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Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B , una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento de A uno y sólo un elemento de B. La notación f : A → B indica que f es una función de A en B ; mientras que f ( a )= b indica que al elemento a de A se le asocia el elemento b del conjunto
B. También se dice que b es la imagen de a. El elemento a y su imagen b determinan el par ( a , b ). Para cada a , su imagen b debe ser única. Con esto, puede decirse que: “Una función f entre dos conjuntos A y B es un conjunto de pares ordenados ( a , b ), de manera que no hay dos pares con el mismo primer elemento”. Así, por ejemplo, los pares (2, 1) y (2, 3) no pueden pertenecer a la misma función, pues eso indicaría que al número 2 le corresponden dos números, el 1 y el 3, en contra de que la correspondencia debe ser única.
Dominio de f , Dom( f ). Es el conjunto de los elementos de A que intervienen en la relación. Imagen o recorrido de una función f , Im( f ), es el conjunto de valores que toma (^) f ( a )cuando a
pertenece al dominio. Si la función viene dada por el conjunto de pares ( ai , bi ), su dominio está formado por los elementos ai , mientras que su imagen son los elementos bi.
Función real de variable real. Es una función que asocia a cada número real otro número real. Se indica así: f : R → R. Si el par ( x, y ) pertenece a la función f , significa que (^) f ( x )= y. Así pues, el domino lo forman los
números x para los cuales existe el valor de f ( x ). La imagen, el conjunto de valores que toma f ( x ) cuando x pertenece al dominio; es, por tanto, el conjunto de resultados. A x se la llama variable independiente. Cuando se representa se hace en el eje horizontal, el eje de abscisas, el eje OX. La y es la variable dependiente. Se representa en el eje vertical o de ordenadas, el eje OY. Ambas variables son números reales.
- Las funciones reales suelen darse mediante una fórmula o expresión algebraica. Por ejemplo:
f ( x )= x^2 − 3 x ; g ( x )= + 3 − x. También se escribe: y = x^2 − 3 x ; y = 3 − x
Ejemplos:
a) La función f ( x )= x^2 − 3 x asocia al número 2 → f (2) = 2^2
El dominio de esta función es Dom( f ) = R , todos los números reales, pues para cualquier número
real x tiene sentido (puede hacerse) la operación
−3 · 2 = −2; a 3 → 0; a − 1 → 4.
x^2 − 3 x.
El recorrido de f ( x )= x^2 − 3 x es el conjunto de resultados que tome la expresión x^2 − 3 x para
cualquier valor de x. (Más arriba se ha visto que −2, 0 y 4 son del recorrido.)
b) La función g ( x )= + 3 − x asocia al número 2 → g ( 2 )= 3 − 2 = 1 = 1 ; ; a 3 → 0; a − 1 → 2.
En cambio, a 4 no puede asociarle ningún número real, pues (^) g ( 4 )= 3 − 4 = − 1.
El dominio de g ( x )está formado por los números reales menores o iguales que 3:
Dom( g ) = { x ∈ R x ≤ 3} = (−∞, 3].
El recorrido de (^) g ( x )= + 3 − x son los resultados que se obtienen al calcular la raíz cuando x ≤ 3:
son los números reales mayores o iguales que 0. Esto es, Im( g ) = [0, +∞).
Gráfica de una función. Las funciones de variable real suelen representarse en el plano mediante una línea. Los puntos de esa línea son ( x , f ( x )), siendo x del dominio de f.
Ejemplos:
a) Los pares de elementos relacionados por f ( x )= x^2 − 3 x pueden darse con ayuda de una tabla. Así:
Representando en el plano cartesiano esos pares (puntos (0, 0), (1, −2), (2, −2), (3, 0), (−1, 4), (−2, 10)…) y uniéndolos mediante una línea continua se obtiene la gráfica de dicha función.
Funciones definidas a trozos Una función puede venir definida mediante varias expresiones algebraicas. La manera de darlas suele ser:
f x x a
f x x a f x ( ), si
( ), si ( ) 2
1
Se indica así que la función que actúa para los valores de x ≤ a es f 1 ( x ), y para los valores de x ≥ a es f 2 ( x ).
Ejemplo:
La función
3 si 3
3 si 3 ( )
2
x x
x x x f x , asocia a los números menores o
iguales que 3, el valor x^2 − 3 x ; y a los mayores que 3, el resultado de
x − 3. Algunos pares de valores son: Para x ≤ 3: (−2, 10), (−1, 4), (0, 0), (1, −2), (2, −2), (3, 0),…
Para x > 3: (4, 1), (5, 2 ), (6, 3 ), (7, 2),… Su gráfica sería la adjunta.
Observaciones sobre el dominio de definición de las funciones usuales
- El dominio de f es el conjunto: Dom( f ) = { x ∈ R f ( x ) existe} El valor de f ( x )no existe cuando alguna de las operaciones que la definen no puede realizarse. Por
ejemplo: la división por cero, la raíz de un número negativo, el logaritmo de un número menor o igual que cero; ... (en esos casos, al operar con calculadora saldrá el mensaje de ERROR). Otras veces será la naturaleza del problema lo que restringa su dominio; por ejemplo, un tiempo o una longitud no pueden tomar valores negativos.
- La imagen de f es el conjunto: Im( f ) = { y ∈ R y = f (x), x ∈ Dom( f )}
Ejemplos:
- La función f ( x )= x^2 − 4 tiene por dominio todos los números reales; su recorrido son los
números reales mayores o iguales que −4. Dom( f ) = R ; Im( f ) = [−4, +∞).
- La función g ( x )= + x^2 − 4 está definida cuando x^2 − 4 ≥ 0 : para valores de x ≥ 2 o x ≤ −2. Su
recorrido son los números reales no negativos.
x (^0 1 2 3) − 1 − 2 ... f ( x ) (^0) − 2 − 2 0 4 10 …
Ejemplo:
Si f ( x )= x^2 − 2 y g ( x )= cos x , se tendrá:
( f + g )( x )= x^2 − 2 +cos x ; ( f − g )( x )= x^2 − 2 −cos x
( f · g )( x )= ( x^2 − 2 )· ( cos x ); x
x x g
f cos
Las funciones suma, resta y producto están definidas en toda la recta real. La función cociente no
está definida cuando cos x = 0 , que se da cuando + π
π x = k 2
Composición de funciones Cuando sobre la imagen, f ( x ), de una función f , actúa otra función g se tiene la función compuesta
g ( f ( x )). Primero actúa f y después g. El dominio de g será el recorrido de f. Esquemáticamente ese tendría:
De manera análoga puede definirse f ( g ( x )): primero actúa g , después f. El dominio de f será el
recorrido de g. La composición de funciones no es conmutativa; esto es, en general g ( f ( x ))≠ f ( g ( x ))
Ejemplo:
Si f ( x )= 2 x + 3 y g ( x )= x^2 − 4 , la función g ( f ( x ))= ( f ( x )) 2 − 3 = ( 2 x + 3 )^2 − 4. Luego,
g ( f ( x ))= 4 x^2 + 12 x + 5.
Por tanto, para x = –1 o x = 2 se tendrá: g ( f (− 1 ))= 4 ·(− 1 )^2 + 12 ·(− 1 )+ 5 =− 3 y g ( f ( 2 ))= 45.
Si las funciones actúan sucesivamente (primero f y después g ), se tendría el mismo resultado. Para x = –1: –1 → f (–1) = 1 → g (1) = –3. Para x = 2: 2 → f (2) = 7 → g (7) = 49 – 4 = 45.
La función f ( g ( x ))será: f ( g ( x ))= 2 ( g ( x ))+ 3 = 2 ( x^2 − 4 )+ 3 = 2 x^2 − 5.
Es evidente que la composición de funciones no es conmutativa.
Funciones inversas (o recíprocas) Dos funciones f y g son inversas cuando su composición da la identidad. Esto es, cuando se cumple que: g ( f ( x ))= x y f ( g ( x ))= x.
La función inversa de f se designa por f −^1.
Observación. No siempre existe la función inversa de f. Para que exista es necesario que la función f sea inyectiva, que quiere decir que a valores distintos les asocia imágenes distintas. No obstante, algunas veces, como en el caso de las funciones trigonométricas, se sigue hablando de funciones inversas, aunque no lo sean. (En el ejemplo siguiente se aclarará este punto.)
Ejemplos: Algunos pares de funciones inversas son:
a) f ( x )= log x y g ( x )= 10 x ; o f ( x )= ln x y g ( x )= ex.
En ambos casos se cumple que f ( g ( x )) = x. En efecto:
f ( g ( x )) = log 10 x^ = x y g ( f ( x )) = 10 log x^ = x ; f ( g ( x )) = ln ex^ = x y g ( f ( x )) = e log x^ = x
b) Para x ≥ 0, f ( x )= x^2 y g ( x )=+ x. La expresión g ( x )= x no es estrictamente la de una
función, pues a cada número real x ≥ 0, le asocia dos valores. Por ejemplo, 4 = ± 2.
Tampoco la función g ( x )=+ x está definida para x < 0.
La función f ( x )= x^2 no es inyectiva en R , pues a números opuestos, x y − x , les asocia el mismo
valor: f ( x )= x^2 =(− x )^2 = f (− x ). En cambio sí lo es en el intervalo [0, +∞).
Por tales motivos, para afirmar que f ( x )= x^2 y g ( x )=+ x son funciones inversas hay que
restringir el domino de ambas funciones. c) Para 0 ≤ x < π, f ( x )= cos x y g ( x )= arccos x.
La expresión g ( x )= arccos x asigna infinitos valores a x , pero uno solo en el intervalo [0, π).
Observación. No hay que confundir la función inversa con la inversa de una función. La inversa de
una función f es la función ( )
f x
x f
. Así, si f ( x )= x − 3 , 3
x
x f
Imagen inversa de un número
Para cualquier valor y 0 del recorrido de la función f , su imagen inversa, f −^1 ( y 0 ), es el conjunto de
los números x , del dominio, que se transforman mediante f en y 0
f −^1 ( y 0 )= { x ∈ R f ( x )= y 0 }
. Esto es, .
- Para hallar f −^1 ( y 0 )se resuelve la ecuación f ( x )= y 0.
- En particular, f −^1 ( 0 )da los puntos de corte de la función con el eje de abscisas.
Ejemplos:
a) Si (^) f ( x )= x^2 − 4 , la imagen inversa de 0, (^) f −^1 ( 0 ), son las soluciones de x^2 − 4 = 0. Esto es, x =
−2 y x = 2. (^) f −^1 ( 0 )= {−2, 2}.
b) Si (^) f ( x )= cos x , la imagen inversa de 0, (^) f −^1 ( 0 ), son las soluciones de (^) cos x = 0. Esto es,
x =arccos 0 ⇒ + π π x = k 2
π f −^ = x = k , k Z 2
Características de algunas funciones Crecimiento y decrecimiento Una función f es creciente cuando el valor de f (x) aumenta al hacerlo x : la función sube. El concreto: f ( x ) es creciente en un punto x = a ⇔ f ( a − h )≤ f ( a )≤ f ( a + h ).
Una función es creciente en un intervalo cuando lo es en todos sus puntos. Una función f es decreciente cuando el valor de f (x) disminuye cuando aumenta x : la función baja. El concreto: (^) f ( x )es decreciente en un punto x = a ⇔ (^) f ( a − h )≥ f ( a )≥ f ( a + h )
Una función es decreciente en un intervalo cuando lo es en todos sus puntos.
Máximos y mínimos Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando a su izquierda es creciente y a su derecha decreciente. En concreto: (^) f ( x )tiene un máximo en un punto x = a ⇔ (^) f ( a − h )≤ f ( a )≥ f ( a + h )
Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando a su izquierda es decreciente y a su derecha creciente.
Ejemplos: a) La función f ( x )= cos x es par: cumple que cos( − x )=cos x.
Otra función para es f ( x )= x^2 − 4 , pues f ( − x )=(− x )^2 − 4 = x^2 − 4 = f ( x )
b) La función f ( x )= sin x es impar: cumple que sin( − x )=−sin x.
c) Otra función impar es 2
3
x
x f x , pues ( ) ( ) 2 2
3 2
3 f x x
x x
x f x =−
d) La mayoría de las funciones no son ni pares ni impares. Así, la función f ( x )= x^2 − 3 x no es par
ni impar, pues f ( − x )=(− x )^2 − 3 (− x )= x^2 + 3 x ≠± f ( x ).
Funciones periódicas Una función es periódica cuando se repite a intervalos constantes. La amplitud del menor de esos intervalos es el periodo. En concreto: f es periódica de periodo k cuando f ( x + k )= f ( x ), para todo x de su dominio.
(Las funciones seno y coseno, dibujadas más arriba, también son periódicas.)
Tendencias asintóticas Cuando la gráfica de una función se acerca cada vez a una recta se dice que la función tiene a esa recta por asíntota, o que tiende asintóticamente a esa recta. Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales y oblicuas.
En los puntos donde exista una asíntota vertical la función no esta definida: siempre se da una ruptura, una discontinuidad. La existencia de una asíntota (horizontal u oblicua), proporciona información muy precisa del comportamiento de la función a largo plazo de la función.
Funciones usuales (I): polinómicas, racionales y radicales
Funciones polinómicas
Vienen dadas por una expresión de la forma f ( x )= an xn +...+ a 2 x^2 + a 1 x + a 0 , con n un número
natural. El dominio de definición de estas funciones es todo R : están definidas siempre. El grado de una función polinómica es el del polinomio correspondiente. La función polinómica de de grado n corta al eje OX en un máximo de n puntos. Las abscisas de los puntos de corte vienen dadas por las soluciones de la ecuación
a (^) n xn + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 = 0.
Ejemplo:
La función f ( x )= x^3 − 3 x − 2 , corta al eje OX en las soluciones de la
ecuación x^3 − 3 x − 2 = 0. Estas soluciones son x = −1, doble, y x = 2. Como
puede observarse, f ( x )= x^3 − 3 x − 2 =( x + 1 )^2 ( x − 2 ).
El punto de corte con el eje OY se obtiene dando a x el valor 0. La gráfica de esta función es la adjunta.
- Las funciones polinómicas más frecuentes son: Función constante. Es la función polinómica de grado cero: f ( x )= a 0 o
y = a 0.
Su gráfica es una recta horizontal.
Función lineal (afín). Es la función polinómica de grado uno: f ( x )= a 1 x + a 0 o y = mx + n.
Su gráfica es una recta de pendiente m y ordenada en el origen n : corta al eje OY en el punto (0, n ).
Función de proporcionalidad directa. Es un caso particular de la anterior. Su expresión es f ( x )= mx o y = mx. Su gráfica es la de una recta que pasa por
el origen. El coeficiente m indica la razón de proporcionalidad.
- Como puede observarse, y = mx ⇔ m x
y = , que indica que las variables
x e y son directamente proporcionales, con constante de proporcionalidad k. La regla de tres simple directa se ajusta a esta relación.
Función cuadrática. Es la función polinómica de grado dos,
1 0
2 f ( x )= a 2 x + ax + a o y = ax + bx + c
Su gráfica es la de una parábola. Si a > 0, es convexa (∪), su vértice está en el mínimo; si a < 0, es cóncava (∩), su vértice está es el máximo.
- La gráfica de la función cuadrática corta al eje OX en dos puntos, en uno o en ninguno, dependiendo del número de soluciones de la ecuación
ax^2 + bx + c = 0. Las abscisas de los puntos de corte son las soluciones de esa ecuación.
Funciones usuales (II): exponenciales y logarítmicas
La función exponencial.
Es de la forma f ( x )= ax ⇔ y = ax , a > 0 y a ≠ 1.
Características fundamentales:
- Su domino es R.
- Siempre toma valores positivos. Esto es: f ( x )= ax > 0 ,
para todo x.
- Si la base a > 1, la función siempre es creciente.
- Si la base 0 < a < 1, la función siempre es decreciente.
- Corta al eje OY en y = 1, pues a^0 = 1 , para cualquier valor de a.
- El eje OX , la recta y = 0, es una asíntota horizontal de la función; hacia −∞ si a > 1, y hacia +∞ si 0 < a < 1.
Observación: La función f ( x )= a − x es idéntica a (^) x a
f x
( )= , y la misma que
x
a
f x
( )= ^1. Así,
por ejemplo: x
x f x = −
( ). En consecuencia,^ f ( x )= a − x con^ a^ > 1 es decreciente siempre.
- Dos casos comunes de la función exponencial son f ( x )= 10 x y f ( x )= ex.
También son frecuentes f ( x )= 10 − x y f ( x )= e − x. Estas últimas funciones pueden escribirse como
f x 10 x
( )= y (^) x e
f x
Estas características permiten dibujar la gráfica de estas funciones, en casos elementales, con mucha facilidad.
Ejemplos:
a) Para trazar y = 2 x basta con conocer unos cuantos puntos: (0, 1), (1, 2), (2, 4) y (−1, 1/2) sería
suficiente. Como se sabe que es creciente y que hacia −∞ se pega al eje OX por arriba, su gráfica es la de abajo.
b) Igualmente, para dibujar (^) y = e − x basta con dar algunos valores: (0, 1), (−1, e ) ≡ (−1, 2,72); (−2,
e^2 ) ≡ (−2, 7,39); (1, 1/ e ) ≡ (1, 0,37). Como se sabe que es decreciente y que hacia +∞ se pega al eje OX por arriba, su gráfica es la de arriba.
- La función general f ( x )= ag ( x )está definida siempre que lo esté g ( x ).
Estas funciones están ligadas a problemas de capitalización y de descuento, de crecimiento malthusiano y de descomposición de sustancias radiactivas, entre otros.
Ejemplos:
a) f ( x )= 23 − x está definida para todo número real.
b) f x = 3 − x
1 ( ) 2 está definida para todo número real distinto de 3: Dom = R − {3}.
c) La función C ( t )= C 0 ( 1 + r ) t da el capital acumulado al cabo de t años, a una tasa de interés anual
r (en tanto por uno), para un capital inicial C 0
C ( 8 )= 20000 ( 1 + 0 , 06 )^8
. Así, un capital de 20000 €, al 6% anual, se convierte
al cabo de 8 años en = 31876,96 €.
La función logarítmica La más sencilla es f ( x )= log ax ⇔ y = log ax ( a > 0; a ≠ 1).
Para las bases usuales, a = 10 y a = e : f ( x )= log x y f ( x )= ln x.
Características fundamentales:
- Su dominio es R+
- Toma valores que van desde −∞ a +∞: Recorrido = (−∞, +∞).
, los reales positivos: x > 0.
- El eje OY , la recta x = 0, es asíntota vertical de su curva.
- Si a > 1 (que es lo usual), la función es creciente. (Si 0 < a < 1, la función será decreciente.)
- La función general f ( x )= log ag ( x )está definida siempre que g ( x ) > 0.
Ejemplos:
a) f ( x )= log( x + 3 )está definida siempre que x + 3 > 0 ; esto es, cuando x > −2. Por tanto, su
dominio es el intervalo (−3, +∞).
b) f ( x )= log( x 2 + 3 )está definida siempre, pues x^2 + 3 > 0 para todo x.
c) 3
( ) log 2 −
x
f x está definida siempre que 0 3
x^2 − > ⇒^ x^ ∈^ (−^ ∞,−^3 )^ ∪(^3 ,+∞).
Observación: Como f ( x )= log ax ⇔ x = af (^ x ), se deduce que las funciones exponencial y
logarítmica son inversas; esto es, si aplicamos sucesivamente el logaritmo y la exponencial en la
misma base, volvemos al punto de partida. O sea: log (^) a a x = x y a log a^^ x = x.
Esto permite utilizar los logaritmos para resolver ecuaciones de tipo exponencial.
Ejemplos:
a) Para determinar x en la siguiente ecuación, 5 = 3 x , hay que aplicar logaritmos como sigue:
log 5 = log ( 3 x ) ⇒ log 5 = x log 3 ⇒ 1 , 46
log 3
log 5 x = ≈.
b) Con esto, podría plantearse el problema de “¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se duplique un capital a una tasa de interés del 3%?”
Es obvio que habría que resolver la ecuación 2 C 0 = C 0 ( 1 + 0 , 03 ) t ⇔ 2 = ( 1 + 0 , 03 ) t ⇒ t = 23,
años.
- Es periódica de periodo p = 2π. Esto es: cos x = cos( x + 2 π), para cualquier valor de x.
- Es una función simétrica respecto del eje OY. Esto es, f ( − x )=cos(− x )=cos x = f ( x ).
Otras funciones relacionadas con la función coseno: La función f ( x )= cos kx contrae o dilata la
función cos x. Si k > 1, se contrae; si k < 1, se dilata.
Ejemplo: Para k = 3, la función f ( x )= cos 3 x es la que se
representa en la figura adjunta. Va tres veces más rápida
que f ( x )= cos x. Su periodo es 3
p =.
La función tangente
La función f ( x )= tag x se define como: x
x f x x cos
sen ( )= tag =.
Características fundamentales:
- Su dominio de definición es R −
π k 2
, pues
para + π
π x = ± k 2
se anula el denominador:
cos (^) =
π ± k.
- Toma valores que varían entre −∞ y +∞: su recorrido es todo R.
- Es periódica de periodo p = π. Esto es: tag x = tag ( x +π), para cualquier valor de su
dominio.
- Tiene por asíntotas verticales las rectas
π x = ± k 2
Otras funciones relacionadas con la función tangente: La función f ( x )= tag kx contrae o dilata la función cos x. Si k > 1, se contrae; si k < 1, se dilata.
Ejemplo:
Para k = 1/2, la función 2
( ) tag x f x = es la que se representa en la figura anterior. Va la mitad de
rápida que f ( x )= tag x : su periodo es p = 2π.
Ecuaciones e inecuaciones ligadas a distintas funciones Si la expresión y = f ( x )designa una función, la expresión y (^) 0 = f ( x )es una ecuación, siendo y 0
una constante. La solución de esa ecuación coincide con la imagen inversa del valor y 0
f −^1 ( y 0 )= { x ∈ R f ( x )= y 0 }
del recorrido
de la función f ; esto es : los
valores de x cuya imagen vale y 0. Si la ecuación y (^) 0 = f ( x )no
tiene solución significará que y 0 no es del recorrido de f.
Así, en la figura adjunta, dada la función y = f ( x )se pueden
plantear las ecuaciones: f ( x )= y 0 y f ( x )= y 1.
Las soluciones de la primera son x 1 , x 2 , x 3 y x 4 y = f ( x )
, que son las abscisas de los puntos de corte de la gráfica de con
la recta horizontal y = y 0.
La ecuación f ( x )= y 1 no tiene soluciones, pues la gráfica de
la función no se corta con la recta horizontal y = y 1.
Las soluciones de la ecuación f ( x )= 0 dan los puntos de corte de la función con ele je de abscisas. Nota: La manera usual de definir lo que es solución de una ecuación es: “solución de una ecuación es cada uno de los valores de la variable x que verifica la igualdad.
- Para cada tipo de función se obtiene una ecuación asociada, que reciben los nombres de polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas…
- Cada tipo de ecuación tiene unos métodos de resolución apropiados, que obviamente conviene manejar con soltura. Esos métodos se estudian en los cursos de Secundaria y Bachillerato. Un resumen de esos métodos puede encontrarse en: http://www.matematicasjmmm.com/desde
Inecuaciones Si lo que interesa es conocer cuando una función toma valores mayores o menores a un número se tiene una inecuación. Las inecuaciones son expresiones como las siguientes: f ( x )> y 0 f ( x )< y 0 f ( x )≤ y 0 f ( x )≥ y 0
Las soluciones de una inecuación son cada uno de los valores de la variable x que cumplen la desigualdad. Una inecuación puede tener un conjunto infinito de soluciones, que suele darse en forma de intervalo.
Ejemplo: Si y = f ( x )designa una función, las soluciones de
f ( x )> y 0 serán los valores de x que tengan un valor de
la imagen mayor que y 0. Si la función fuese
f ( x )= x^2 + 2 x , las soluciones de la inecuación x^2 + 2 x > 3 son los valores de x tales que f ( x )> 3 , los
que tienen una imagen por encima de la recta y = 3.
Estos valores, como puede verse observando la figura adjunta, son x ∈ ( − ∞, –3) ∪ (1, + ∞).
- Para resolver inecuaciones es imprescindible conocer el manejo de las desigualdades. Una buena colección de inecuaciones puede encontrarse en: http://www.matematicasjmmm.com/desde
