Matemàtiques II, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Matemàtiques II y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

UNIVERSITAT POMPEU FABRA ESTUDIS EMPRESARIALS

MATEM `ATIQUES II

Curs 2005-

Professorat:

Carles Bailo David Delgado Joan Miralles de I. Marta Garc´ıa-Matos Pelegr´ı Viader

´Index

Cap´ıtol 1

Iniciaci´o al c`alcul integral

⋆ M`oduls de SIREMA relacionats amb aquest cap´ıtol:

X Integrals indefinides.

X Integrals definides.

X El valor absolut.

Els or´ıgens del calcul integral es remunten a principis del segle XVII, amb els treballs de Cavalieri per a calculararees de figures i volums de solids i amb alguns estudis de Fermat. Pero no sera fins a finals del mateix segle quan de la ma de Newton i de Leibnitz s’instaurara definitivament allo que avui entenem per calcul integral.

El nostre objectiu llunya ´es coneixer les arees de superf´ıcies limitades per corbes qualsevol. Intentarem assolir-lo en tres fases, pero en aquest curs nom´es ens plantejarem les dues primeres:

1. Primitives d’una funci´o.
2. Determinaci´o de l’`area limitada per una corba i l’eix d’abscisses: la funci´o integral.
3. Area limitada per corbes.`

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 5

1.1 Primitives d’una funci´o

Definici´o 1 Donada una funci´o f , cont´ınua en un interval [a, b] direm que la funci´o F ´es una primitiva de f si per a tot valor x compr`es entre a i b es verifica: F ′(x) = f (x).

Una primitiva de f s’escriu amb la notaci´o seg¨uent: ∫ f (x) dx.

Es evident que la primitiva d’una funci´^ ´ o no ´es ´unica. Per exemple, una primitiva de f (x) = 2x ´es F (x) = x^2 , per`o una altra podria ser F 1 (x) = x^2 +1, o una altra podria ser F 2 (x) = x^2 − 6.... Una mica m´es en general: podem dir que la primitiva de f (x) = 2x ´es F (x) = x^2 + k, on k ´es qualsevol valor constant.

1.1.1 Primitives immediates

Hi ha algunes funcions que, simplement sabent derivar, podem con`eixer la seva primitiva: son les anomenades primitives immediates. Tamb´e a par- tir de les regles de derivaci´o podem deduir les regles de les operacions amb primitives:

(f + g)(x) dx =

f (x) dx +

g(x) dx.

(k · f )(x) dx = k ·

f (x) dx (k constant).

Tamb´e com a conseq¨u`encia de les regles de derivaci´o cal tenir ben present que:

(f · g)(x) dx 6 =

f (x) dx ·

g(x) dx.

f g

(x) dx 6 =

f (x) dx ∫ g(x) dx

Tindrem tamb´e les seg¨uents regles de c`alcul de primitives:

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 7

Exercici 1. ∫ 1 x^3

dx =

x−^3 dx =

x−^2 + k = −

2 x^2

• k.

Exercici 1. ∫ √ (^3) x dx =

x

(^13) dx =

x

(^43)

• k =

x^4 + k.

Exercici 1.4 (^) ∫

2 x

x^2 + 5

dx.

Si pensem u = x^2 + 5, aleshores u′^ = 2x i, per tant, ∫ 2 x

x^2 + 5

dx =

x^2 + 5

• k.

Exercici 1.5 (^) ∫ 2 x + 3 x^2 + 3x − 6

dx.

Si pensem u = x^2 + 3x − 6, aleshores u′^ = 2x + 3 i, per tant,

∫ 2 x + 3 x^2 + 3x − 6

dx = ln |x^2 + 3x − 6 | + k.

Exercici 1. ∫ ( x^3 − 7

x^2 dx =

3 x^2

x^3 − 7

dx =

x^3 − 7

• k.

Exercici 1. ∫ tan x dx =

sin x cos x

dx = −

− sin x cos x

dx = − ln | cos x| + k.

Exercici 1.8 (^) ∫

cos x · esin^ x^ dx = esin^ x^ + k.

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 8

1.1.2 Canvi de variable

Les generalitzacions anteriors s´on un exemple senzill de la tecnica de calcul de primitives anomenada ”canvi de variable”, que desenvoluparem a contin- uaci´o.

Per a comen¸car conv´e recordar el concepte de derivada d’una funci´o t(x) respecte de la variable x: ´es la variaci´o infinitesimal de les imatges, que anomenarem dt, en produir una variaci´o infinitesimal en els originals, que anomenarem dx: dt dx

= t′(x).

Per tant tindrem que dt = t′(x) dx. Replantegem-nos ara la integral de l’exercici 1.6: si anomenem t(x) = x^3 − 7 tindrem dt = 3x^2 dx i aquest canvi de variable x per t fa que: ∫ ( x^3 − 7

x^2 dx =

t^4

dt =

t^5 + k =

x^3 − 7

• k.

Vegem alguns exemples d’integrals que poden ser resoltes per canvi de vari- able:

Exercici 1.

sin^2 x·cos x dx.

Si fem el canvi t = sin x, aleshores dt = cos x dx i tindrem: ∫ sin^2 x · cos x dx =

t^2 dt =

t^3 + k =

sin^3 x + k.

Exercici 1.

ex^ + 1 e^2 x^

dx.

Si fem el canvi t = ex, aleshores x = ln t i dx =

t

dt que ens porta a: ∫ ex^ + 1 e^2 x^

dx =

t + 1 t^2

t

dt =

t + 1 t^3

dt =

∫ (^

t^2

t^3

dt =

(t−^2 + t−^3 ) dt = −

t

2 t^2

• k = −e−x^ −

e−^2 x^ + k.

Exercici 1.

x · ln x

dx.

Si fem ln x = t aleshores x = et^ i dx = et^ dt, que ens porta a: ∫ 1 x · ln x

dx =

et^

t

et^ dt =

t

dt = ln t + k = ln ln x + k.

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 10

Exercici 1.

ln x dx.

Si prenem u = ln x i dv = dx tindrem du =

x

dx i v = x, que ens porta a: ∫ ln x dx = x ln x −

x

x

dx = x ln x −

dx = x ln x − x + k.

1.2 La integral definida

Definici´o 2 Donada una funci´o f , cont´ınua i positiva en un interval tancat [a, b], aleshores anomenarem: ∫ (^) b

a

f (x) dx

a l’`area limitada per la corba f (x) i l’eix d’abscisses entre x = a ix = b, tal com podem veure a la figura 1.1.

Figura 1.1: La integral definida

A partir d’aquesta definici´o ´es facil demostrar la regla que ens serveix per a calcular efectivament aquestaarea: ´es l’anomenada Regla de Barrow:

Sigui f una funci´o cont´ınua a l’interval [a, b] i F (x) una primitiva de f (x). Aleshores ∫ (^) b

a

f (x) dx = F (b) − F (a).

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 11

A tall d’exemple demostrarem ara que l’area d’un rectangle de base b i al¸cada h ´es A = b·h. Comen¸carem per posar els eixos de coordenades alla on ens sera m´es practic, tal com veiem a la figura 1.2. Segons les definicions anteriors, l’`area A del rectangle ´es^1 :

Figura 1.2: Area d’un rectangle`

A =

∫ (^) b

0

h dx = h · x]b 0 = h · b − 0 = h · b ,

que, com sabem, ´es l’`area del rectangle de base b i al¸cada h.

1.2.1 Calcul d’arees

A partir de tot l’anterior queda clar que, quan una funci´o ´es positiva, la seva integral coincideix amb l’area. Pero, com podem determinar l’`area en el cas de funcions que no siguin positives en tot l’interval [a, b]? Vegem-ho amb un exemple:

Exercici 1.15 Determineu l’`area limitada per la funci´o f (x) = x^2 − 2 x i l’eix d’abscisses, entre x = −1 i x = 3.

Per a determinar l’`area que ens demanen cal que comencem per saber per a quins valors de x les imatges s´on positives i per a quins s´on negatives. Vegem en quins punts la funci´o talla l’eix d’abscisses:

x^2 − 2 x = 0 −→ x(x − 2) = 0 −→ x = 0 x = 2

Aixo ens permet dibuixar la corba i determinar l’area que ens demanen, (^1) Un cop calculada una primitiva F de f acostuma a utilitzar-se en els c`alculs la notaci´o ∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ =^ F^ (x)]

b a =^ F^ (b)^ −^ F^ (a).

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 13

b c d

a

f(x) g(x)

Figura 1.4: Area limitada per dues corbes`

2. En cadascun dels intervals [a, b], [b, c], [c, d] mirarem quina de les dues funcions pren valors m´es grans.
3. Plantejarem i calcularem la integral:

A =

∫ (^) b

a

(f (x) − g(x)) dx +

∫ (^) c

b

(g(x) − f (x)) dx +

∫ (^) d

c

(f (x) − g(x)) dx.

1.3 Aplicacions del c`alcul integral a l’econo-

mia

L’´ıntim lligam que hi ha entre el concepte de derivada i el concepte d’integral ens permetra resoldre un seguit de problemes en que es coneix la variaci´o d’una funci´o i es tracta de trobar la propia funci´o sabent d’antuvi que passa per un punt donat. De fet, aquesta ´es la base sobre la que s’erigeix la teoria d’equacions diferencials. Pero abans d’entrar en aquest tema examinarem un conjunt de problemes extrets de l’`ambit de l’economia i on interv´e el concepte d’integral. Vegem-ne alguns exemples senzills.

Exercici 1.16 Si el cost marginal (CM ) d’una empresa ´es C′(q) = 2 · e^0 ,^2 q i sabem que els costos fixos s´on 90, trobeu la funci´o de cost.

Resoluci´o

Ens donen el marginal de la funci´o de cost, la qual cosa ´es equivalent a dir que

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 14

coneixem la relaci´o entre el diferencial del cost i el diferencial de la producci´o:

C′(q) = 2 · e^0 ,^2 q^ ,

d C(q) dq

= 2 · e^0 ,^2 q^ , d C(q) = 2 · e^0 ,^2 q^ dq.

Es tracta de resoldre la seg¨uent integral:

C(q) =

2 · e^0 ,^2 q^ dq.

Fent el canvi de variable 0, 2 q = x, 0, 2 dq = dx tenim:

C(q) =

2 · ex^

dx = 10

ex^ dx = 10 · ex^ + k = 10e^0 ,^2 q^ + k.

Ara b´e, ens diuen que per a q = 0 el cost fix ´es 90, la qual cosa ens permet trobar la constant d’integraci´o:

C(0) = 10 + k = 90, k = 80.

Aix´ı, tindrem que la funci´o de cost d’aquesta empresa ´es igual a:

C(q) = 80 + 10 · e^0 ,^2 q.

Exercici 1.17 Sabent que el marginal de la funci´o demanda ´es igual a:

d q d p

(p + 1)^2

i coneixent que el valor de la demanda per p = 1 ´es de q = 48 unitats, trobeu la funci´o demanda.

1.3.1 Dinamica economica i c`alcul integral

La majoria de funcions economiques s´on variables amb el temps, ´es a dir, el temps ´es una variable m´es de la funci´o. Si ens plantejem estudiar l’evoluci´o temporal d’aquestes funcions i en volem coneixer la variaci´o, el calcul integral ens proporciona l’eina adequada. Vegem un exemple molt senzill extret de la dinamica de poblacions.

Imaginem que una poblaci´o H varia amb el temps d’acord amb la seg¨uent llei:

l’augment de la poblaci´o ´es directament proporcional a la quantitat total de poblaci´o que hi ha a cada moment.

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 16

Exercici 1.19 Si el flux d’inversi´o ve donat per I(t) = 3

t milions de ptes per any, quina ser`a la formaci´o de capital en els seg¨uents per´ıodes de temps:

1. Al llarg del dia 100.
2. Durant el primer any.
3. Entre el segon i cinqu`e anys.

Resoluci´o

En primer lloc ens cal entendre qu`e expressa la funci´o I(t) = 3

t. Aquesta funci´o ens diu que l’ingr´es varia cont´ınuament d’acord amb el temps i que ho fa segons l’expressi´o I(t) = 3

t, on t es mesura en anys. A l’inici del dia 100

el valor de la variable t ´es igual a

i la inversi´o ´es de I

milions de

ptes. Al llarg de 24 hores, aquesta inversi´o genera una formaci´o de capital igual a la inversi´o multiplicada pel temps durant el qual s’ha mantingut:

I

. De fet, aix`o no ´es del tot cert ja que se suposa que I(t) varia

cont´ınuament i que no ´es igual en acabar el dia 100 que en comen¸car-lo. Per`o com que en un dia varia poc, podem suposar que l’increment de capital ha estat:

∆K = 3

∆t = 3

≈ 0 , 004302 milions = 4.302ptes.

Si hagu´essim fet el calcul anterior amb rigor, haur´ıem d’haver aplicat les tecniques del c`alcul integral raonant de la seg¨uent manera:

Al llarg del dia 100 la variable t varia entre d^100365 i d^101365 , i la formaci´o de capital durant aquestes 24 hores ´es:

k =

(^100365)

t dt =

[

2 t

32 ]^101 /^365

100 / 365

≈ 0 , 004312 milions = 4.312 ptes.

Ara, els apartats seg¨uents els podem fer directament

2. K =

0

t dt =

[

2 t

32 ]^1

0

= 2 milions de ptes.

3. K =

2

t dt =

[

2 t

32 ]^5

2

2 ≈ 16 , 7038 milions de ptes.

CAP´ITOL 1. INICIACI O AL C ´ ALCUL INTEGRAL` 17

Exercici 1.20 Si el flux d’inversi´o ve donat per I(t) = 2 · ln(t + 1) milions de ptes/any, quina ser`a la formaci´o de capital en els seg¨uents per´ıodes de temps:

1. Al llarg del dia 100?
2. Durant els dos primers anys?
3. Entre el segon i cinqu`e anys?

−→ [Vegeu problemes 1 a 8]

CAP´ITOL 2. MATRIUS I DETERMINANTS 19

complicat de 4, 5 ,... , n equacions amb 4, 5 ,... , n incognites? Per comen¸car, examinem un exemple d’un sistema de tres equacions amb tres incognites:

2 x + y + z = 3 x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 1

Si el resolem per qualsevol dels m`etodes que coneixem –per exemple, per substituci´o– trobarem sense problemes la soluci´o: x = 1, y = 2, z = −1.

Ara, una observaci´o important ´es la seg¨uent:

Si en un sistema d’equacions substitu¨ım una equaci´o per una suma d’ella mateixa amb m´ultiples d’algunes de les altres –o sigui, per una combinaci´o lineal d’equacions–, el sistema segueix tenint les mateixes solucions.

Per exemple, si al sistema anterior canviem la tercera equaci´o pel doble de la segona menys el triple d’ella mateixa, obtindrem el nou sistema

2 x + y + z = 3 x + 2y + z = 4 −x + y − 4 z = 5

que segueix tenint la mateixa soluci´o: x = 1, y = 2, z = −1. Direm que els dos sistemes s´on equivalents.

El metode de Gauss per a resoldre sistemes d’equacions fara servir precisa- ment aquesta propietat: anar substituint les equacions per d’altres de manera que els sistemes successius siguin equivalents a l’original (´es a dir, que vagin tenint sempre la mateixa soluci´o), fins a arribar a triangularitzar-lo, ´es a dir, fins a aconseguir que nom´es quedi una inc`ognita a la darrera equaci´o, dues a l’anterior, i aix´ı successivament. Vegem-ho en l’exemple anterior: si canviem la tercera equaci´o per la segona menys la tercera, obtindrem el seg¨uent sistema, equivalent a l’anterior:

2 x + y + z = 3 x + 2y + z = 4 y − z = 3

Si ara canviem la segona equaci´o per la primera menys dues vegades la segona, obtindrem el sistema equivalent:

2 x + y + z = 3 − 3 y − z = − 5 y − z = 3

CAP´ITOL 2. MATRIUS I DETERMINANTS 20

Per acabar, canviarem la tercera equaci´o per la segona m´es tres vegades la tercera, obtenint el sistema equivalent:

2 x + y + z = 3 − 3 y − z = − 5 − 4 z = 4

Ara n’hi haur`a prou amb a¨ıllar z a la darrera equaci´o (z = 4/(−4) = −1) i substituir el seu valor a la segona (− 3 y−(−1) = −5 o sigui − 3 y = −6) i a¨ıllar y (y = − 6 /(−3) = 2), i substituir aquests valors a la primera (2x+2+(−1) = 3, o sigui 2x = 2) per a¨ıllar x, (x = 2/2 = 1).

Aquesta manera de resoldre sistemes d’equacions pot semblar una mica llar- ga, pero t´e l’avantatge de ser general: tant ´es que el sistema sigui de tres equacions amb tres incognites com que en tingui 25!. D’altra banda conv´e que ens fixem en el fet que cada cop que hem substitu¨ıt una equaci´o, hem copiat les anteriors i hem anat copiant les x, les y i les z per no fer-hi res. Per tal de simplificar els passos, podr´ıem escriure el sistema de la seg¨uent forma:

AM =

on cada fila representa una equaci´o, i cada columna representa els coeficients respectius de cadascuna de les inc`ognites en l’ordre convingut (primer el coeficient de la x; en segon lloc el coeficient de la y i, per ´ultim, el coeficient de la z).

Definici´o 3 La matriu AM de l’expressi´o (2.1) s’anomena matriu ampliada del sistema d’equacions.

Si escrivim de la mateixa manera nom´es els coeficients de les inc`ognites del sistema tindrem:

A =

Definici´o 4 La matriu A de l’expressi´o (2.2) s’anomena matriu del sistema d’equacions o matriu associada al sistema d’equa- cions.