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_________________________________________________________________________________Divisibilidad_
DIVISIBILIDAD
Divisibilidad : cuando al dividir dos números la división da exacta decimos que están emparentados por la relación de divisibilidad.
Múltiplo
Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. Ej. : 24 es múltiplo de 8, ya que lo contiene exactamente tres veces. Se estribe así:
24 =
0 8 Todo número es múltiplo de sí mismo. El cero es múltiplo de todos los números. El conjunto de los múltiplos de un número es infinito.
Ej.:
0
Divisor
Un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto de veces, es decir, cuando la división entre ambos es exacta. Ej.: 8 es divisor de 24 porque está contenido tres veces. El uno es divisor de todos los números.
Para expresar que a es divisor de b se escribe así: ab
Todo número, excepto el uno, tiene como mínimo dos divisores, él mismo y la unidad. El conjunto de los divisores de un número es un conjunto finito.
Ej.: D(8) = 1 , 2 , 4 , 8
Criterios de divisibilidad
Criterio del 2: un número es divisible por 2 cuando acaba en cero o en cifra par. Ej. : 18, 130, etc. Criterio del 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de tres. Ej. : 126, 39, etc. Criterio del 4: un número es divisible por 4 cuando acaba en dos ceros o sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4. Ej. : 100, 328, etc. Criterio del 5: un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 ó en 5. Ej. : 65, 120, etc. Criterio del 6: un número es divisible por 6 cuando lo es por 2 y por 3 a la vez. Ej. : 18, 222, etc. Criterio del 8: un número es divisible por 8 cuando acaba en tres ceros o el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8. Ej. : 1000, 1632, 72, etc. Criterio del 9: un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ej. : 27, 189, etc.
Criterio del 10: un número es divisible por 10 cuando acaba en 0. También podemos decir que es múltiplo de 10 cuando lo es por 2 y por 5 a la vez. Ej. : 20, 300, etc. Criterio del 11: un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras que ocupan lugar par menos la suma de las cifras que ocupan lugar impar es múltiplo de once. Ej. : 746086 (7+6+8) + (4+0+6) = 11 También podemos asegurar que un número es múltiplo de 11 cuando al separar el número en grupos de dos cifras, empezando por la derecha, y sumando esos grupos se obtiene un múltiplo de once Ej. : 746086 74+60+86 = 220...... 2+20 = 22
Número primo
Un número es primo cuando sólo tiene dos divisores, él mismo y la unidad. Ej. : 7, 31, etc.
Regla para reconocer si un número es primo
Podemos asegurar que un número es primo cuando al dividirlo por la serie ordenada de números primos llegamos a un cociente menor que el divisor sin haber encontrado división exacta.
Números primos entre sí.
Dos o más números son primos entre sí cuando sólo tienen un divisor común, el uno. Dos números consecutivos son siempre primos entre sí.
Número compuesto
Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Ej. : 12, 35, etc.
Número de divisores
1º Se descompone el número en factores primos y se escribe como producto de éstos. 2º Se suma una unidad a cada uno de los exponentes de los factores de la descomposición factorial y se multiplican los resultados. El número obtenido nos dice cuántos divisores tiene ese número
Cálculo de los divisores de un número
1º Se descompone el número en factores primos y se escribe como producto de éstos.
2º Se escriben todas las potencias del primer factor de la descomposición factorial hasta llegar a ella, se coloca una raya debajo y se calculan sus valores. Así obtenemos la primera fila de divisores. 3º Se multiplica la primera fila obtenida de divisores por todas las potencias del segundo factor de la descomposición factorial, excepto por la potencia elevada a cero.
4º Se multiplican las filas obtenidas por las potencias del tercer factor de la descomposición factorial, excepto por la potencia elevada a cero, y así sucesivamente.
ACTIVIDADES
1. - Si al dividir un número por otro la división da exacta decimos que ambos números guardan una relación de divisibilidad. ¿Qué parejas cumplen dicha relación?
a) 27 y 14 b) 36 y 9 c) 8 y 32 d) 121 y 11
2. -¿ Por qué números son divisibles los siguientes?
a) 18 b) 48 c) 32
d) 810 e) 420 f) 450
g) 60 h) 84 i) 252
3. -¿Cómo se leen las expresiones?
a) 824 b) 540 c) 8 =
0 2 d) 10 =
0 5
4.-Escribe tres múltiplos de cada número que no sean consecutivos:
a) 8 b) 11 c) 3 d) 17
5. - Escribe dos divisores de cada número:
a) 26 b)13 c)12 d)
6. - Cuántos y cuáles son los divisores de:
a) 12 b) 40 c) 72
d) 100 e) 180 f) 220
g) 225 h) 240 i) 252
j) 270 k) 300 l) 450
ll) 900 m) 600 n) 108
**7. - Escribe la serie de números primos hasta llegar a 100.
- Escribe los números compuestos que hay entre 60 y 80.**
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f) 12 y 16 es 48 g) 3 y 5 es 15 h) 9 y 6 es 18 i) 6 y 10 es 30 j) 4 y 20 es 20. k) 15, 5 y 6 l) 6, 9 y 18 ll) 12, 18 y 4 m) 6, 9 y 12 n) 12, 9 y 18.
13. - Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números (escribe previamente el intervalo al que
- a) 127 b) 221 c) 211 d) 199 e) 233 f) 393 g) 317 h) 101 i) 9. - Prueba si son primos o compuestos los números:
- a) 8 y 12 es 4 b) 6 y 18 es 6 c) 24 y 18 es 6 d) 9 y 12 es 3 e) 10 y 15 es 10. - Demuestra que el m.c.d. de:
- f) 12 y 18 es 6 g) 30 y 20 es 5 h) 9 y 18 es 9 i) 28 y 16 es 4 j) 16 y 24 es
- a) 6 y 4 es 12 b) 9 y 8 es 72 c) 10 y 6 es 30 d) 8 y 12 es 24 e) 10 y 15 es 11.- Demuestra que el m.c.m. de:
- a) 2, 6 y 4 b) 6, 8 y 4 c) 9, 3 y 6 d) 2, 10 y 5 e) 6, 4 y 12.- Calcula mentalmente el m.c.d. y el m.c.m. de:
- f) 5, 4 y 10 g) 8, 4 y 12 h) 8, 9 y 6 i) 6, 8 y 12 j) 10, 6 y
- a) 504 y pertenecen):
- b) 360 y
- c) 15, 24 y
- d) 36, 30 y
- e) 27, 18 y
- f) 60, 71 y
- g) 70, 130 y
- h) 45, 252 y
- i) 72, 135 y
- j) 300, 72 y
- k) 39, 1521 y
- l) 506, 750 y
- m) 85, 115 y
- n) 286, 44 y
- o) 132, 484 y
- p) 204, 136 y
- q) 120, 330 y
- r) 250, 450 y
- s) 676, 78 y
- t) 324, 1080 y
- u) 148, 1850 y
- v) 525, 1014 y
- w) 504, 5292 y
- x) 1404, 2340 y
- y) 3024, 4752 y
