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Problemas adicionales (11-12).
Preliminares
- Sea f : A → B una funci´on y sean X,Y ⊂ A. Estudiar si son ciertas o no las afirmaciones:
a) f (X ∪Y ) = f (X) ∪ f (Y ) , b) f (X ∩Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ) , c) X ⊂ Y ⇒ f (X) ⊂ f (Y ). Probar que f es inyectiva si y s´olo si f (X ∩Y ) = f (X) ∩ f (Y ) para cualquier par X,Y ⊂ A.
- Demostrar por inducci´on sobre n :
a) que la suma de los n primeros n´umeros impares es n^2 ; b) las desigualdades:
n ≤ 11 + √^12 + · · · + √^1 n ≤ 2
n.
- ¿Cu´anto vale
n ∑ k= 1
1? ¿Cu´anto vale
n ∑ k= 1
(ak − ak− 1 ) , n ≥ m? ¿Es
n ∑ k= 1
ak
n ∑ k= 1
1 ak =^
n ∑ k= 1
ak ak =^
n ∑ k= 1
- La suma de 3 n´umeros en progresi´on geom´etrica es 70. Si el primero se multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4, los n´umeros resultantes est´an en progresi´on aritm´etica. Hallar los 3 n´umeros.
- Calcular
7
6
0
: a) Mediante el tri´angulo de Tartaglia, b) con la f´ormula
(m n
= (^) n!(mm−!n)! , c) con la f´ormula
(m n
= m(m−^1 )··· n(! m−n+^1 ). Utilizando lo anterior, hallar
- Probar que
3 y 3
2 son irracionales.
- Probar que si a, b, c, d > 0 y ab < cd entonces ab < ab++dc < cd. Encontrar un racional y un irracional que sean mayores que 11/17 y menores que 9/.
- En dos partidos de baloncesto sucesivos un jugador ha obtenido un porcentaje de acierto en tiro de tres puntos superior al de otro jugador. ¿Implica esto que en el conjunto de los dos partidos es m´as alto el porcentaje del primer jugador?
- Demostrar que la media geom´etrica de dos n´umeros positivos x e y es menor o igual que la aritm´eti- ca, es decir, que
xy ≤ (x+y)/2 , si x, y > 0. ¿Cu´ando coinciden?
- Probar que: max(x, y) = 12 (x + y + |y − x|) , min(x, y) = 12 (x + y − |y − x|).
- Determinar cu´ales de las siguientes afirmaciones son ciertas: i) (^) a+^1 b = (^1) a + (^1) b , ∀a, b 6 = 0 ; ii)
a^2 = −a , ∀a ≤ 0 ; iii)
a^2 + b^2 = a + b , ∀a, b > 0 ; iv) 4a+b^ = 4 a^ + 4 b, ∀a, b ; v) (ab) c = (ac)b^ , ∀a > 0 ; vi) log (ab) = log a + log b , ∀a, b ; vii) a < b ⇒ ac < bc , ∀a, b, c ; viii) a > a^3 , si 0 < a < 1 ; ix) ab^ > 1 , ∀a > 1 , ∀b.
- La uni´on infinita de intervalos
⋃ n∈N
( (^21) n , (^2) n^1 − 1 ), ¿tiene supremo e ´ınfimo? ¿es abierto o cerrado?
- Probar que si A y B son conjuntos abiertos entonces A ∪ B y A ∩ B son tambi´en abiertos. M´as en general, ¿es abierto el conjunto uni´on de una sucesi´on infinita de conjuntos abiertos?, ¿lo es su intersecci´on? Deducir propiedades an´alogas para conjuntos cerrados.
- Encontrar el dominio de las siguientes funciones: a) f (x) =
1 −x^2 +
x^2 − 1 b) g(x) =
sen x + cos x c) h(x) = (^) tan^1 x d) k(x) =
1 −x + log( 1 +x) e) l(x) = log( 1 −x^2 ) f) m(x) = tan(πx^2 )
- Sean c(x)=x^2 , r(x)=
x y l(x)= 1 −x. Precisar en qu´e intervalos es f = r ◦ c◦ l inyectiva, hallando f −^1 en cada uno. Expresar g(x) =
√ 1 −
√ 1 −x^2 como composici´on de c , r y l y hallar dom g.
XI
- Sabiendo que sen α = 13 y que α est´a en el segundo cuadrante, calcular cos α , sen 2α , tan α y sen 3α , usando tan s´olo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raices cuadradas.
- La base de un tri´angulo mide 15 metros y los dos ´angulos que se apoyan en ella son de 30o^ y 45o. ¿Cu´anto valen los restantes lados y el ´angulo que falta por determinar?
- Si los tres cuadrados del dibujo son iguales, ¿cu´anto vale α + β + γ?
- Hallar todos los x reales que verifican: a) |x^2 + x − 2 | = 2 − x − x^2 , b)
∣ (^) log^210 ( 1 − 9 x)+ log 10 ( 1 − 9 x) − 2
∣ (^) = 2 − log 10 ( 1 − 9 x)− log^210 ( 1 − 9 x).
c) sen 2x + cos
x+ π 2
= sen 5π , d) cos^58 x + sen^40 x = 1.
- i) Escribir los complejos −5 i , − 3 − i
3 , −π , 4 − 3 i , en la forma r ei^ θ^. ii) Escribir 3e−^3 π^ i^ , 4 cos π 6 − 4 i sen π 6 , ei sen 2^ , i^765432 , en la forma x + i y.
- Expresar el n´umero complejo z = 1 − i + (^1) +^1 i como x + i y y como r ei^ θ^.
- Hallar y dibujar el complejo conjugado de z = cos 32 π + i sen 32 π. Calcular z^3.
- Sean los n´umeros complejos z = 1 + i , w = − 3 − 2 i. Expresarlos en notaci´on m´odulo y argumento, y representar gr´aficamente los siguientes complejos: z , w , z+w , z−w , 1/z , 1/w , zw , z/w y w/z. Representar tambi´en zei^ π/^2 , ze−^ i^ π/^2 , zei^ π^ y zei 2π^. ¿Cu´anto vale ze−^5 π^ i^?
- Si z = 2 + 3 i y w =
2 ei^ π/^4 , hallar: z + w , z − w , zw , w^4 ,
w , (^) wz , wz , |w| , |z| Re w , |z| Im w.
- Si z = x + i y , escribir la parte real y la parte imaginaria de: z + z + z · z , z−^2 , ei^ z^.
- Representar los complejos que satisfacen: z − z = i , |z − 1 | ≤ |z + 1 | , |z − 1 | = 2 |z + 1 | , |ez| = Re(z) , Arg(z^3 ) ≤ π 2.
XII
- Hallar (si existe) el l´ımite de las siguientes sucesiones:
a) an = 2 n−
√ n^3 3 n+log n ;^ b)^ bn^ =^
1 2 n
12 n^3 + 6 n− 2 −
3 n−5 ; c) cn = n^3 −
n! ;
d) dn = [ (^) nn 2 ++^12 ] n ; e) en = [ n
(^2) + 1 n^2 + 2 ]
n ; f) fn = [n^5 + n + 7 ] 1 /n ; g) gn = (^) nn!n.
- Sup´ongase que f es continua en [a, b] y que f (x) es siempre racional. ¿Qu´e se puede decir de f?
- Probar que x^5 = 2 x^ tiene una soluci´on i) menor que 2 , ii) mayor que 2.
- Sea f (x) = log |x− 1 |−cos x. ¿Existe c∈( 0 , 2 ) con f (c)=0? ¿Alcanza su valor m´ınimo en [ 0 , 4 ]?
- Sup´ongase f continua en [a, b] y sea c un n´umero cualquiera. Demostrar que existe un punto de la gr´afica de f en [a, b] para el que la distancia a (c, 0 ) se hace m´ınima. ¿Es cierto lo anterior si sustituimos [a, b] por (a, b)? ¿Y si sustituimos [a, b] por R?
- Demostrar que f (x) = 7 x − 5 es uniformemente continua en R y que g(x) = x^2 no lo es.
XIV
Derivadas en R
- Hallar la primera y segunda derivadas de las funciones siguientes indicando su dominio: a) f (x) = arctan(log x^2 ) ; b) g(x) = arc cos
( (^) x 2 1 −x^2
- Hallar los x que anulan las derivadas segundas de: a) f (x) = x
(^2) − 1 √ (^33) x+ 1 , b) g(x) = ln( 1 +cos x).
- Hallar las derivadas de las funciones inversas (sh)−^1 , (ch)−^1 y (th)−^1.
- Demostrar que la derivada de una funci´on par es impar y viceversa. ¿Es peri´odica la derivada de una funci´on peri´odica?
- Hallar la ecuaci´on de la recta tangente en x = 2 a las siguientes funciones:
a) f (x) = (^) x^12 , b) g(x) = 37 x − 12 , c) h(x) = 3 x^2 + 2 x−1 , d) k(x) = ( 2 x − 3 )−^7 /^3. Esbozar un dibujo de las gr´aficas de las funciones y de sus tangentes.
- Hallar el punto de corte de las tangentes a la gr´afica de g(x) =
x
∣ (^) en x = −2 y x = 2.
- Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por ( 4 , 3 ) y es paralela a la recta tangente a f (x)=ln( 1 + esen^ x) en x = 0.
- Un astronauta viaja de izquierda a derecha sobre la curva y = x^2. Al desconectar el cohete viajar´a a lo largo de la tangente a la curva en el punto en que se encuentre. ¿En qu´e punto debe desconectar para alcanzar i) ( 4 , 9 ) , ii) ( 4 , − 9 )?
- Hallar los a tales que la recta tangente a la gr´afica de f (x) = (x^2 − 3 )e−x^ en x = a pase por ( 1 , 0 ).
- Probar que la tangente a la gr´afica de f (x) = (^1) x corta a la gr´afica de f s´olo en el propio punto (a, (^1) a ).
- Hallar la ecuaci´on de la elipse con sus ejes paralelos a los coordenados y centrada en el origen que tiene por tangente la recta 5y + 4 x = 25 en un punto de abscisa x = 4.
- ¿Bajo qu´e ´angulos se cortan las curvas y = sen x , y = cos x?
- Probar que f (x) = x^2 − x sen x − cos x tiene exactamente dos ceros.
- Hallar (si existen) los valores m´aximo y m´ınimo de g(x) = x + 2 | cos x| en [ 0 , π].
- Hallar (si existen) los valores m´aximo y m´ınimo de g(x) = arc sen x +
3 log | 2 −x| en su dominio.
- Dibujar la gr´afica de f (x) = | 4 x − 3 | − x^2. Determinar los valores m´aximo y m´ınimo que alcanza la funci´on f en el intervalo [− 3 , 3 ]. ¿Existe alg´un x ∈ ( 0 , 2 / 3 ) para el que f (x) = 0?
- Probar que: f ′^ acotada en un intervalo I ⇒ f uniformemente continua en I.
Probar que f (x) = ( 1 + x^2 ) − 1 es uniformemente continua en todo R.
- Sean P(x) = x^5 + 3 x^4 − 7 x^3 − 21 x^2 + 10 x + 30 y Q(x) = x^3 − 3 x^2 − 5 x + 15. Hallar el mcd(P, Q). Hallar las ra´ıces de P y de Q. Realizar el producto P · Q y la divisi´on P/Q.
- Ver que P(x) = 2 x^5 + 3 x^4 + 4 x^3 + 6 x^2 + 2 x + 3 tiene ra´ıces m´ultiples y hallar todas sus ra´ıces.
XV
- Un lanzador de peso es capaz de lanzar desde una altura de 1.5 m sobre el suelo con una velocidad de 12 m/s. Hallar el ´angulo con el que debe hacerlo para llegar lo m´as lejos posible. ¿Qu´e longitud puede alcanzar (tomar g=10 m/s^2 )?
- Determinar los puntos de la parte de la gr´afica de g(x) = 1 − (x − 2 )^3 contenida en x, y ≥ 0 , para los que la recta tangente en ellos corta el eje y en el punto i) m´as alto, ii) m´as bajo.
- Probar que el polinomio P(x) = x^5 + x + 9 tiene una ´unica ra´ız real. Encontrar, utilizando el teorema de Bolzano, un intervalo de longitud 1/4 en el que se encuentre dicha ra´ız. Precisar el valor de la ra´ız utilizando el m´etodo de Newton.
- Sean los polinomios c´ubicos: i) x^3 + x − 17 , ii) 2x^3 − 7 x^2 + 1 , iii) 16x^3 − 12 x^2 + 1. Dibujar sus gr´aficas. Hallar sus ra´ıces reales a partir de las f´ormulas de los apuntes. Hallar aproximadamente dichas ra´ıces utilizando el m´etodo de Newton.
- Hallar aproximadamente todas las soluciones reales de las siguientes ecuaciones:
a) 3x^3 − 2 x^2 − 6 x + 4 = 0 ; b) x^4 + 4 x^2 − 1 = 0 ; c) x^5 + x + 1 = 0 ; d) x sen x + cos x = x^2 ; e) x th x = 1 ; f) log |x| = x − 1.
- Hallar aproximadamente los cortes con y = 0 , los extremos y los puntos de inflexi´on de P(x) = 9 x^4 + 8 x^3 + 28 x^2 + 24 x + 3 , Q(x) = 2 x^5 − 15 x^3 + 20 x^2 + 5 x + 3 y f (x) = ex^ − x^3.
- Aplicar el m´etodo de Newton partiendo de x 0 = 1 a las funciones f (x) = x^2 y g(x) = 3
x.
- Ver que f (x) = ex/^3 es contractiva en [ 0 , 2 ] y aproximar el ´unico cero de x = ex/^3 en dicho intervalo.
XVII
Series, Taylor y l´ımites indeterminados
- Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes:
a) ∑
√ (^34) n+ 5
√ 4 n 5 + 3 b) ∑ n
(^2) ( e 3 )
n c) ∑ (− 1 )ne− 1 /n^2 d) ∑ 7 n+log n
n!+n^3
e) ∑ (−n 3 )n f) ∑ n(^32 nn+−^11 ) g) ∑ (− 1 )n^2 n+(−^1 )
n n^3 +(− 1 )n^ h)^ ∑^3
n cos 2
i) ∑ cos
√ n+ 1
n! j)^ ∑^
sen n n^3 /^2 k)^ ∑(−^1 )
n (^) tan 1 n l)^ ∑^ arc sen^
1 n
- Estudiar la convergencia de la serie (^) ∑ an , siendo an+ 1 = − (^12)
1 + (^1) n
)n/ 2 an y a 1 = 1.
- Ver para qu´e c ∈ R convergen las series:
a) (^) ∑(
nc^ + 1 −
nc) ; b) (^) ∑ c n^2 − 5 n n^3 ;^ c)^ ∑^
cn e √n ; d) (^) ∑ n^2 πcn^2 n.
- Hallar la suma de la serie
∞ ∑ n= 1
1 n^11 , con error menor que 10
- Precisar los x para los que converge
∞
n= 1
(− 1 )nxn^ y hallar su suma. Para i) x = 14 , ii) x = − 14 ,
¿cu´antos t´erminos hay que sumar para aproximar el valor exacto con error menor que 10−^3?
- Probar que
∞
n= 1
1 1 + 5 n^ converge y que su suma est´a entre 0.213 y 0.. [Usar los tres primeros t´erminos y acotar el resto mediante una serie geom´etrica].
- Utilizando series de potencias escribir la fracci´on (fracci´on generatriz) que coincide con los siguientes racionales expresados mediante decimales: a) 2.713713... , b) 0.2345757...
- Una pelota cae desde una altura inicial de 1 m sobre una superficie horizontal. Si en cada rebote alcanza un 80 % de la altura anterior, ¿qu´e distancia recorre hasta pararse?
- Una persona y su perro caminan a una velocidad de 1 m/s hacia su casa. A 100 m de la puerta el perro comienza a correr yendo y viniendo de la persona a la puerta a 4 m/s , hasta que la persona entra en casa. ¿Qu´e distancia recorre el perro desde que empieza a correr?
- Estudiar en qu´e subconjuntos de R convergen uniformemente las siguientes fn(x) : a) √x n^3 +x ; b) cosnx ; c) x^1 /n^ ; d) senn^ nx ; e) nx^2 e−nx 2 .
- Estudiar para qu´e x convergen, y si lo hacen uniformemente en el intervalo que se indica:
a) (^) ∑ (^) n+x 1 en [ 0 , 1 ] ; b) (^) ∑ e−nx 2 sen nx en [ 1 , ∞) ; c) (^) ∑ x n (n+ 1 ) 2 n^ en^ [−^1 ,^1 ]^ ;^ d)^ ∑^ √x n^3 +x
en [ 0 , 1 ].
12. Sumar la serie x+x 1 + [x+ 1 ][x 2 x+ 1 ] + [ 2 x+ 1 x][ 3 x+ 1 ] + · · · ¿Converge uniformemente en [ 0 , ∞)?
- Calcular P 3 , el polinomio de Taylor de grado 3 en x = 0 de f (x) = tan x. Determinar si P 3 ( 1 ) es mayor o menor que tan 1 sin utilizar calculadora.
- Probar que π 4 = arctan 12 + arctan 12.
Usando el desarrollo de arctan x , calcular el valor de π con error menor que 10−^3.
- Calcular el valor de 10
1.2 con error menor que 0.01. Hallar el valor de
1 / 2 a partir de un polinomio de Taylor de orden 3 y dar una cota del error cometido.
XVIII
- Definiendo f ( 0 ) para que sean continuas, estudiar si existen f ′( 0 ) y f ′′( 0 ) :
a) x arctan (^1) x ; b) tanx x; c) (^) |^1 x| log( 1 +|x|) ; d) arctan(log x^2 ).
- Dibujar las gr´aficas de las siguientes funciones:
a) x log x^2 − x^2 ; b) 6 log |x| + (^) x^12 + (^) x^33 ; c) x arctan (^1) x ; d) e−^1 /x^ ; e) x−^1 e−x^ ; f) x−^3 e−^6 /x^ ; g) th (^1) x ; h) x^1 /x^ ; i) xa^ sen (^1) x , a ∈ R.
- Sea f (x) = sen x − x cos x. Dibujar su gr´afica. Precisar para qu´e m existe: i) l´ım x→ 0
f (x) xm^ ,^ ii)^ xl´→ım∞
f (x) xm^.
- Sea f (x) = e^4 /x−^4 /x 2 , f ( 0 ) = 0. Determinar los puntos en que es continua y derivable. Hallar ex- tremos, puntos de inflexi´on y as´ıntotas y dibujar su gr´afica. Utilizando P 1 , 1 , polinomio de Taylor de grado 1 en x = 1 , dar un valor aproximado de f (1.1) y precisar si es mayor o menor que el exacto.
- Estudiar en qu´e puntos es continua la funci´on: f (x) = x
(^2) sen πx 1 −cos πx si^ x^ ∈/^ Z^ ,^ f^ (x) =^ 0 si^ x^ ∈^ Z^.
- i) Sea g(x) = sen^2 ( π x ). ¿Converge
g( (^4) n )
? ¿Posee subsucesiones convergentes? Esbozar su gr´afica. ii) Sea f (x) = x sen^2 ( π x ) , f ( 0 ) = 0. Estudiar si es continua y derivable en x = 0. Hallar (^) xl´→ım∞ f (x). Dibujar la gr´afica de f. Probar que el m´aximo absoluto de f en todo R se alcanza en un x ∈ [ 2 , 3 ].
- Calcular (justificando los pasos) el l´ımite de las siguientes sucesiones:
a) an = n−^1 log 2 n + n^22 −n^ ; b) bn = n
(^2) − 1 3 n sen^
n n^2 − 1 ;^ c)^ cn^ =^ n
(^3) ( 1 − cos 1 n )^ log(^1 +^
1 n )
- Usando el teorema del valor medio encontrar el l´ımite de la sucesi´on an = n^1 /^3 − (n + 1 )^1 /^3.
- Estudiar si f (z) = |z| y g(z) = |z|^2 son continuas y derivables en z = 0.
- Estudiar si la funci´on f (z) =
z que hace corresponder a cada z la ra´ız con argumento principal m´as peque˜no es continua en todo el plano complejo.
- Probar que si z, w ∈ C entonces ||z| − |w|| ≤ |z − w|. Probar que si la sucesi´on compleja {an} converge entonces tambi´en lo hace la sucesi´on real {|an|}.
- Hallar (si existe) el l´ımite de las siguientes sucesiones de complejos:
2 −n/^2 ( 1 + i)n^ , ( 13 ++5 i2 i ) n , 2−n( 1 + i)n( 1 − i)−n^ , (n − i )^3 n−^3 , ei^ n/(n+^1 )^ , e(^2 −^ i^ )/n^ , e−ne i .
44. Determinar si convergen: ∑
( 4 −3 i )n
n! ,^ ∑^
2 −n i n^2 ,^ ∑^ e
i /n , ∑ i^ n
n^2 ,^ ∑^
(− √ i )n
n ,^ ∑^
1 [ 2 −ei^ n]n^2.
- Estudiar si la serie ∑ n^7 zn^ converge cuando i) z = 45 −+3 i i , ii) z = e−^3 π^ i^.
46. Determinar la regi´on del plano complejo en que converge la serie ∑ z
n en+n.
- Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias complejas y decidir si convergen para z = i , z = −i , z = ( 1 − i)^2 , z = 1 + e i , z = ei^ |^7 +3 i^ |^ :
(− 1 )nzn
n^3 ,^ ∑^
2 nzn
n! ,^ ∑^
n!zn
nn^ ,^ ∑^
i nnnzn
2 n^ ,^ ∑^
nzn
n+ 1 ,^ ∑^
i nzn n+ 1.
- Demostrar que ez+w^ = ezew^. Probar que f (z) = ez^ toma todos los valores complejos menos el 0 , que no es inyectiva y que tiene periodo 2πi.
XX
- Definimos ln z = ln |z| + i Arg(z) , z 6 = 0
[
Arg(z) es el argumento principal de z
]
. Comprobar que eln^ z^ = z. Hallar ln 1 , ln(2 i ) , ln( 1 + i) , ln( 1 − i). Estudiar la continuidad de ln z.
- Determinar si la siguiente igualdad es cierta para todo z complejo: sen( 2 z) = 2 sen z cos z. Resolver la ecuaci´on cos z = 4.
- Desarrollar en serie de Taylor en torno a z = 0 , determinando el radio de convergencia:
3 z 1 +z− 2 z^2 , sen^ z^ cos^ z^ ,^
sen^2 z z ,^
ez 1 +z.
XXI
- Decir en cada caso (sin hallar primitivas) cu´al es el valor de la integral entre las tres opciones: i)
∫ (^) π/ 2 −π/ 2 cos
(^8) x dx : a) π 4 −^ 1 ,^ b)^
35 π 128 ,^ c)^ π^. ii)
∫ (^) π/ 2 −π/ 2 sen
(^7) x dx : a) 5 π 16 ,^ b)^
π 8 ,^ c) 0. iii)
∫ (^0) − 1
dx x^3 − 8 :^ a)^ −^
ln 3 24 −
√ 3 π 72 ,^ b) ln^
9 8 ,^ c)^
33
Calcular las siguientes primitivas:
a)
∫ dx
x^2 +x− 2 b)^
∫ dx
x^3 +x− 2 c)^
∫ x arctan x dx d)
∫ ex dx
1 +e^2 x^ e)^
∫ dx
ch x
f)
∫ cos x dx
3 +cos^2 x g)^
∫ cos^5 x sen^2 x dx h)
∫ x^3 (log x)^2 dx i)
∫ cos(log x) dx j)
∫ x 2 dx
√ x^2 + 4 k)
∫ cos^2 (πx) dx l)
∫ e^2 x^ cos(ex) dx m)
∫ sen^6 x dx n)
∫ ex^ log(ex^ + 1 )dx n)˜
∫ dx
√ 1 +ex
o)
x e−^2
√x dx p)
∫ dx
( 1 −x^2 )^3 /^2
q)
∫ dx
√ x− 1 −
√ x+ 1 r)^
∫ x 2 +x+ 1
√ 9 −x^2 dx s)
∫ x dx
√ 2 +x−x^2
- Expresar In(x) =
∫ dx
[x^2 +a^2 ]n^ en funci´on de In− 1 (x). Calcular
∫ dx
[x^2 + 1 ]^2
y
∫ dx
[x^2 + 2 x+ 5 ]^3
- Expresar In =
∫ (^) π/ 2 0 sen nx dx en funci´on de In− 2. Calcular I 2 n , I 2 n+ 1.
- Calcular:
∫ (^) π 0 sen^ mx^ sen^ nxdx^ ,^
∫ (^) π 0 cos^ mx^ cos^ nxdx^ ,^
∫ (^) π 0 sen^ mx^ cos^ nxdx^ ,^ m,^ n^ ∈^ N^.
- Explicar por qu´e el cambio de variable resultados falsos si:
a)
∫ (^1) − 1 dx^ ,^ t^ =^ x 2 / (^3) ; b) ∫^1 − 1
dx 1 +x^2 ,^ t^ =^
1 x.
- Sea f continua en R y sea f una primitiva de f ¿Si f es impar, es necesariamente f par? ¿Si f es par, es necesariamente f impar? ¿Si f es peri´odica es necesariamente f peri´odica?
- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias. Hallar su valor si se puede:
a)
∫ (^) ∞ π
arctan x x^3 − 8 dx b)
∫ (^2) 0
dx (x− 1 )^4 /^3
c)
∫ (^) ∞ 1
log( 1 + (^) x^42 )dx d)
∫ (^) ∞ 0
1 − cos x x^2 dx
e)
∫ (^) ∞ 0
x cos x ex^ dx f)
∫ (^) ∞ 0
dx 2ex^ − 1 g)
∫ (^) ∞ 1
1 x +^
3 x^2 dx^ h)
∫ (^) ∞ 0
x sen^2 ( π x ) dx
i)
∫ (^) ∞
0
sen√^2 x x dx^ j)
∫ (^) ∞
1
log x √ x − 1
dx k)
∫ (^1)
0
log( 1 + x) x^2
dx l)
∫ (^) ∞
1
x + 2ecos^ x x^3 − 2
√ 2
dx
m)
∫ (^) ∞ 0
√ x dx e^2 x^ − 1 n)
∫ (^) ∞ 1
cos x x^2 dx ˜n)
∫ (^) ∞ 1
sen x x dx o)
∫ (^) ∞ 4
arctan( 1 /x) ( 2 x − 8 )^1 /^3
dx
- Discutir seg´un los valores de n ∈ N la convergencia de:
a)
∫ (^1) 0
[ n
ln( 1 +x) −^
1 x
]
dx ; b)
∫ (^) ∞ 2
x dx xn− 8.
- Sea f (x) = (^1) x + 4 arctan x. Dibujar su gr´afica y probar que π + 1 ≤
∫ (^2) 1 f^ ≤^2 π^. Determinar si converge la integral impropia
∫ (^) ∞ 1 f^. Hallar^ xl´→ım∞
1 x
∫ (^) x 1 f^.
- Hallar, justificando los pasos, el valor de:
i)
0 (^
∞
n^ ∑= 0 (n+^1 )xn^ )^ dx^ ,^ ii)^
0 (^
∞ n^ ∑= 1
cos nx
n^2 )^ dx^ ,^ iii)^
0 (^
∞ n^ ∑= 1
1 [n + x]^4
) dx.
XXIII
- Sea H(x)=|x− 1 |
∫ (^) x − 1 sent
(^3) dt. Aproximar H( 0 ) con error menor que 10− (^3). Hallar, si existe, H′( 1 ).
- Probar las acotaciones:
i) 0 ≤
∫ (^) π/ 2 0 sen(sen^ x)^ dx^ ≤^
π 2 ,^ ii)^
2
21 ≤^
0 √x^6 dx x^4 + 1
≤ 17 , iii) 38 ≤
0
1 −x
1 +x dx^ ≤^
2
Hallar el l´ımite cuando x tiende a 0 y a ∞ de: a) x
∫ (^) x 0 e −t^2 dt − arctan x 2 log[ 1 +x^4 ] ;^ b)^ x
− 6 ∫^0
−x^2 sent
(^2) dt.
- Sea F(x) =
∫ x
2 √dt logt+t. Determinar si existe^ xl´→ım∞F(x)^. Hallar el^ xl´→ım∞
F( 2 x) F(x) (si existe).
- Estudiar para qu´e valores enteros de n se verifica que 3 <
0
nx 4 +x^4 dx^ <^ 4.
- Hallar el valor de I =
0
x x^4 − 16 dx^ y un racional que aproxime^ I^ con error menor que 10
- Sea f (x) = x
(^2) + 2 x^4 + 4. Hallar una primitiva de^ f^. Probar que^
1 2 ≤^
∫ (^1) 0 f^ ≤^
3
Sea f (x) =
∫ (^) x 0 sent (^2) dt. Hallar l´ım x→ 0
x − sen x f (x). Utilizar el polinomio de Taylor de orden 3 de^ f^ en el origen para hallar un valor aproximado de f ( 12 ). ¿Es menor que 10−^2 el error cometido?
- Sea f (x) = e^2 x−x
2
. a) Aproximar
∫ (^1) 0 f^ usando el desarrollo de Taylor hasta^ x (^4) de f.
b) Sea H(x) =
∫ (^) x+ 1 x f^ ,^ x^ ∈^ [^0 ,^2 ]^. Precisar en qu´e^ x^ alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo. c) Calcular el l´ımite de (^1) x
∫ (^) x 0 f^ (t)dt^ , i) cuando^ x^ →^ 0 , ii) cuando^ x^ →^ ∞^.
- Precisar d´onde f (x) = (^1) x [ 3
1 + 3 x − 1 ] , f ( 0 ) = 1 , es derivable. Hallar im f. Probar que
∫ (^0) − 2 / 3 f^ =^6 −^
3 2 log 3^ −^
π 2
3 y aproximar la integral por Simpson con h = 13. Determinar si converge
∫ (^) ∞ 1 f^. Si^ F(x) =^
∫ (^0) −x f^ , hallar^ F
- Aproximar log 2 =
∫ (^2) 1
dx x utilizando Trapecios (n^ =^ 2 y 4) y Simpson (n^ =^ 2 y 4; o sea,^ m^ =^ 1 y 2).
- Aproximar
∫ (^1) 0 e
−x^2 dx , ∫^1 0
x^4 + 1 dx e
∫ (^2) 1
ex x dx^ utilizando Taylor y Simpson.
- Calcula el ´area de estas regiones: i) Regi´on limitada por el eje x y por la gr´afica de f (x) = sen x , entre x = 0 y x = π. ii) Regi´on limitada por las graficas de f (x) = x + 1 y f (x) = x^2 − 2 x + 1. iii) Regi´on finita encerrada entre el eje x y la gr´afica de f (x) = (x − 1 )^2 (x − 4 ). iv) Regi´on finita encerrada entre la gr´afica de f (x) = x^3 − x y su recta tangente en x = −.
- Hallar el ´area de una de las regiones iguales encerradas entre las gr´aficas de | sen x| y | cos x|.
- Hallar el ´area de la regi´on acotada entre el eje x y la gr´afica de f (x) = |x^3 − 1 | − 2.
- Calcular el ´area de la regi´on interior a la elipse x 2 a^2 +^
y^2 b^2 =^ 1.
- Hallar el ´area de la regi´on acotada comprendida entre y = 0 , la curva x^2 + y^2 = 4 y la tangente a la curva en ( 1 , −
XXIV
