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GENERALIDADES
ECUACIÓN
E. TANGENTEE. NORMAL
ASÍNTOTAS
PARTICULARIDADES
CIRCUNFERENCIA
Centro: C(a, b)r ≡d
CP
: radio (^
)^
(^
2
b
y
a
x
r^
=^ A=- 2a
B= -2b
C= a
2
+ b
2 - r
2
(x-a)
2 +(y-b)
2 =r
2
(^2) x
2 +Ax + By + C=
Si C(0, 0):
2 x
+ y
2
= r
2
E. Tangente
(^
0 0
0
x x b y
a x
y y^
Otra forma:
(^
0 0
0
x x x y
y y^
Potencia: Pot(Q)= (x-a)
2 +(y-b)
2 - r
2
Si d
QO
= r
Pot(Q)= d
2 – r
2
Eje radical:
(A-A’)x + (B-B’)y +
(C-C’) = 0
Vértices: A, A’, B, B’Focos: F, F’d + d’ = 2aEje mayor: 2aEje menor: 2bFF’= 2c; OF=OF’=ce=
c a
<1; a
2
= b
2 + c
2
e: excentricidad
PF + PF’ = 2a
y b
x a
2 2
(^22)
E. Tangente
(^
0 2
0 2
0
x x y a
x b
y y^
−
−
− Otra forma:
y·y b
x·x a
(^02)
(^02)
E. Normal
(^
0 2
0 2 0
x x x b
y a y y^
−
= −
Coordenadas: O(0, 0)A(a, 0); A’(-a, 0)B(0, b); B’(0, -b)F(c, 0); F’(-c, 0)
O(0, 0)A(0, a); A’(0, -a)B(b, 0); B’(-b, 0)F(0, c); F’(0, -c)
y a
x b
2 2
2 2
ELIPSE
O(0, 0); O’(h,k)A(h+a, k); A’(h-a, k)B(h, k+b); B’(h, k-b)F(h+c, k); F’(h-c, k)
(^
)^
(^
)^
b k y
a
h x
2
2
2
2
O(0, 0); O’(h,k)A(h, k+a); A’(h, k-a)B(h+b, k); B’(h-b, k)F(h, k+c); F’(h, k-c)
(^
)^
(^
)^
a k y
b
h x
2
2
2
2
Vértices: A, A’, B, B’Focos: F, F’Eje real AA’= 2a Eje imaginario:BB’= 2b FF’= 2c; OF=OF’=ce=
c a
>1; c
2
= a
2
+ b
2
e: excentricidadd + d’ = 2a
PF - PF’ = 2a
y b
x a
(^22)
2 2
E. Tangente
(^
0 2
0 2 0
x x y a
x b y y^
−
= − Otra forma:
y·y b
x·x a
(^02)
(^02)
E. Normal
(^
0 2
0 2
0
x x x b
y a
y y^
−
−
−
x b a
y^
Coordenadas: O(0, 0)A(a, 0); A’(-a, 0)B(0, b); B’(0, -b)F(c, 0); F’(-c, 0)
HIPÉRBOLA
O(0, 0)A(0, a); A’(0, -a)B(b, 0); B’(-b, 0)F(0, c); F’(0, -c)
x b
y a
(^22)
2 2
F: foco (
p 2
V: vértice (0, 0)Parámetro: p = FD’D’(-
p 2
FV= VD’ =
p 2
Eje y = 0DD’: directriz.Ecuación directriz:
p^2
x^
PM= PFy
2
= 2px
E. tangente:
(^
0
0
x x p y
y y^
Otra forma:
(^
0
x x p y y^
Si p<0: F: foco (-
p 2
D’(
p 2
Ecuación directriz:
p^2
x^
V: vértice (0, 0) Ecuación directriz
p 2
y^
F: foco (0,
p 2
D’(0, -
p 2
Eje: x = 0
2 x
= 2py
Si p<0: F: foco (0, -
p 2
D’(0,
p 2
Ecuación directriz:
p 2 y^
PARÁBOLA
F: foco (m+
p 2 , n)
V:vértice ≡O’(m, n)Parámetro: p = FD’D’(m-
p 2 , n)
FV= VD’ =
p 2
Ecuación directriz:
p 2 m x^
Eje: y= n
(y – n)
2 = 2p(x – m)
F: foco (m, n +
p 2
V:vértice ≡O’(m, n)Parámetro: p = FD’D’(m, n -
p 2
FV= VD’ =
p 2
Ecuación directriz:
p 2 n y^
Eje: y= n
(x – m)
2
= 2p(y- n)
Otra forma:
y= ax
2
+ bx + c
Siendo:
m^ p
b;
1 p 2
a^
p 2
m
n
c
2
Ecuación general de las cónicas
La ecuación general de las cónicas es:
Ax
2
+ By
2
+ Cx + Dy + E = 0
Según sean los valores de
A y B
, se pueden identificar las distintas cónicas:
Si A = B ≠ 0 ……………………………………
La cónica es una
CIRCUNFERENCIA
Si A ≠ B ≠ 0:
• •••^
Signo de A = Signo de B …………………
ELIPSE
• •••^
Signo de A ≠ Signo de B …………………
HIPÉRBOLA
Si A = 0 ó B = 0
PARÁBOLA
Si A = B = 0 …………………………………….
RECTA
Estudio de la excentricidad
Se define la excentricidad de una cónica como el cociente:
c a
e^
=^
. Los distintos valores de e nos sirven también para identificar las cónicas:
Si e = 0 → c = 0; por tanto los focos coinciden y a
2
± b
2
= 0 → a = b …………
CIRCUNFERENCIA.
Si e < 1 …………………………………………………………………………
ELIPSE.
Si e = 1 → c = a → a
2
= b
2
+ c
2
→ b = 0 ……………………………………...
RECTA.
e > 1 …………………………………………………………………………….
HIPÉRBOLA.
