¡Descarga Apuntes Matematicas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
1. Preliminares
1.1. Conjuntos. Lenguaje matemático
El significado de conjunto es intuitivo: una clase o colección de objetos (elementos) tal que se pueda distinguir perfectamente si un elemento pertenece o no al conjunto. Los conjuntos se precisan a veces enunciando una propiedad común a sus elementos y sólo a ellos y otras enumerando esos elementos (entre llaves). Por ejemplo, podemos describir de estas tres formas:
V ≡ {x : x es una vocal del alfabeto latino} = { a , e , i , o , u } = { i , a , o , e , e , u , o , e } [ ‘ ≡’ se usa a menudo en matemáticas para definir; ‘ : ’ (y también ‘ / ’) se lee ‘tal que’ o ‘tales que’; otro par de símbolos matemáticos que aparecerán constantemente son ∀ (para todo) y ∃ (existe)
] .
Que un elemento pertenece a un conjunto se representa con el símbolo ∈ y que no pertenece con el ∈/. Así, por ejemplo, u∈V y ñ ∈/V.
Dados dos conjuntos A y B se dice que A está contenido en B o que A es subconjunto de B (y se representa por A ⊂ B ó B ⊃ A ), si todo elemento de A está también en B. Según esto,
V ⊂ E ≡ {letras de la palabra ‘enunciado’} = { a , e , i , o , u , c , d , n } , pero no está contenido ( V 6 ⊂ O ) en O ≡ {letras de ‘ornitorrinco’}. [Que conste que todo conjunto está contenido en sí mismo: A ⊂ A ].
Unión de A y B es el conjunto A∪B = {x : x ∈ A ó x ∈ B} (formado por todos los elementos de A y B , comunes o no) y su intersección A∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B} (elementos comunes a ambos). Análogamente se definen unión e intersección de más de dos conjuntos. La diferencia de conjuntos B−A (o bien B\A ) la forman los elementos de B que no están en A. Por ejemplo:
V ∪E = E , V ∩E = V , V ∪O = { n , e , u , r , o , t , i , c , a } , V ∩O = { i , o } , E−V = {c , d , n}. Muchas veces se representan los conjuntos utilizando ‘diagramas de Venn’, recintos cerrados cuyos elementos son indicados por puntos. A la derecha están esquematizados V , O , V ∪O y V ∩O.
Observemos que el significado de ‘o’ en matemáticas (que a veces se representa por ‘∨’; en vez de ‘y’ se puede poner ‘∧’) siempre tiene un significado no excluyente como en la definición de ∪. Si se quiere utilizar un ‘o’ excluyente se debe escribir ‘o bien ... o bien ...’.
Se llama conjunto vacío ∅ al que no tiene nigún elemento. Si A∩B = ∅ , es decir, si no hay elementos comunes a A y B se dice que A y B son disjuntos, como lo son V y D ≡ { 0 , 1 }.
El producto A×B de dos conjuntos A y B está constituído por todos los posibles pares ordenados (a, b) que se pueden formar con un primer elemento de A y otro segundo de B :
A × B =
(a, b) : a ∈ A, b ∈ B
[ No es lo mismo el par ordenado (a, b) , en general distinto de (b, a) , que el conjunto {a, b} = {b, a}
] . V ×D =
{ (a, 0 ), (e, 0 ), (i, 0 ), (o, 0 ), (u, 0 ), (a, 1 ), (e, 1 ), (i, 1 ), (o, 1 ), (u, 1 )
} .
f : A → B Una función f entre A y B es una regla que asigna a cada elemento a∈A a → b = f (a) un único elemento b= f (a)∈B (imagen de a por f ). Algunas veces (otras no) las funciones se pueden describir con palabras o fórmulas, pero es claro que f queda fijada si listamos todos los posibles (a, b) , con lo que una definición más teórica (y más precisa) es:
Una función f es un conjunto de pares ordenados ⊂ A×B que no contiene dos distintos con el mismo primer elemento. Por ejemplo, g ≡
{ (a, 0 ), (a, 1 ), (e, 1 ), (i, 1 ), (o, 1 ), (u, 1 )
} no es función de V en D , pero sí lo es h≡
{ (a, 1 ), (e, 1 ), (i, 0 ), (o, 1 ), (u, 0 )
} [ g(v)=
{ (^1) 0 si la vocal^ v^ es^
fuerte débil
] . Sí es función de D en V : k ≡
{ ( 0 , o), ( 1 , i)
} . f se dice inyectiva si no hay elementos distintos de A que tengan la misma imagen. f es sobreyectiva (o suprayectiva) si cada elemento de B es imagen de algún elemento de A. f es biyectiva (o es una biyección) si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, o lo que es lo mismo, si a cada elemento a ∈ A le corresponde un único elemento b ∈ B y viceversa.
f −^1 : B → A b → a
Si f es biyectiva, existe su función inversa f −^1 que hace corresponder a cada b ∈ B el único a del que proviene. [Si no es inyectiva, o sea, si hay a 6 = a∗^ con f (a) = f (a∗) = b , no podemos asignar un único a al b ].
Cuando f es simplemente inyectiva, también podemos definir su inversa f −^1 , pero en este caso la biyección se da entre A y f (A) ≡ { f (a) : a ∈ A} ⊂ B.
h no es inyectiva: por ejemplo, a , e , o tienen los tres la misma imagen 1. Sí es sobreyectiva. k es inyectiva y no sobreyectiva. No es biyección entre D y V , pero sí lo es entre D y k(D) , con lo que podemos hablar de su inversa k−^1 =
{ (o, 0 ), (i, 1 )
} . Representado mediante diagramas de Venn, f es función si no sale más de una flecha de cada punto de A , es inyectiva si a cada punto de B llega a lo más una flecha y es sobreyectiva si a cada punto de B llega alguna flecha.
Para dos conjuntos finitos está claro que si hay una biyección entre ellos tienen el mismo número de elementos. Esta es la idea para hablar en general del ‘número de elementos’ (aunque sean infini- tos) de un conjunto. Dos conjuntos tienen el mismo ‘cardinal’ si se puede dar una biyección entre ellos. Según esto (aunque parezca sorprendente), los números naturales { 1 , 2 , 3 ,.. .} y los enteros {... , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .} tienen el mismo cardinal, pues: f =
{ ( 1 , 0 ), ( 2 , 1 ), ( 3 , − 1 ), ( 4 , 2 ), ( 5 , − 2 ),...
} es una biyección.
Una operación (o ‘ley de composición interna’) en un conjunto A es una regla que asigna a cada par de elementos de A otro elemento del propio A (es, pues, una función de A×A en A ). Son operaciones, por ejemplo, la suma y producto de números naturales. O la unión, intersección y diferencia de conjuntos en el conjunto de los conjuntos.
[Tras definir una operación en un conjunto suele interesar conocer sus propiedades. Por ejemplo, ∪ y ∩ cumplen la conmutativa A∪B=B∪A y A∩B=B∩A , la asociativa (A∪B)∪C =A∪(B∪C) y (A∩B)∩C = A∩(B∩C) , se da la distributiva de la unión respecto de la intersección y viceversa (A∪B)∩C =(A∩C)∪(B∩C) y (A∩B)∪C =(A∪C)∩(B∪C) , el vacío viene a cumplir el papel del 0 en los números: A∪∅ = A , A∩∅ = ∅ ,... ].
1.2. N, Z y Q. mcd y mcm. Progresiones. Binomio de Newton
Los números que básicamente vamos a tratar en estos apuntes son los reales R. Pero antes de precisar qué son los reales vamos a hacer un breve repaso de los números más sencillos.
Llamaremos: N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.. .} al conjunto de los números naturales (sin incluir el 0 ), Z = {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .} al de los enteros, y Q = {p/q, p , q enteros, q 6 = 0 } al conjunto de los racionales.
La suma y el producto de dos números naturales cualesquiera son también naturales, pero su diferencia puede no serlo. Sí es un entero la diferencia de dos enteros. El cociente de racionales es racional, pero no es entero, en general, el de dos enteros. Los tres conjuntos son conjuntos ordenados por la relación “ >” (ser mayor que). Con palabras más matemáticas, y refiriéndonos al mayor de los tres conjuntos, se dice que Q es un cuerpo ordenado, es decir, que satisface las siguientes propiedades (a, b, c ∈ Q ):
Propiedades de cuerpo: Existen dos operaciones “+” y “ · ” que cumplen:
- y · son asociativas y conmutativas: a + (b + c) = (a + b) + c , a + b = b + a , a · (b · c) = (a · b) · c , a · b = b · a.
- Se cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c.
- Hay elementos neutros 0 respecto a + y 1 respecto a · : a + 0 = a , a · 1 = a ∀a.
- Existen elementos inversos respecto a + y · : ∀a ∃ − a tal que a + (−a) = 0 , ∀a 6 = 0 ∃ a−^1 tal que a · a−^1 = 1. Propiedades de orden: Existe una relación “ >” que satisface:
- Dado cualquier a , o bien a > 0 , o bien −a > 0 , o bien a = 0.
- Si a, b > 0 también a+b > 0 , a · b > 0.
N y Z no son un cuerpo: N no posee inverso siquiera respecto de la suma y Z no lo tiene respecto del producto. El conjunto R de los reales que trataremos en la próxima sección poseerá todas estas propiedades de cuerpo ordenado y además otra (el llamado ‘axioma del extremo superior’). El conjunto de los complejos C que aparecerá en 1.5 será cuerpo, pero no estará ordenado. A partir de las propiedades anteriores se pueden definir las otras conocidas operaciones básicas (diferencia, cociente y potencias) y desigualdades: a − b = a + (−b) ; si b 6 = 0 , a/b = a b−^1 (el · no suele escribirse). Si n ∈ N , an^ = a · · · · · a , n veces. b > a si b−a > 0 ; b < a si a > b ; b ≥ a si b > a ó si b = a ; b ≤ a si a ≥ b. Y utilizando exclusivamente las propiedades recuadradas se podrían probar las otras muchas que se utilizan resolviendo ecuaciones, trabajando con desigualdades,... (son entonces ‘teoremas’ que se deducen de esas propiedades básicas). Probemos, por ejemplo, que a < b ⇔ a+c < b+c ∀c : a < b ⇔ b−a = b−a + 0 = b−a+c+(−c) = (b+c)−(a+c) > 0 ⇔ a+c < b+c. ‘Demostremos’ otro resultado de desigualdades a < b , c < 0 ⇒ a·c > b·c , que a veces se olvida: (b−a) > 0 , (−c) > 0 ⇒
( b+(−a)
) (−c) = [ b(−c)+(−a)(−c) = ↑ −bc+ac > 0 ⇔ ac > bc. b(−c) = −bc pues 0 = b ( c+(−c) ) = bc + b(−c) ] [ No volveremos a operar tan despacio, se trataba sólo de mostrar que bastaba partir de 1),... , 6)
] .
Repasemos otras definiciones y propiedades relacionadas con naturales, enteros y racionales:
Demostraciones por inducción.
Supongamos que queremos demostrar una afirmación, que llamaremos P(n) , que depende de un número natural n. Demostrar P(n) por inducción consiste en:
i) comprobar P( 1 ) (es decir, que la afirmación es cierta si n = 1 ) ii) probar que P(n) ⇒ P(n+ 1 ) ∀n (supuesta cierta para n se demuestra para n+1 ) Hecho esto, como P( 1 ) es cierta, por ii) también lo es P( 2 ). Y por tanto P( 3 ). Y P( 4 ) ...
Ej. Probemos por inducción que
n k^ ∑= 1 k^ =^1 +^2 +^ · · ·^ +^ n^ =^
n(n+ 1 ) 2
[recordemos que el primer símbolo se lee ‘sumatorio de k desde 1 hasta n ’]
P( 1 ) es cierta: 1 = 1 (^12 + 1 ). Probemos ahora P(n+ 1 ) suponiendo cierta P(n) : n+ 1 ∑ k= 1
k =
n ∑ k= 1
k + (n + 1 ) =
[ estamos suponiendo cierta P(n)
] = n(n 2 + 1 )+ (n+ 1 ) = (n+^1 )( 2 n+^2 ).
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
Dados dos naturales n y d se dice que n es múltiplo de d (o que d es divisor de n ) si n/d es también un número natural. Desde luego, todo n tiene al menos dos divisores: el 1 y el propio n. Si estos son sus únicos divisores dice que n es primo. Un conjunto de enteros n 1 , ..., nk admite siempre un divisor común a todos: el 1. Se llama máximo común divisor al mayor natural que divide a todos ellos (y lo denotaremos por mcd[n 1 , ..., nk] ). Por otra parte, dados los n 1 , ..., nk existen naturales que son múltiplos de todos ellos (por ejemplo el producto de todos). Se llama mínimo común múltiplo ( mcm[n 1 , ..., nk] ) al menor número con esta propiedad.
Hallar el mcd y el mcm de unos naturales es fácil una vez calculados todos los divisores primos de cada uno, lo que puede ser muy largo si los números son muy gordos.
[Para hallar estos divisores conviene conocer las reglas de divisibilidad por números sencillos: recordamos que un entero es divisible por 3 (y por 9 ) si y sólo si lo es la suma de sus cifras; divisible por 4 (por 8 ) si lo son sus dos (tres) últimas cifras; por 5 si acaba en 0 o en 5 ; por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma de las que ocupan lugar impar es un múltiplo de 11 (incluido el 0 )].
Otra forma de hallar el mcd[m, n] es utilizar el algoritmo de Euclides:
Sea m > n. Dividamos m entre n y llamemos q 1 al cociente y r 1 al resto: m = q 1 n+r 1. Dividamos ahora n entre r 1 : n = q 2 r 1 +r 2. A continuación r 1 entre r 2 : r 1 = q 3 r 2 +r 3. Luego r 2 entre r 3 ..., y proseguimos dividiendo de esta forma hasta que el resto sea 0. El mcd[m, n] es entonces el último resto no nulo. Calculado el mcd , se puede hallar el mcm utilizando que: mcm[m, n] = (^) mcdm[^ ·mn,n].
Ej. Sean 2340 y 6798. Como 2340 = 22 · 32 · 5 ·13 y 6798 = 2 · 3 · 11 ·103 , mcd = 6 y mcm = 22 · 32 · 5 · 11 · 13 · 103 = 2651220. Euclides: 6798 = 2 · 2340 + 2118 , 2340 = 1 · 2118 + 222 , 2118 = 9 · 222 + 120 , 222 = 1 · 120 + 102 , 120 = 1 · 102 + 18 , 102 = 5 · 18 + 12 , 18 = 1 · 12 + 6 , 12 = 2 · 6. ⇒ mcd = 6 , mcm = 2340 6 ·^6798 = 2651220. [Para hallar el mcd[n 1 , ..., nk] se puede calcular m 1 =mcd[n 1 , n 2 ] , luego m 2 =mcd[m 1 , n 3 ] , ...].
Existen infinitos números racionales e irracionales. Entre dos racionales p > q , por cercanos que estén entre sí, existen infinitos racionales. En efecto, r 1 = (q+p)/2 es otro racional que se halla entre los dos. Otros infinitos, por ejemplo, son r 2 = (q+r 1 )/2 , r 3 = (q+r 2 )/2 , ... Recordamos que una forma de precisar de forma única un racional es dar su expre- sión decimal, que o bien tiene sólo un número finito de decimales o bien tiene además un número fi- nito de decimales que se repiten periódicamente ( 7/8 = 0.875 es un ejemplo de la primera situación y 8/7 = 1.142857142857... lo es de la segunda). Pensando en la expresión decimal vuelve a estar muy claro que entre dos racionales existen otros infinitos y que podemos encontrar racionales tan próximos como queramos a uno dado. Sin embargo, a pesar de estar tan juntos los racionales, aparecen de forma natural (ya desde los griegos) otros números que no son racionales (es decir, irracionales; su expresión decimal tendrá infinitos deci- males no repetidos periódicamente). Por ejemplo, el teorema de Pitágoras asegura que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 mide
√ √ 2 unidades de longitud. Es fácil probar que 2 no es racional (demostrar que otros números famosos como π ó e son irracionales es bastante más complicado). Para hacerlo, vamos a suponer que lo es y llegaremos a una contradicción (es lo que se llama demostración por reducción al absurdo). Como se sabe, un racional puede ser expresado de infinitas maneras diferentes como fracción p/q. De ellas, se llama irreducible a la que tiene el denominador más pequeño posible, o sea, aquella con p y q sin divisores comunes. Supongamos que
√ 2 = p/q fracción irreducible. Entonces p^2 = 2 q^2. Así p^2 es par, con lo que también debe serlo p (los cuadrados de pares son pares e impares los de los impares) y por tanto es de la forma p = 2 m. Así pues, 2m^2 = q^2 y q también es par, en contradicción con la suposición de que p/q fuese irreducible. Observemos que la suma z= p+x con p racional y x irracional es necesariamente otro número irracio- nal (si fuese z racional, sería x = z− p también racional). Y lo mismo sucede, si el racional p 6 = 0 , con su producto (se prueba casi igual; que conste que suma y producto de irracionales puede ser racional, por ejemplo,
√ 2 +(−
√ 2 ) = 0 y
√ 2
√ 2 = 2 ). Conocemos ya, pues, infinitos irracionales: todos los de la forma p+q
√ 2 , con p, q ∈Z. Con esto podemos ya ver que también entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que estén entre sí, existen infinitos irracionales (por ejemplo, si p > q son racionales, q+(p−q)
√ 2 /n , con n= 2 , 3 , ... , son infinitos irracionales y es fácil ver que están entre uno y otro). Tam- bién entre dos irracionales hay infinitos racionales e irracionales (parece bastante claro con la expresión decimal). O entre un racional y un irracional.
1/1 1/2 1/3 1/
2/1 2/2 2/3 2/
3/1 3/2^ 3/3^ 3/
Aunque existan infinitos racionales e infinitos irracionales, el número de irracionales es un infinito ‘más gordo’ que el de los racionales. El número de racionales es el mismo que el de enteros (o el de naturales, que también es el mismo), ya que se puede hacer corresponder a cada entero un racional y vi- ceversa (matemáticamente se dice que Q es numerable) como sugiere el esquema de la derecha. Los irracionales (y por tanto los reales), sin embargo, no se pueden poner en biyección con N (pero esto es algo más difícil probarlo).
1.3. El conjunto R. Desigualdades. Valor absoluto
¿Qué son exactamente los números reales? Sabemos que 5, –8/5,
√ 2 , π, e, ... lo son, que los tres últimos no se pueden escribir como una fracción, que tienen infinitos decimales no repetidos... Podría bastar una idea intuitiva de los reales, pero en matemáticas a veces la intuición engaña. Convendrá tener una definición rigurosa del conjunto R de los números reales. Lo mas serio (pero muy largo) sería construir R a partir de Q. Para ahorrar tiempo, definiremos R como un conjunto de objetos básicos que satisfacen unas propiedades que tomaremos como axiomas (si se construyese R estas propiedades serían teoremas que habría que demostrar). De ellas se podrían deducir el resto de propiedades que permiten hacer cálculos con reales (tampoco lo haremos, pues seguiría siendo demasiado largo). Así pues, definimos a partir de las propiedades vistas para Q:
Axiomas del conjunto R
R es un conjunto que posee las propiedades 1) , ... , 6) de cuerpo ordenado y además satisface el axioma del extremo superior. El último axioma (que veremos algo más adelante, pues exige alguna definición) distingue R de Q.
–8/5 (^0 )
Gracias al orden de R tiene sentido la representación usual " 2 – e! de R como una línea recta, asociando a cada número real un punto de la recta. Es tan común que se utilizan indistin- tamente los términos ‘conjunto de números reales’ y ‘recta real’; ‘número real’ y ‘punto’.
A partir exclusivamente de los axiomas se podrían demostrar todas las propiedades de los reales que se habrán utilizado en cursos anteriores. Repasamos primero algunas referentes las raíces de polinomios sencillos, empezando por los de segundo grado:
Como P 2 (x) = ax^2 +bx+ c = a
[
x+ 2 ba
] 2
− 4 ∆a , a 6 = 0 , ∆ = b^2 − 4 ac (discriminante de P 2 ), sus raíces vienen dadas por: x± = (^21) a
[
− b ±
]
El tipo de raíces de P 2 depende del signo del discriminante ∆. Si ∆>0 tiene dos reales y distintas, si ∆=0 una raíz doble real y si ∆<0 dos raíces complejas conjugadas ( p ± q i ). Conocidas sus raíces x+ y x− puede escribirse P 2 (x) = a(x−x+)(x−x−). Aunque el teorema fundamental del álgebra asegura que todo polinomio de grado n posee n raíces (reales o complejas, repetidas o no), otra cosa es cómo hallarlas. Nos gustaría tener fórmulas para el cálculo de las raíces de los Pn(x) = anxn+· · ·+a 1 x+a 0 de cualquier grado similares a las de P 2. Hacia 1500 se descubrieron fórmulas para las raíces de los de grado 3 y 4 (no muy útiles en la práctica). Pero en el siglo XIX se probó que es imposible expresar mediante radicales las raíces de los de grado ≥ 5.
Si encontramos una raíz x∗^ de un Pn , dividiendo por (x−x∗) reducimos el problema de hallar sus raíces al de hallar las de un Pn− 1. Por este camino se puede, en pocas ocasiones, calcularlas todas. Si casualmente un Pn con coeficientes enteros tiene raíces enteras, son fáciles de hallar:
Si existe raíz entera de Pn se encuentra entre los divisores del término independiente a 0. Si c es raíz entera, entonces a 0 = −c[ancn−^1 +· · ·+a 1 ] , con lo que a 0 es múltiplo de c.
Dos tipos sencillos de polinomios de orden 4 con raíces calculables son:
Las raíces del polinomio bicuadrado P 4 (x) = ax^4 +bx^2 +c se hallan haciendo z = x^2.
Las raíces de P 4 (x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a se calculan mediante el cambio z = x+ (^1) x :
a
x^2 + (^) x^12
x+ (^1) x
x+ (^1) x
x+ (^1) x
- c− 2 a = 0 → az^2 + bz + c− 2 a = 0.
Halladas sus raíces z± , basta resolver los dos polinomios de segundo grado: x^2 − z±x + 1 = 0.
Ej. Determinemos todos los reales x que satisfacen: x^2 + (^2) x > 3.
Si x = 0 , el cociente no está definido. Si x 6 = 0 , como es lícito sumar o restar a ambos lados, la desigualdad equivale a: x^2 + (^2) x − 3 = x^3 −^3 xx +^2 > 0. El cociente será positivo si y sólo tienen el mismo signo denominador y numerador. Para ver el signo de éste necesitamos hallar sus raíces. 1 0 − 3 2 1 1 1 − 2 1 1 − 2 | 0
Aunque esto es complicado en general, es claro aquí que x=1 es una, y así, dividiendo por (x− 1 ) , tenemos que x^3 − 3 x+ 2 = (x− 1 )(x^2 +x− 2 ) = (x− 1 )^2 (x+ 2 ). Como el numerador es estrictamente positivo si x > −2 , x 6 = 1 y negativo si x < −2 , los x buscados son: {x : x < −2 ó 0 < x < 1 ó x > 1 }. –2 0 1 Podríamos haber operado de otra forma, multiplicando ambos miembros por x , pero teniendo siempre cuidado con que al multiplicar por números negativos las desigualdades se invierten. Si x > 0 , la desigualdad equivale a x^3 − 3 x+ 2 = (x− 1 )^2 (x+ 2 ) > 0 → todo x > 0 con x 6 = 1. Si x < 0 , cambia la desigualdad: x^3 − 3 x+ 2 = (x− 1 )^2 (x+ 2 ) < 0 → todo x < −.
Ej. Determinemos los x que satisfacen: | √ x − 2 | = x. Si x < 0 , la raíz no está definida. Desarrollando (para x ≥ 0 ) el valor absoluto tenemos:
|
√ x − 2 | =
{ (^) √ x − 2 si √ x ≥ 2 , es decir, si x ≥ 4 2 − √ x si √ x ≤ 2 , es decir, si 0 ≤ x ≤ 4
Y, por tanto, |
√ x − 2 | = x ⇔
{ √ √x^ =^ x^ +^ 2 si^ x^ ≥^4 ⇒^ x^2 +^3 x^ +^4 =^0 x = 2 − x si 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ x^2 − 5 x + 4 = 0 El primer polinomio de segundo grado no se anula para ningún x real. El segundo para x = 1 y x = 4 (ambos en la región 0 ≤ x ≤ 4 en que estamos). Pero sólo es válido x = 1 ( | 1 − 2 | = 1 ). El otro real x=4 no cumple la igualdad: | 2 − 2 | 6 = 4 (nos lo hemos inventado al elevar al cuadrado).
Ej. Hallemos los x que cumplen:
∣∣ x^2 − 1
∣∣ ≤ 3 ⇔ − 3 ≤ x^2 − 1 ≤ 3 ⇔ − 2 ≤ x^2 ≤ 4.
–2 0 2
Ambas desigualdades se cumplen si y sólo si |x| ≤ 2 ( ⇔ x^2 ≤ 4 ; la otra es cierta ∀x ). Llegamos a lo mismo discutiendo el valor absoluto (más largo): 3 ≥ |x^2 − 1 | =
{ (^) x (^2) − 1 si x (^2) ≥ 1 1 − x^2 si x^2 ≤ 1 ⇔
{ (^) x (^2) ≤ 4 si |x| ≥ 1 → 1 ≤ |x| ≤ 2 x^2 ≥ −2 si |x| ≤ 1 → todo |x| ≤ 1
Ej. Sea f (x) = |^2 xx −^ + 2 6 |. Determinemos los reales x que cumplan: i) f (x) = 1 , ii) f (x) < 4.
Como 2x+6 cambia de signo en x = −3 es f (x) =
{ (^2) x + 6 x − 2 ,^ x^ ≥ −^3 ,^ x^6 =^2 − (^2) xx −^ + 2 6 , x ≤ − 3 .
Entonces:
{ (^2) x+ 6 x− 2 =^1 →^ x^ =^ −^8 (^ <^ −^3 ) 2 x+ 6 2 −x =^1 →^ x^ =^ −^ 4 3 (^ >^ −^3 )^
⇒ ningún x cumple i).
ii)
{ (^2) x+ 6 x− 2 <^4 ⇔^
2 ( 7 −x) x− 2 <^0 ⇔^ x^ <^ 2 ó^ x^ >^7 ,^ y además debe ser^ x^ ≥ −^3 ↘ 2 x+ 6 2 −x <^4 ⇔^
2 ( 3 x− 1 ) 2 −x <^0 →^ x^ <^ 1 3 ó^ x^ >^2 ,^ siendo además^ x^ ≤ −^3 ↗ x^ <^ 2 ó^ x^ >^ 7.
Ej. Probemos ahora que para todo x se cumple − 8 ≤ |x− 5 | − |x+ 3 | ≤ 8.
Los teoremas aseguran: |x| − 5 ≤ |x− 5 | ≤ |x| + 5 , |x| − 3 ≤ |x+ 3 | ≤ |x| + 3. Por tanto: |x − 5 | − |x + 3 | ≤ |x| + 5 − [|x| − 3 ] = 8 (mayor–menor) y |x − 5 | − |x + 3 | ≥ |x| − 5 − [|x| + 3 ] = −8 (menor–mayor) También lo podríamos haber hecho expresando los valores absolutos según los valores de x.
Para enunciar el axioma del extremo superior necesitamos unas definiciones previas:
Un conjunto A⊂R se dice acotado superiormente (inferiormente) si existe k∈R tal que a ≤ k ( a ≥ k ) para todo a ∈ A. A un real k con esa propiedad se le llama cota superior (inferior) de A. A se dice acotado si lo está superior e inferiormente. [Es decir, A está acotado si existen k 1 y k 2 tales que k 1 ≤ a ≤ k 2 para todo a ∈ A. Esto es equivalente a que exista un k tal que |a| ≤ k (o sea −k ≤ a ≤ k ), ∀a ∈ A ].
Ej. R+ ≡ {x : x ≥ 0 } no es acotado, pero sí lo está inferiormente (por −π, por el propio 0... ). A = {x : 0 ≤ x < 7 } 0 7 está acotado [cotas superiores:
√ 93 , 7 (la menor),... ; cotas inferiores: −13, 0 (la mayor),... ]. B =
{ (^1) n :^ n^ ∈^ N
} 0 1/3 1/2 (^1) también lo está [cotas superiores: π , 1 (la menor),... ; cotas inferiores: −3, 0 (la mayor),... ].
Extremo superior (o supremo) de A es la menor de sus cotas superiores. Es decir:
s ∈ R es el extremo superior o supremo de A [ sup A ] si: i) s es cota superior de A , ii) si k es cota superior de A entonces s≤k. [Se define análogo extremo inferior o ínfimo de A [ inf A ], mayor de las cotas inferiores].
El sup A puede pertenecer o no a A ; si pertenece se le llama máximo, es decir:
M ∈ R es el máximo de A [ max A ] si M ∈ A y a ≤ M , ∀a ∈ A (análogamente, min A ).
Ej. Z , sin cotas superiores ni inferiores, no puede tener ni supremo ni ínfimo. El mínimo de R+ es 0 (y su ínfimo). No tiene supremo (ni máximo). 7 es el supremo del A de antes (es la cota superior más pequeña), pero no es máximo, pues 7 ∈/ A ; 0 es su mínimo (y, por tanto, su ínfimo). Para B , 1 es el máximo (y supremo) y 0 el ínfimo (no mínimo).
Axioma del extremo superior:
Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee extremo superior. [No es difícil demostrar que la afirmación: ‘todo conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente posee extremo inferior’ es equivalente al axioma].
0
-! 2 –^! 2 –
3/
no son de Q
Este axioma precisa la idea intuitiva de que los números reales ‘llenan del todo’ la recta real. Co- mo ocurría en Q, entre cualquier par de reales distintos existen infinitos reales (infinitos racionales e infinitos irracionales). Pero a pesar de estar también los elementos de Q ‘tan cerca unos de otro como queramos’, dejan sin embargo ‘huecos’ entre ellos (los puntos ocupados por los infinitos irracionales). Por eso hay conjuntos acotados en Q sin supremo. Por ejemplo, {x∈Q : x^2 < 2 } es un subconjun- to de Q con cotas superiores racionales ( 3/2 , por ejemplo) pero no existe ninguna en Q que sea la más pequeña. Dada cualquier cota racional siempre puedo dar otra menor (más cercana al irracional
√ 2 ). El mismo conjunto, visto como subconjunto de R, debe tener supremo (por el axioma del extremo superior):
√ 2 lo es.
Los siguientes subconjuntos de R van a aparecer un montón de veces en estos apuntes:
1.4. Repaso de las funciones elementales
Funciones reales de variable real
Vimos en 1.1 las funciones en general. Casi todas las de este curso serán funciones de R en R:
Def.
Una función real de variable real f es una regla que asigna a cada uno de los números x de un conjunto D ⊂ R un único número real f (x). A D ≡ dom f se le llama dominio de f. y ≡ f (x) es el valor de f en x. Imagen o recorrido de f es f (D) ≡ im f ≡ { f (x) : x ∈ D}.
f : D → f (D) x → y ≡ f (x)
Muchas veces f admite una expresión algebraica como f (x) = |x| , f (x) = sen x ,... ), pero otras no será expresable ni con palabras. Por eso dimos en 1.1 una definición más teórica y más precisa: f es un conjunto de pares ordenados que no contiene dos distintos con el mismo primer elemento. [ Según esta definición, la ‘función |x| ’ sería {(x, |x|) : x ∈ R}
] . (Si no se precisa más, dom f será el conjunto de x para los que f tiene sentido).
Geométricamente, f se puede representar en un sistema de coorde- nadas como un conjunto de puntos (gráfica de f ) en el plano xy. Así, la gráfica de f (x)=|x| es el conjunto de puntos que forman las semirrectas y = x e y = −x que coinciden en el origen.
Dadas dos funciones f y g se pueden definir otras funciones f +g , f −g , f ·g , f /g y f ◦g :
Def.
( f +g)(x) = f (x)+g(x) , ( f −g)(x) = f (x)−g(x) , ( f ·g)(x) = f (x)·g(x) para x ∈ dom f ∩ domg. ( f /g)(x) = f (x)/g(x) para x ∈ dom f ∩ domg ∩{x : g(x) 6 = 0 }. ( f ◦g)(x)= f
g(x)
(composición de f y g) para x con x∈domg y g(x)∈dom f.
Suma y producto de funciones, como es inmediato ver, son conmutativas, asociativas y hay distributiva; la composición es asociativa, pero no conmutativa:
Ej. Si f (x) = x^2 , g(x) = 2 x − 1 se tiene que ( f ◦g)(x) = 4 x^2 − 4 x+ 1 6 = 2 x^2 − 1 = (g◦ f )(x).
^
Def. (^)
f es inyectiva[ en A ⊂ R si f (x) = f (x∗) ⇒ x = x∗, ∀x, x∗^ ∈ A o lo que es lo mismo, si x 6 = x∗^ ⇒ f (x) 6 = f (x∗)
]
Ej. f (x)=|x| no es inyectiva en A=R (a −3 y 3 , por ejemplo, les corres- ponde el mismo valor). Sí lo es en A = [ 0 , ∞) , o en A = [− 3 , − 1 ].
La gráfica de una función inyectiva no corta más de una vez cualquier recta horizontal.
Def. Si^ f^ :^ x^ →^ y^ =^ f^ (x)^ es inyectiva en^ A^ existe la^ función inversa^ f^
− (^1) : f (A) → A y = f (x) → x = f −^1 (y) En términos de pares ordenados, la función inversa es f −^1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f }.
y=f(x)
y=f –1(x)
Propiedades inmediatas son:
dom f −^1 = im f , im f −^1 = dom f , ( f −^1 ◦ f )(x) = ( f ◦ f −^1 )(x) = x
Las gráficas de y= f (x) y de y= f −^1 (x) son simétricas respecto a la recta y=x [pues (x, y) e (y, x) lo son]. Para escribir y= f −^1 (x) explícitamente (cuando se pueda; en general será imposible) se despeja x en función de y de la expresión y = f (x) y se cambia el nombre a las variables.
Ej. La inversa de y = x^3 −5 es y = (x+ 5 )^1 /^3
[ pues x = (y+ 5 )^1 /^3 al despejar
] .
Def.
f es estrictamente creciente en A⊂R si ∀x, x∗^ ∈A con x<x∗^ se tiene f (x)< f (x∗). Es estrictamente decreciente si f (x) > f (x∗). Es creciente si f (x) ≤ f (x∗). Es decreciente si f (x) ≥ f (x∗). Cualquiera de ellas se dice monótona (estrictamente monótonas, las dos primeras).
1 2 3
1
2
3
Ej. f (x) = [ x ] = máximo entero menor o igual que x [llamada ‘parte entera de x’] es creciente en todo R [no estrictamente]. Ej. f (x) = |x| es estrictamente decreciente en {x ≤ 0 } y es estrictamente creciente en {x ≥ 0 }.
Teorema: f estrictamente monótona en A ⇒ f inyectiva en A [y existe su f −^1 ].
[Si x 6 = x∗^ o bien es f (x) < f (x∗) o bien f (x) > f (x∗) ]. [Para ver si una f es monótona (y por tanto inyectiva) acudiremos en el futuro a las derivadas. También las necesitaremos para conocer la imagen de funciones que no sean muy sencillas].
PAR
IMPAR
Def. f es par si f (−x) = f (x) e impar si f (−x) = − f (x). f es de periodo T o T - periódica si f (x+T )= f (x) ∀x. [Su gráfica, respectivamente, es simétrica respecto al eje x = 0 , es simétrica respecto del origen o se repite cada T unidades].
Rectas
b
La gráfica de y = mx+b es una recta de pendiente m que corta el 1 m eje x=0 en el punto y=b. Las rectas paralelas a ella son de la forma y = mx+C. La pendiente de las rectas perpendiculares es − (^) m^1.
La recta que pasa por (x 0 , y 0 ) y tiene pendiente m es y = y 0 + m(x−x 0 ).
La recta que pasa por (x 0 , y 0 ) y (x 1 , y 1 ) es y = y 0 + y x^11 −−yx^00 (x−x 0 ).
Potencias, raíces, exponenciales y logaritmos
_
3
x^2 (^3) !x_
!x
x^3 x 2
x^3
!x
_
–1 1
1
y = xn^ , y = x^1 /n^ = n
x , n ∈ N
Si n impar, y=xn^ es inyectiva en todo R y es f (R)=R. Su inversa y = x^1 /n^ está definida en R y su imagen es R. Si n par, no es inyectiva en R. Se llama entonces y=x^1 /n a la inversa de y=xn^ restringida al intervalo [ 0 , ∞) , con lo que en ese caso tiene por dominio e imagen [ 0 , ∞).
(La función y = −x^1 /n^ para n par, es la inversa de y = xn^ restringida a (−∞, 0 ] ).
y = x−n^ = (^) x^1 n y = x−^1 /n^ = (^) x 11 /n n ∈ N
→ y = xm/n^ = n
xm^ , m, n ∈ N
1
1
1/x
1/x
1/x
1/x 2 2
!x
_ 1/
–1 1
x3/ x2/ 1
Funciones trigonométricas (siempre en radianes)
Seno, coseno y tangente aparecen primero como cocientes entre lados de un triángulo rectángulo. Para 0 < α < 90 o^ es:
sen α = BA , cos α = CA y tan α = (^) CB.
También sen α = B ′ A′^ [triángulos semejantes tienen lados proporcionales].
Interesa definirlas para cualquier ángulo, positivo o negativo, y además expresado en radianes:
1
longitud x
P senx cosx
x
Sea x la longitud (medida en sentido horario o antihorario) del arco que une ( 1 , 0 ) con un punto P de la circunferencia unidad. El ángulo orientado (positivo hacia arriba, negativo hacia abajo) formado por las semirrectas que unen ( 0 , 0 ) con ambos puntos es el ángulo de x radianes y sen x es la ordenada de P. [Esta definición es poco rigurosa, por basarse en el concepto de longitud de una curva cuya definición no tenemos bien establecida; se le puede dar rigor utilizando integrales, lo mismo que a sen x : ver Spivak].
A partir del sen x definimos:
cos x = sen (x+ π 2 ) , ∀x ; tan x = sen cos^ xx , si x 6 = π 2 +kπ , k ∈Z.
[Nos será más útil esta definición de cos x que la equivalente ‘abscisa del punto P ’. Las otras clásicas funciones trigonométricas cotan x = cos sen^ xx = (^) tan^1 x , sec x = (^) cos^1 x y cosec x = (^) sen^1 x no serán utilizadas en estos apuntes, puesto que se pueden expresar fácilmente en términos de las dadas].
Admitimos que las gráficas de estas funciones son las de abajo:
tan x
-! !/2^!
! !/
1
cos x^ sen^ x
sen x y cos x son de periodo 2π, sen x es impar y cos x es par, tan x es π-periódica e impar.
Repasemos algunas propiedades trigonométricas clásicas [algunas otras se verán en problemas].
Recordemos en primer lugar la equivalencia entre grados y radianes. Como un ángulo recto son π 2 radianes (la longitud de la circunferencia unidad es 2π) o bien 90
◦, es α◦ (^) = απ 180 radianes. En particular, los famosos ángulos de 30◦, 45◦^ y 60◦^ son, respectivamente, π 6 , π 4 y π 3 radianes.
Las funciones trigonométricas tienen una infinidad de valores exactos conocidos como:
sen (kπ) = cos
( (^) π 2 +kπ
= tan (kπ) = 0 , sen
( (^) π 2 +^2 kπ
= cos( 2 kπ) = 1 , sen
− π 2 + 2 kπ
= cos[( 2 k− 1 )π] = −1 ,
que son inmediatos, y los siguientes que se deducen fácilmente del teorema de Pitágoras:
sen π 6 = cos π 3 = 12 , sen π 4 = cos π 4 =
√ 2 2 ,^ sen^
π 3 =^ cos^
π 6 =
√ 3 2 , tan π 6 =
√ 3 3 ,^ tan^
π 4 =^ 1 ,^ tan^
π 3 =^
De ellos salen los similares de otros cuadrantes, por ejemplo:
sen 56 π = 12 ; sen 76 π = sen 116 π = − (^12)
[
o si se prefiere: sen(− 56 π ) = sen(− π 6 ) = − (^12)
]
De Pitágoras también se deduce: sen^2 x + cos^2 x = 1 ⇒ 1 + tan^2 x = (^) cos^12 x.
Ej. A partir de aquí es fácil hallar, dada cualquiera de las razones trigonométricas de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra (sin este dato hay 2 posibilidades), los valores de las restantes: Por ejemplo, si tan α = − 43 y α ∈
( (^3) π 2 ,^2 π
) , los valores del seno y el coseno de este ángulo son: cos α = + √^1 1 +tan^2 α = √ 1 +(^116 / 9 ) = 35 , sen α = cos α tan α = − 45.
Seno, coseno y tangente son positivos en los cuadrantes dibujados a la derecha:
Más difíciles de probar son las siguientes importantes identidades (válidas ∀a, b):
sen (a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b , cos (a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b ,
pero a partir de ellas ya es fácil comprobar todas las siguientes (de hecho, nos bastaban las fórmulas para a+b , pues las de a−b = a+(−b) son consecuencia inmediata de ellas, por la imparidad y paridad de seno y coseno). Por ejemplo:
sen 2a = 2 sen a cos a , cos 2a = cos^2 a − sen^2 a = 1 − 2 sen^2 a = 2 cos^2 a − 1
⇒ sen^2 a = 12 [ 1 − cos 2a] , cos^2 a = 12 [ 1 + cos 2a]
Ej. Calculemos usando las igualdades anteriores el cos 3512 π. Primero observemos que cos 3512 π = cos( 3512 π − 2 π) = cos 1112 π = cos(π − 12 π ) = − cos 12 π. Como cos^2 ( 12 π ) = 12 [ 1 + cos π 6 ] = 2 +
√ 3 4 ⇒^ cos^
35 π 12 =^ −^
1 2
√ 2 +
√
Podemos dar una expresión más bonita: − cos 12 π = − cos
( (^) π 3 −^ π 4
) = − (^12)
√ 2 2 −
√ 3 2
√ 2 2 =^ −
√ 2 +√ 6
Ej. Hallemos todos los reales x tales que cos 4x − 2 cos 2x = 3. 2 cos^22 x−2 cos 2x− 1 = 3 , cos^22 x−cos 2x− 2 = 0 → cos x = 1 ±
√ 1 + 8 2 =^2 ,^ −. cos 2x = 2 es imposible y cos 2x = −1 se cumple si 2x = ( 2 k+ 1 )π ⇒ x = π 2 + kπ , k ∈ Z. [Con algo de vista: las únicas soluciones posibles son los x que, a la vez, hacen cos 2x = −1 y cos 4x = 1. No es conveniente en este caso, desde luego, expresarlo todo en función de cos x ].
Veamos otras propiedades que también utilizaremos. Ésta es casi inmediata:
tan (a ± b) = 1 tan ∓ tana^ ± a^ tan tan^ b b ⇒ tan 2a = 1 2 tan− tan^ a 2 a
En las siguientes basta desarrollar los segundos miembros:
sen a sen b = 12 [ cos (a−b) − cos (a+b) ] cos a cos b = 12 [ cos (a+b) + cos (a−b) ] sen a cos b = 12 [ sen (a+b) + sen (a−b) ]
En la última, llamando A = a+b y B = b−a , resulta ser a = A− 2 B y b = A+ 2 B con lo que:
sen A − sen B = 2 sen A− 2 Bcos A+ 2 B
1.5. El conjunto C. Operaciones con complejos
No hay ningún número real x tal que x^2 + 1 = 0. Para que esa ecuación tenga solución es ne- cesario introducir el número imaginario i : i^2 = −1. Veamos algunas propiedades del conjunto de los números complejos C = {z = a + i b : a, b ∈ R}.
En C están definidas las operaciones suma y producto:
(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d) , (a + i b) · (c + i d) = (ac − bd) + i (ad + bc)
Con estas dos operaciones C es un cuerpo: + y · son asociativas y conmutativas, existe la distributiva, existen elementos neutros ( z + 0 = z y z · 1 = z ) e inversos:
∀z = a + i b ∃ − z = −a − i b tal que z + (−z) = 0 , ∀z 6 = 0 ∃ z−^1 = (^) a (^2) +ab 2 − i (^) a (^2) +bb 2 tal que z · z−^1 = 1.
Se define diferencia y cociente de complejos como: z − w = z + (−w) , (^) wz = z · w−^1 si w 6 = 0.
[No se puede, a diferencia de R, definir un orden en C compatible con las operaciones anteriores].
Dado z = x + i y , el conjugado de z es z ≡ z∗^ = x − i y ; y el módulo de z es |z| =
x^2 +y^2.
|w|
|z–w|
|z|
z=x+iy
z=x–iy-
x
y
z+w w
!
Representando cada complejo z = x+i y como el punto del plano de coordenadas (x, y) , es fácil ver que el complejo suma z + w está en el vértice opuesto al origen de un paralelogramo dos de cuyos lados son los segmentos que unen z y w con O = ( 0 , 0 ). El conjugado z es la reflexión de z respecto de y = 0. El módulo es la distancia desde z al origen. La distancia de z a w viene dada por |z − w|.
Algunas propiedades de demostración inmediata son:
z = z , z + w = z + w , −z = −z , z · w = z · w , z−^1 = (z)−^1 , |z|^2 = z · z , |z · w| = |z| · |w|
Más difícil es probar (ver Spivak): |z + w| ≤ |z| + |w| (el significado geométrico es claro).
Un z se puede describir con coordenadas polares: z = x + i y = r(cos θ + i sen θ ) , donde r = |z| y θ es el ángulo que forma el segmento Oz con el eje x positivo. El θ no es único: todos los θ + 2 kπ nos dan el mismo z. Cualquiera de ellos se llama argumento de z. El argumento principal es el θ con 0≤θ < 2 π. El θ se halla utilizando que tan θ = yx y mirando el cuadrante en que está el z.
Ej. Para z = − 2 + 2i es |z| = 2
√
- Como tan θ = −1 y z está en el segundo cuadrante, se puede escribir z (con el argumento principal) en la forma z = 2
√ 2
[ cos 34 π + i sen 34 π
] ( ó con otro θ : z = 2
√ 2 [cos 114 π + i sen 114 π ]
) .
Más adelante veremos que si θ es cualquier real: eiθ^ = cos θ + i sen θ (complejo de módulo 1). Esto nos proporciona una forma más corta de expresar un complejo en polares:
z = reiθ^ , donde r = |z| y θ es un argumento de z.
s
w z
!
"^ r
!+"
z.w r.s
Las formas polares son muy útiles para efectuar productos y potencias:
Si z = reiθ^ , w = seiα^ entonces:
z · w = rs ei(θ^ +α)^ = rs [cos(θ +α) + i sen(θ +α)] , z w =^
r s e
i(θ −α) (^) = r s [cos(θ^ −α) +^ i sen(θ^ −α)]^ , zn^ = rneinθ^ = rn(cos nθ + i sen nθ ).
[Las dos primeras son inmediatas y la de zn^ se prueba por inducción].
n! – r
2 "/n #/n
Todo z = reiθ^6 = 0 tiene exactamente n raíces n-simas distintas dadas por √ nz = √nr eiφ (^) = √nr (cos φ + i sen φ ) con φ = θ + 2 kπ n ,^ k^ =^0 ,... ,^ n−^1. [basta elevar a n y observar que si k=n, n+ 1 ,... se repiten los ángulos de antes; vemos que las n raíces están en los vértices de un polígono regular].
Hagamos una serie de operaciones de repaso de la aritmética compleja:
Ej. Calcular
∣∣ ∣ i(^32 −+4ii)
∣∣ ∣. Basta hacer uso de las propiedades del módulo:^ | |^ =^ |i||| 23 +−i4i| |=^1 √·^55 =^
√
[Vamos ahora a hacerlo dando un rodeo calculando el complejo que está dentro del módulo: i[ 3 +4i] 2 +i =^
[3i− 4 ][ 2 −i] [ 2 +i][ 2 −i] =^
3 − 8 +6i+4i 5 =^ −^1 +^ 2i , cuyo módulo es, desde luego,^
√ 5 ].
Ej. Calcular w = ( 1 − i )^6 , directamente y en polares: w = 1 + 6 (−i)+ 15 (−i)^2 + 20 (−i)^3 + 15 (−i)^4 + 6 (−i)^5 +(−i)^6 = 1 −6i− 15 +20i+ 15 −6i− 1 = 8i. r =
√ 2 , tan θ =− 1 → θ = 74 π (θ del cuarto cuadrante) →
(√ 2 ei 7π/^4
) 6 = 8ei 21π/^2 = 8ei^ π/^2 = 8i.
!^3 5 –
"
Ej. Hallar las raíces cúbicas de z = 71 +−ii. Podemos hacer: z = [[^71 +−ii][][^11 ++ii]] = 6 + 2 8i = 3 + 4i = 5ei arctan^ (^4 /^3 )^. O bien, 7 + i = 5
√ 2 ei arctan^ (^1 /^7 )^ , 1 − i =
√ 2 e−i 7π/^4 → z = 5ei^ [arctan^ (^1 /^7 )+π/^4 ] [ las dos expresiones de z coinciden, pues arctan x+arctan y = arctan 1 x−+xyy
] . Por tanto, 3 √ z = 3
√ 5 eiφ^ donde φ = arctan(^43 /^3 )+^2 kπ, k = 0 , 1 , 2. Con calculadora: θ = arctan 43 ≈ 0.927 ; φ ≈ 0.309, 2.403, 4.498 → z ≈ 1.63+0.52 i, −1.26+1.15 i, −0.36−1.67 i
Ej. Escribir el polinomio real x^4 + 1 como producto de polinomios reales de segundo grado. Las raíces del polinomio son las 4 raíces de − 1 = 1eiπ^ que son 4
√ 1 eiφ^ con φ = π 4 , 34 π , 54 π , 74 π. Es decir, z 1 , 2 =
√ 2 2 [^1 ±^ i^ ]^ ,^ z^3 ,^4 =
√ 2 2 [−^1 ±^ i^ ]^ , complejos conjugados dos a dos, como debían (a lo mismo llegaríamos buscando los z con z^2 = ±i , pero sería mucho más largo). Así pues: x^4 + 1 = [(x−z 1 )(x−z 2 )][(x−z 3 )(x−z 4 )] = [x^2 − (z 1 +z 2 )x + z 1 z 2 ][x^2 − (z 3 +z 4 )x + z 3 z 4 ] → x^4 + 1 =
[ x^2 −
√ 2 x + 1
][ x^2 +
√ 2 x + 1
]
Ej. Hallar las raíces de la ecuación z^2 − i z − 1 − i = 0 → z = (^12)
[ i ±
√ 3 +4 i
] . [La fórmula z = (^21) a
[ − b ±
√ b^2 − 4 ac
] sigue siendo válida interpretando ±
√ b^2 − 4 ac como las dos raíces del complejo (no tiene sentido decir ‘la raíz positiva’ de un complejo)]. Trabajemos en cartesianas: buscamos w = x+i y tal que w^2 = x^2 −y^2 + 2 xyi = 3 +4i. Debe ser x^2 −y^2 = 3 y 2xy = 4. Hay dos soluciones reales de este sistema: x = 2, y = 1 y x = −2, y = −. [ En polares se tendría
√ 5 eiφ^ , φ = arctan 2 ( 4 /^3 )+kπ , k= 0 , 1 , que deben coincidir con ±( 2 +i )
] . Las raíces buscadas son: z = (^12)
[ i + ( 2 +i )
] = 1 + i y z = (^12)
[ i − ( 2 +i )
] = −.
i
3
2
Ej. Representar en el plano complejo los z que cumplen |z − i | < 2. Si z = x + i y , esto equivale a |x + i (y − 1 )| < 2 ⇔ x^2 + (y − 1 )^2 < 4. Los z buscados son los del círculo sin borde de centro ( 0 , 1 ) y radio 2 (claro, los z que distan del complejo i menos que 2 ). Ej. Expresar cos 3θ y sen 3θ en términos de cos θ y sen θ utilizando potencias de complejos. cos 3θ+i sen 3θ = ei3θ^ =[eiθ^ ]^3 =[cos θ+i sen θ ]^3 =cos^3 θ−3 cos θ sen^2 θ+i [3 cos^2 θ sen θ−sen^3 θ ] ⇒ cos 3θ = 4 cos^3 θ − 3 cos θ y sen 3θ = 3 sen θ − 4 sen^3 θ [sale usando sólo propiedades reales de senos y cosenos de sumas, pero es bastante más largo].
