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M´etodos Operativos y Estad´ısticos

de Gesti´on

C´esar Beltr´an Royo

22 de septiembre de 2016

• URJC-DEIO C. Beltr´an
• 1. Introducci´on
• 1.1. La empresa y sus fines
• 1.2. Organizaci´on y estructura de la empresa
• 1.3. El papel de la investigaci´on de operaciones en la organizaci´on de empresas.
• 2. Programaci´on lineal
• 2.1. Introducci´on
• 2.2. Modelos de la programaci´on lineal
• 2.2.1. Modelos de asignaci´on de recursos
• 2.2.2. Modelos de mezclas
• 2.2.3. Modelos de planificaci´on de operaciones
• 2.2.4. Modelos de gesti´on de personal
• 2.2.5. Modelos de planificaci´on multiperiodo
• 2.3. Introducci´on a las t´ecnicas de resoluci´on de un PL
• 2.3.1. Resoluci´on geom´etrica de un PL
• 2.3.2. Problema PL en formato estandar
• 2.4. Postoptimizaci´on
• 2.5. Actividades frente a recursos
• 2.5.1. Sensibilidad cualitativa
• 2.5.2. Cambios en b (‘Right-Hand Side’ RHS)
• 2.5.3. Cambios en A (‘Left-Hand Side’ LHS)
• 2.5.4. A˜nadir o eliminar restricciones
• 2.5.5. A˜nadir o eliminar variables
• 2.6. Sensibilidad cuantitativa: El problema dual
• 2.6.1. Definici´on de los problemas primal y dual ´Indice general
• 2.6.2. Variables duales
• 2.6.3. Signo de una variable dual
• 2.6.4. Variables duales como precios sombra
• 2.7. Formulaci´on del problema dual
• 2.7.1. Formulaci´on del problema dual
• 2.7.2. Dual del dual de un PL
• 2.8. Relaciones primal-dual
• 2.8.1. Teoremas de dualidad
• 2.8.2. Casos factible, infactible y no acotado
• 3. Programaci´on lineal entera
• 3.1. Modelos de la programaci´on lineal entera
• 3.2. Problema de la mochila
• 3.3. Modelos de asignaci´on del presupuesto
• 3.4. Modelos de la optimizaci´on discreta
• 3.5. Dise˜no de redes
• 3.6. Localizaci´on de plantas
• 3.7. Problema del viajante
• 3.8. Problema de asignaci´on
• 3.9. Problema de emparejamiento
• 4. Teor´ıa de la decisi´on: Decisiones multiobjetivo
• 4.1. Introducci´on al an´alisis de decisiones
• 4.2. Puntos eficientes y frontera eficiente
• 4.3. Optimizaci´on multiobjetivo por suma ponderada de objetivos
• 4.4. Optimizaci´on multiobjetivo por metas
• 5. Gesti´on de proyectos
• 5.1. M´etodo del camino cr´ıtico
• 5.2. Gesti´on de proyectos mediante programaci´on lineal
• 5.2.1. Gesti´on de los tiempos de un proyecto mediante programaci´on lineal
• 5.3. Diagrama de Gantt
• 5.4. Contexto aleatorio ´Indice general
• 6. Control estad´ıstico de la calidad
• 6.1. Introducci´on
• 6.2. Gr´aficos de control X y R
• 6.3. Capacidad de un proceso
• 6.3.1. Capacidad de un proceso con la media centrada
• 6.3.2. Capacidad de un proceso con la media no centrada
• 6.4. Metodolog´ıa Seis Sigma
• 7. Dise ˜no de experimentos en ingenier´ıa
• 7.1. Dise˜no de experimentos y control de la calidad
• 7.2. Introducci´on a los experimentos factoriales
• 7.3. Experimentos factoriales y regresi´on
• 7.3.1. Modelo de regresi´on (no lineal)
• 7.3.2. Inferencia sobre el modelo de regresi´on
• 8. Ap´endice

Cap´ıtulo 1

Introducci´on

Este cap´ıtulo est´a estructurado en la siguientes secciones:

La empresa y sus fines.

Organizaci´on y estructura de la empresa.

El papel de la investigaci´on de operaciones en la organizaci´on de empresas.

1.1. La empresa y sus fines

Definici´on: Una empresa es una organizaci´on o entidad que ha sido creada por personas, en las que se unen una serie de factores o recursos, materiales, t´ecnicos, financieros y humanos, para realizar actividades y que persigue unos fines que suelen contemplar el af´an de lucro.

• Existen distintas definiciones desde los puntos de vista legal, financiero, sociol´ogico, co- mercial, sus objetivos o de sus actividades
• Por un lado existen gran cantidad de formas legales para una empresa, que van desde las grandes multinacionales (por ejemplo Movistar) hasta las microempresas donde el propietario es el ´unico trabajador.

Objetivo: La mayor´ıa de las empresas tienen como objetivo la obtenci´on de beneficio econ´omi- co, pero existen organizaciones, como las empresas p´ublicas, cuyo objetivo es prestar un servi- cio p´ublico y donde el beneficio es algo secundario, por ejemplo la corporaci´on RTVE, Renfe, Sociedad Estatal de Correos y Telecomunicaciones, etc.

Actividades: Comerciales, financieras, industriales o de servicios, pudiendo mezclar varios tipos de actividades en muchas ocasiones.

Grupos de inter´es (stakeholders): Se refiere a los grupos que tienen inter´es en una empresa, dado que pueden afectar o ser afectados por las actividades de la empresa. Dentro de los grupos de inter´es podemos encontrar:

• Propietarios: pueden tener varios objetivos como la rentabilidad de la empresa, su expan- si´on, la sostenibilidad de la empresa a largo plazo, etc.

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1.2. Organizaci´on y estructura de la empresa

• Inversores: su objetivo es rentabilizar su inversi´on.
• Trabajadores: su objetivo es el mantenimiento de su puesto de trabajo y el cobro de sus remuneraciones.
• Acreedores: su objetivo es el cobro de las cantidades adeudadas por la empresa (dentro de estos podemos incluir a los Bancos).´
• Administraci´on: su objetivo es el cobro de impuestos y el mantenimiento de la empresa (por su generaci´on de riqueza econ´omica, puestos de trabajo y el servicio prestado a la sociedad).
• Directivos: su objetivo es el crecimiento de la empresa y su beneficio (gran parte de sus ingresos dependen de los bonus que obtienen por ello).
• Clientes: su objetivo es el mantenimiento y mejora de los productos que compra a la empresa.
• Ciudadanos en general: sus objetivos pasan por la correcci´on medioambiental de las em- presas y la generaci´on de puestos de trabajo / riqueza.

El objetivo de una empresa depende de los objetivos de sus grupos de inter´es en proporci´on directa a la fuerza que cada grupo tenga en la empresa.

Ejemplo: En el caso de una empresa cooperativa, donde los propietarios son los trabajadores (por lo que son el principal grupo de poder), el objetivo fundamental es la permanencia de los puestos de trabajo y el pago de las n´ominas.

Ejemplo: En una empresa cuya titularidad es p´ublica (propiedad de una Administraci´on) el fin es la prestaci´on de un servicio p´ublico.

Ejemplo: En una empresa donde los directivos tienen mucho poder (no tienen porqu´e ser pro- pietarios, como ocurrir´ıa en una empresa que cotice en Bolsa) el fin es el crecimiento, etc.

1.2. Organizaci´on y estructura de la empresa

La empresa debe organizar los recursos materiales, humanos, financieros y tecnol´ogicos de los que dispone para la realizaci´on de sus actividades.

Esta organizaci´on se realizar´a a trav´es de una estructura espacio-temporal que ser´a diferente para cada entidad y que por supuesto ir´a evolucionando con el paso del tiempo.

Normalmente las empresas suelen organizarse por funciones, a trav´es de departamentos, que se encargan de una serie de tareas definidas previamente. Sin embargo, hay ocasiones en las que las empresas se organizan departamentalmente por ubicaciones geogr´aficas (por Ej. en multi- nacionales), por tipolog´ıa de clientes (por Ej. las constructoras), por producto, por operaciones, etc.

La escala organizativa de una empresa se suele representar a trav´es de un esquema en forma de pir´amide donde se indica los tres niveles organizativos, el flujo de informaci´on y las decisiones a tomar (Figura. 1.1). Se organiza en los siguientes niveles:

• Nivel inferior: nivel Operativo, formado por aquellos que desarrollan las actividades del negocio de la empresa.

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1.3. El papel de la investigaci´on de operaciones en la organizaci´on de empresas.

En muchos casos se mezclan estructuras departamentales funcionales con estructuras de otro tipo, como las de ubicaci´on geogr´afica, las de tipo de producto o de cliente. Estas situaciones suelen ocurrir en empresas de tama˜no muy grande, en las que es necesaria una especializaci´on importante y en las que un control centralizado (en muy pocas manos) ser´ıa imposible.

1.3. El papel de la investigaci´on de operaciones en la organizaci´on de

empresas.

Los m´etodos operativos de gesti´on que se explican en esta asignatura pertenecen al ´area cient´ıfico- t´ecnica denominada ‘Investigaci´on de Operaciones’.

La investigaci´on de operaciones, tambi´en llamada, Investigaci´on Operativa (IO) se encarga de la aplicaci´on de herramientas y m´etodos matem´aticos y estad´ısticos para la resoluci´on de pro- blemas sobre organizaci´on, planificaci´on y control en cualquier tipo de sistema, sea artificial como una empresa o natural como pueda ser un r´ıo.

El objeto fundamental de la IO es el de servir como ayuda en la toma de decisiones complejas o muy complejas, de cara a tomar la mejor decisi´on posible en cada momento.

En el caso de las empresas, el papel de la IO es fundamental en la toma de decisiones a corto plazo, pero sobre todo, en la toma de decisiones a medio y largo plazo a trav´es de la planificaci´on estrat´egica de las compa˜n´ıas.

Las principales cuestiones sobre las que utilizaremos las t´ecnicas de IO dentro de la organiza- ci´on y gesti´on en las empresas ser´an:

• Toma de decisiones, ya sea a trav´es de la optimizaci´on como a trav´es de los procesos decisorios.
• Planificaci´on y gesti´on a corto, medio y largo plazo
• Gesti´on de la Calidad en la empresa

A continuaci´on pasaremos a describir en qu´e consiste cada uno de estos temas que posterior- mente iremos desarrollando a lo largo del curso.

Toma de Decisiones:

• Son fundamentales para la correcta gesti´on de la empresa, ya que una decisi´on mala pone en riesgo la solvencia de la compa˜n´ıa y disminuye su rentabilidad.
• Los procesos de Toma de Decisiones se pueden producir a trav´es de la utilizaci´on de herramientas de optimizaci´on, que buscan maximizar los conceptos positivos (ingresos, ventas, beneficios, etc.) y minimizar los negativos (costes, sanciones, etc.)
• Tambi´en pueden apoyarse en herramientas de An´alisis de Decisiones, ya sea para casos en los que se considera un ´unico criterio o para aquellos otros en los que se consideran varios criterios.

Planificaci´on:

• El realizar planes a corto, medio o largo plazo es algo fundamental en una empresa, ya que muchas inversiones son productivas al termino de plazos medios o largos.

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1.3. El papel de la investigaci´on de operaciones en la organizaci´on de empresas.

• En nuestro caso vamos a estudiar con mayor profundidad la planificaci´on de la gesti´on de proyectos.
• La planificaci´on de la gesti´on de proyectos es una herramienta fundamental tanto para el desarrollo de proyectos de cara a clientes, como para el desarrollo de proyectos de inversi´on.
• En general la planificaci´on es una herramienta fundamental para el desarrollo futuro y presente de cualquier compa˜n´ıa, sobre todo de cara al crecimiento y rentabilidad futura.

5. Gesti´on de proyectos

• Hoy en d´ıa nadie puede dudar de la importancia de la existencia de sistemas de control y gesti´on de calidad en cualquier empresa. Han representado uno de los grandes avances industriales del siglo XX y deber´an desarrollarse durante el actual siglo.
• Por un lado aumentan la rentabilidad, aumentando las ventas y disminuyendo los costes (por las menores devoluciones y demandas).
• Por otro lado garantizan la competitividad con el entorno, haciendo el producto m´as atrac- tivo hacia el cliente y dejando la puerta siempre abierta de la ingenier´ıa de procesos y de la gesti´on del cambio.

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Cap´ıtulo 2

Programaci´on lineal

2.1. Introducci´on

Este cap´ıtulo est´a estructurado en la siguientes secciones:

3.1. Modelos de la programaci´on lineal entera

2.3. Introducci´on a las t´ecnicas de resoluci´on de un PL

Postoptimizaci´on.

Nota. Este tema tambi´en se puede consultar y/o ampliar en los Cap´ıtulos 4 y 5 del siguiente libro: Rardin, R. L., ‘Optimization in operations research’, Editorial Prentice Hall, 1998.

2.2. Modelos de la programaci´on lineal

Objetivo:

El objetivo de esta secci´on es aprender a formular problemas de ‘programaci´on lineal’ (PL), tambi´en llamada ‘optimizaci´on lineal’.

Notar que plantearemos los problemas pero no los resolveremos. En la secci´on siguiente vere- mos c´omo se pueden resolver.

A menudo simplificaremos la expresi´on ‘tenemos un problema de PL’ por ‘tenemos un PL’.

Apartados:

2.2.1. Modelos de asignaci´on de recursos

2.2.2. Modelos de mezclas

2.2.3. Modelos de planificaci´on de operaciones

2.2. Modelos de la programaci´on lineal

2.2.4. Modelos de gesti´on de personal

Modelos temporales (multiperiodo)

2.2.1. Modelos de asignaci´on de recursos

Ejemplo 1

Objetivo: Juan, estudiante de ingenier´ıa, quiere maximizar sus resultados acad´emicos.

Datos:

N´umero total de horas disponibles para estudiar: 30 h. La estimaci´on del incremento de la nota de cada materia aportado por cada hora de estu- dio viene dado en la siguiente tabla:

Investigaci´on Operativa (IO) 2 % Ingenier´ıa Econ´omica (IE) 3 % Estad´ıstica (ES) 1 % Programaci´on (PR) 5 %

Juan quiere:

• Que el n´umero de horas de estudio dedicadas a IO sea superior al resto.
• Un m´aximo de 10 h de estudio por materia.

Operaciones 1:

Definimos las siguiente variables de decisi´on:

xj := Horas dedicadas a cada materia,

j ∈ {IO, IE, ES, PR}.

La formulaci´on como problema de programaci´on lineal (PL) es:

• Maximizar el incremento acumulado de las notas de Juan (en %):

z(x) = 2 xIO + 3 xIE + 1 xES + 5 xP R.

• Sujeto a las siguientes restricciones:

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2.2. Modelos de la programaci´on lineal

Con esta asignaci´on ´optima el incremento acumulado para todas las notas de Juan ser´ıa z∗^ = 100 %: z∗^ = 2 · 10 + 3 · 10 + 1 · 0 + 5 · 10 = 100.

Notar que para indicar valores ´optimos usamos los s´ımbolos x∗^ y z∗.

General

Modelos de asignaci´on:

• Repartimos un recurso entre varias actividades.
• En el ejemplo anterior hemos repartido 30 horas de estudio entre varias asignaturas.

Variables de decisi´on:

• Determinan qu´e cantidad de recurso asignamos a cada actividad.

Problema de Programaci´on Lineal (PL):

• El modelo o problema de asignaci´on es un caso particular de PL.
• Un problema de optimizaci´on es un PL si su funci´on objetivo z(x) y sus restricciones son funciones lineales.

min z(x) = c 1 x 1 +... + cnxn (funci´on objetivo) s. a. a 11 x 1 +... + a 1 nxn = b 1 (restricciones) .. . am 1 x 1 +... + amnxn = bm xi ≥ 0 ∀i ∈ { 1 ,... , n}

• En este PL tenemos s´olo restricciones de igualdad. En general un PL puede tener restric- ciones tanto de igualdad como de desigualdad.
• En un PL nos puede interesar maximizar un beneficio (dinero, fiabilidad, seguridad, etc.) o minimizar un coste (dinero, tiempo, distancia, etc.). Escribiremos ‘min’ o ‘max’ seg´un cada caso.

Expresi´on matricial de un PL:

• Notar que en el anterior PL usando el producto escalar podemos escribir la funci´on objetivo como z(x) = cᵀx.
• Usando el producto de matriz por vector podemos escribir las anteriores restricciones en formato matricial Ax = b, donde la matriz A y el vector b est´an definidos a partir de los coeficientes aij y bi, respectivamente.

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2.2. Modelos de la programaci´on lineal

• De esta forma podemos escribir el anterior PL en formato matricial como sigue:

min cᵀx (funci´on objetivo) s. a. Ax = b (restricciones) x ≥ 0. (restricciones de no negatividad)

2.2.2. Modelos de mezclas

Ejemplo 2 (Problema de la dieta)

Objetivo:

Una compa˜n´ıa quiere decidir la composici´on de m´ınimo coste de un pienso para gallinas. Formula este problema de optimizaci´on como un PL (no hay que resolverlo).

Datos:

La compa˜n´ıa debe fabricar 10.000 Kg de pienso. Cada Kg de pienso debe contener:

• Como m´aximo 10 mg de sodio.
• Al menos 50 g de fibra.
• Al menos 400 g de ma´ız. El pienso se va a fabricar a partir de tres ingredientes: ma´ız, trigo y avena. La composici´on y precio por Kg de cada ingrediente es:

Ingrediente g Fibra / Kg mg de Sodio / Kg Euros / Kg Ma´ız (1) 40 10 0. Trigo (2) 90 15 0. Avena (3) 30 5 0. Operaciones 2:

Aunque la compa˜n´ıa debe fabricar 10.000 Kg de pienso, es suficiente calcular la compo-

sici´on de 1 Kg y luego aplicar la composici´on resultante a todo el proceso de fabricaci´on.

Definimos las variables de decisi´on siguientes:

xj := Kg del ingrediente j por cada Kg de pienso,

∀j ∈ {1, 2, 3}.

Tenemos que minimizar la siguiente funci´on objetivo que nos da el coste en euros de un

Kg de pienso:

z(x) = 0, 15 x 1 + 0, 12 x 2 + 0, 20 x 3.

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2.2. Modelos de la programaci´on lineal

2.2.3. Modelos de planificaci´on de operaciones

Ejemplo 3

Objetivo:

Una compa˜n´ıa quiere planificar su producci´on de zumo de naranja para maximizar su beneficio. Formula este problema de optimizaci´on como un PL (no hay que resolverlo).

Datos:

El precio de venta al p´ublico del zumo fabricado es de 1500 Euros/Tonelada. La compa˜n´ıa estima que tiene una demanda de 15000 toneladas (T) de zumo. La compa˜n´ıa fabrica su zumo a partir de naranjas y/o concentrado de zumo de naranja (CZN).

Producto Precio Efectividad Existencias (Euros/ T) (T. de zumo / T. de producto) (T) Naranjas 200 0.2 10000 CZN 1600 2 Sin l´ımite

Operaciones 3:

Definimos las siguientes variables de decisi´on:

• x 1 := Toneladas de naranjas.
• x 2 := Toneladas de concentrado de zumo de naranja.
• x 3 := Toneladas de zumo de naranja producido.

La formulaci´on como problema de PL es:

max z = − 200 x 1 − 1600 x 2 + 1500x 3 (beneficio)

s. a. 0 , 2 x 1 + 2x 2 = x 3 (ecuaci´on de balance)

x 1 ≤ 10000 (l´ımite de existencias)

x 3 ≤ 15000 (l´ımite de ventas)

xi ≥ 0 i ∈ { 1 , 2 , 3 }

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2.2. Modelos de la programaci´on lineal

Soluci´on: Ver apartado ‘Operaciones’.

General

Modelos de planificaci´on de operaciones: Debemos decidir qu´e hacer, cuando y donde.

Variables de decisi´on: Las variables de decisi´on enteras y de gran magnitud se suelen tratar como variables continuas para simplificar la resoluci´on del problemas.

Restricciones de balance: El flujo entrante de materias primas debe ser igual al flujo saliente de productos manufacturados (ecuaci´on de balance). Intervienen factores de conversi´on.

2.2.4. Modelos de gesti´on de personal

Ejemplo 4

Objetivo:

Una agencia estatal quiere optimizar el n´umero de operarios de su plantilla, pero cubrien- do sus necesidades operativas.

Formula este problema de optimizaci´on como un PL (no hay que resolverlo).

Datos:

De los 5 d´ıas laborables, los empleados trabajan 4 d´ıas a raz´on de 10 h/d´ıa y tienen un d´ıa libre, seg´un su turno.

Turno D´ıa libre 1 Martes 2 Mi´ercoles 3 Jueves El n´umero de empleados requeridos cada d´ıa de la semana se detalla a continuaci´on.

L M Mx J V 10 7 7 7 9

Operaciones 4:

Definimos las siguientes variables de decisi´on:

xi := N´umero de empleados seg´un el turno i, i ∈ { 1 , 2 , 3 }.

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