3
, d) (x 2 +cos x) arctan 1 x^2
4.25. Sean a) f (x) =
x^2 −sen^2 x log( 1 +x^4 )
, b) g(x) =
sen^3 x 1 −e−x
3 ,^ c)^ h(x) =^
arctan(sen x)−x log( 1 +x^3 )
, d) k(x) =
1 −ex
3
x−sen x
Determinar (si existen) sus l´ımites cuando: i) x → 0 ; ii) x → −∞ ; iii) x → ∞.
4.26. Hallar el real b tal que f (x) = x−^2
[
ebx
4 − cos bx
]
tiende hacia 0 si x → ∞ y hacia 2 si x → 0.
4.27. Sea f (x) =
log | 1 +x^3 | x , f ( 0 ) = 0. Hallar f ′ ( 0 ) y f ′′ ( 0 ). Dibujar su gr´afica. Hallar l´ım n→∞
{ f ( f (n))}.
4.28. Sea f (x) = x − 2 sen 2 πx , f ( 0 ) = π 2
. Determinar si existen f ′ ( 0 ) y f ′′ ( 0 ). Dibujar su gr´afica.
Probar que existe la inversa f − 1 en un entorno de x = 1 2 y calcular la derivada de^ f^
− 1 en f ( 1 2 )^.
4.29. Estudiar la continuidad de f (x) =
1 x
log | 1 −x 2 | , f (± 1 ) = f ( 0 ) = 0. ¿Existe f ′ ( 0 )?
Probar que ∃c ∈ ( 0 , 1 ) con f ′ (c) = 0.
4.30. Sea f (x) =
1 −e−x x , f ( 0 ) = 1. Hallar f ′ ( 0 ). Determinar los l´ımites l´ım x→±∞
f (x) y la im f. Estudiar
el crecimiento y decrecimiento de f. Hallar la derivada f (^2011 )( 0 ).
VII
Problemas de Matem´aticas (2011/2012).
5. Integraci´on en R.
5.1. Sea f (x) = 1 −
x , x ∈ [ 0 , 1 ) ; f (x) = 0 , x ∈ [ 1 , 2 ) ; f (x) = 1 , x ∈ [ 2 , 3 ] , y sea F(x) =
∫ (^) x 0 f^. Determinar los x ∈ [ 0 , 3 ] para los que F es continua y derivable. Hallar F( 3 ).
5.2. Sea F(x) =
∫ (^1)
sen x
arctant 1 + t^4
dt. Hallar F
3 π 2
y F′
3 π 2
5.3. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´on H(x) =
∫ (^4)
ex^2
logt dt t +t^2
en el intervalo [− 1 , 1 ].
5.4. Sea F(x) =
x 1 − 2 x te
−t^4 dt. Hallar F( 1 ) , F ′ ( 1 ) y (F ◦ F) ′ ( 1 ). ¿Es F( 0 ) mayor o menor que F( 1 )?
5.5. ¿Posee funci´on inversa la funci´on f definida para todo x ≥ 2 por f (x) =
∫ (^) x 3 x^2
dt logt
5.6. Sea f (x) =
∫ x
1 e
4 arctant dt. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f en x = 1. Probar
que f posee inversa en todo R y calcular ( f − 1 )
′ ( 0 ).
5.7. Sea H(x) =
∫ (^4)
−x^2
t dt 1 +|t|
. a] Hallar H ′ ( 2 ) y H( 2 ). b] Hallar el valor m´ınimo de H en [ 0 , 2 ].
5.8. Sea F(x)=
∫ (^) x − 1 t
[
e t −e t^4
]
dt. Calcular F ′ (− 1 ) , F( 1 ) y hallar los valores extremos de F en [− 1 , 1 ].
5.9. Determinar en qu´e x del intervalo que se indica alcanzan su m´aximo y su m´ınimo las funciones:
a) F(x) =
∫ (^) tan x
− 1
t^3 1 +t^2
dt en
[
π 4
π 3
]
; b) G(x) =
∫ (^2) x
x
√^ dt 36 +t^3
en [− 1 , 6 ] ;
c) H(x) = x−
x 1 cos(sent) dt en [ 1 , 4 ].
5.10. Estudiar crecimiento y decrecimiento, y precisar cu´antas veces se anula la funci´on en el intervalo:
a) F(x) =
∫ (^) x 2
0
e t^2 dt − e x^4 en [ 0 , ∞) ; b) G(x) =
∫ (^) x 3
0
2 es 1 +s ds − 1 en [ 0 , 1 ].
5.11. Hallar las siguientes primitivas:
a)
x+ 1 x+ 9
dx b)
x+ 1 x^2 + 9
dx c)
x(x^2 + 3 )^2 dx d)
∫ log x
x^2
dx e)
(log x)^3 dx
f)
x^4 x+ 1 dx g)
dx x^4 − 2 x^3
h)
3 x^2 + 3 x+ 1 x^3 + 2 x^2 + 2 x+ 1
dx i)
x+ 2 x^3 − 8
dx j)
x 2 arctan 1 x dx
k)
x 3 e −x dx l)
x 3 e x^2 dx m)
dx 1 +2ex+e^2 x^
n)
tan 2 x dx n)˜
∫ sen x cos x dx
o)
x dx cos^2 x
p)
sen 2x dx 5 +4 cos x q)
dx 3 sen^2 x+cos^2 x
r)
4 x cos x 2 dx s)
4 x cos 2 x dx
t)
∫ arc sen x dx u)
x+ 5 dx v)
x 3
1 −x^2 dx w)
√ 1 +x x dx x)
x^2 − 1 dx
5.12. Calcular, si existe:
a)
∫ (^1)
− 1
e −|x| dx b)
∫ (^1)
− 1
dx x^4
c)
∫ (^1) / 2
0
( 2 x^3 −x^2 ) dx 2 x^2 − x − 1
d)
∫ (^4)
− 2
|x+ 4 | − 3 |x|
dx
e)
∫ (^) π/ 2
−π/ 2
sen^5 x dx f)
∫ (^) e
1
x log x dx g)
∫ (^1)
0
arctan(
x ) dx h)
∫ (^) π/ 2
0
cos 2x cos x dx
i)
∫ (^3)
1
x
1 +x dx j)
∫ (^1) / 2
0
x^2 dx √ 1 − x^2
k)
∫ (^4)
0
√ x x + 4
dx l)
∫ (^0)
−π/ 6
cos x dx 3 sen x − 2 cos^2 x
VIII
5.28. Sea g(x) = x^3 +x^2 − 7 x^3 − 2 x^2 +x− 2
. Hallar la primitiva G(x) que cumple G( 0 ) = −1. Probar que g(x) > 1 si
x ∈ [ 0 , 1 ] y que hay un ´unico c ∈ ( 0 , 1 ) tal que G(c) = 0. Determinar si converge
∫ (^3) 2 +
g(x) dx.
5.29. Sea f (x) = cos
|x|. Estudiar si es derivable en x = 0. Hallar, si existen, los valores m´aximo y
m´ınimo de f en el intervalo [− 4 , 1 ]. Calcular
∫ (^4) − 4 f^. Probar que^
7 10 ≤^
∫ (^1) 0 f^ ≤^
7
5.30. Sea F(x) =
∫ (^) x − 1 t^ e
t^3 dt , con x ∈ [− 1 , ∞). i) Hallar, si existen, los x del intervalo en los que F
alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo. ii) Probar que F( 0 ) > − 1
5.31. Calcular el ´area de la regi´on acotada limitada por la curva y = 1 /(x 2
- 1 ) , el eje x y las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexi´on de la curva.
5.32. Calcular el ´area encerrada entre las gr´aficas de g(x) = x 3 − 3 x 2
- 3 x y f (x) = x en [ 0 , 2 ].
5.33. Calcular el ´area de la regi´on acotada entre las curvas y =
x , y =
2 − x e y = 0.
5.34. Hallar el ´area de la regi´on encerrada entre la gr´afica de g(x)=
x^2
∣ (^) y su recta tangente en x=.
5.35. Hallar el ´area de la regi´on encerrada entre la curva y = x^3 y la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = a > 0.
5.36. Hallar el ´area de la regi´on acotada encerrada por la gr´afica de f (x) = x log( 1 +x) y la recta y=x.
5.37. Calcular el ´area de la menor de las dos regiones acotadas por las curvas x^2 + y^2 = 2 y x = y^2.
5.38. Calcular el ´area de una de las regiones comprendidas entre la gr´afica de f (x) = sen x y esta misma gr´afica trasladada horizontalmente una distancia π 3 hacia la derecha.
5.39. Sea la regi´on del cuarto cuadrante limitada por la gr´afica de f (x) = −e −ax ( a > 0 ) y el eje x. Probar que la recta tangente a f (x) en x = 0 divide dicha regi´on en dos partes de igual ´area.
5.40. Hallar el ´area determinada por la curva r = 1 /( 1 + cos θ ) y las semirrectas θ = 0 y θ = 3 π/4 ,
i) trabajando en polares, ii) tras escribir la ecuaci´on de la curva en rectangulares.
X
