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Sistema de

inecuaciones lineales

con dos variables

MATEMÁTICA BÁSICA

Módulo 7

2023 – 1

Videoconferencia 08

El sueldo mínimo básico (SMB) de un trabajador del sector privado es a S/

El grado de alcohol (GA) máximo se establece en 0, gramos de alcohol por litro de sangre.

El grado alcohólico máximo permitido a los

conductores y peatones que sean intervenidos por la

autoridad se establece en 0,50 gramos de alcohol por

litro de sangre (D. S. N.° 016-2009-MTC, art. 307)

MOTIVACIÓN

Nivel de alcohol permitido en la sangre en el Perú

GA ≤ 0.

Sueldo mínimo en Perú 2022

El Gobierno promulgó el Decreto Supremo 03-2022-

TR que aumenta el salario mínimo vital en S/ 95. De

esta manera, el sueldo básico para los trabajadores

del sector privado pasó de S/ 930 a S/ 1025

SMB ≥ 1025

¿Qué entiendes por inecuación lineal con

dos variables?

¿Cuál es la diferencia entre ecuación

e inecuación?

¿Qué entiendes por sistema de

inecuaciones lineales con dos variables?

Inecuación 4𝑥𝑥^ + 5^ ≤^29 desigualdad 𝑥𝑥 ≤^6

Ecuación 4𝑥𝑥^ + 5 = 29^ igualdad 𝑥𝑥^ = 6

�

SABERES PREVIOS

https://quizizz.com/admin/quiz/63344d574cd84c001d4fdb8a/saberes-previossil2vmodulo-7?searchLocale=

Al finalizar la sesión, determinarás la región

factible de un sistema de inecuaciones lineales

con dos variables, graficándola en el plano

cartesiano, siguiendo un proceso lógico y

fundamentado.

Aprendizaje esperado

LOGRO

1. Inecuación lineal con dos variables (IL2V)

Es aquella desigualdad que puede escribirse en cualesquiera de las siguientes formas:

𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝒚𝒚 + 𝒄𝒄 > 𝟎𝟎 ,

𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝒚𝒚 + 𝒄𝒄 < 𝟎𝟎, 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝒚𝒚 + 𝒄𝒄 ≤ 𝟎𝟎

𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝒚𝒚 + 𝒄𝒄 ≥ 𝟎𝟎

Donde: (^) 𝒂𝒂, 𝒃𝒃 y 𝒄𝒄 son constantes

𝒂𝒂 ≠ 𝟎𝟎 ∨ 𝒃𝒃 ≠ 𝟎𝟎

𝒙𝒙 y 𝒚𝒚 son variables

2. Región factible de una IL2V

Gráficamente, el conjunto de todos los puntos 𝒙𝒙; 𝒚𝒚 del plano que satisfacen cualesquiera de las

desigualdades anteriores se le conoce como región factible.

Ejemplo 2. Trazar la gráfica de la desigualdad 𝑦𝑦 ≤ 3

Solución:

Ejemplo 3: Determina la región factible de y ≤ 2 x − 1

Solución:

y ≤ 2 x − 1

y = 2 x − 1

Note que la línea (=) es parte de la solución, por tanto es una línea sólida

Cualquier punto del semiplano inferior satisface la desigualdad por lo tanto se sombrea.

x

1°^ y

3° Punto de prueba (0; 0)

(0) − 2(0) ≤ − 1 No cumple

4° Se sombrea el semiplano

contrario al que contiene el

punto de prueba.

Región

factible

3. Sistema de inecuaciones lineales con dos variables (SIL2V)

Es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales (de primer grado) con dos variables.

�

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 9 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 < 1

4 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 ≤ 26 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ≤ 3 𝑥𝑥 ≥ 5 𝑦𝑦 ≥ 2

�

3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 ≥ 4 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 ≤ 4 𝑥𝑥 > 2

El conjunto solución o región factible de un sistema de inecuaciones lineales con dos variables, gráficamente se obtiene por la intersección de todas las regiones factibles del sistema.

Región

factible del

sistema

Ejemplo 5: Determina la región factible del sistema de inecuaciones (^) � 𝒙𝒙^ −^ 𝒚𝒚^ <^ 𝟑𝟑 3 𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦 ≥ 34

Hallamos la región factible de 𝒙𝒙^ −^ 𝒚𝒚^ <^ 𝟑𝟑

3° Punto de prueba (0; 0)

𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 < 3

(0) − (0) < 3

Sí cumple

4°

Se sombrea el semiplano que contiene el punto de prueba.

Solución:

𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 ≥ 𝟑𝟑𝟑𝟑 Región factible del sistema

Se representa gráficamente como la intersección de las

dos regiones obtenidas.

Se interpreta como el conjunto de todos los puntos (𝒙𝒙;𝒚𝒚)

del plano, cuyas coordenadas satisfacen el sistema de

inecuaciones.

Por último, determinaremos la región factible del sistema de inecuaciones

x y

x y

Graficamos 4x + 3y = x=3 entonces y = x=0 entonces y= Punto de prueba (0,0) y evaluamos la desigualdad

Entonces sombreamos el semiplano al otro lado de la recta

0 ≥ 12 Falso

Graficamos x – 2y = x=0 entonces y = x=2 entonces y= Escogemos el punto (1,0) dado que la línea frontera pasa por el origen y evaluamos la desigualdad.

Entonces sombreamos el semiplano que no contiene al punto de prueba.

1 ≤ 0 Falso

4 x + 3 y ≥ 12

x − 2 y ≤ 0

Al intersectar las soluciones graficas se obtiene la región factible del sistema

4 x + 3 y ≥ 12

Ejemplo 6: Determina la región factible del sistema de inecuaciones

Solución:

b. Gráfica de región factible

Región factible del sistema

La región factible es la intersección de las soluciones de cada inecuación.

En una granja hay un total de 9 000 conejos. La dieta mensual mínima que debe consumir cada conejo es de 48 unidades de hidratos de carbono y 60 unidades de proteínas. En el mercado hay dos productos ( A y B ) que aportan estas necesidades de consumo. Cada envase de A contiene 2 unidades de hidratos de carbono y 4 unidades de proteínas y cada envase de B contiene 3 unidades de hidratos de carbono y 3 unidades de proteínas. Cada envase de A cuesta 3 soles y cada envase de B cuesta 2,5 soles. a) Plantear el Sistema de ecuaciones que indica el problema. b) Grafica la región factible del sistema.

A B

4. Problemas de contexto

PROBLEMA 2