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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
I.E.S La Magdalena.
Avilés. Asturias
> La trayectoria es una circunferencia.
> La velocidad es constante
s R El ángulo (), debe medirse en radianes:
longitud arco (m) s
(rad)
radio circunferencia (m) R
Según esta definición: 1 vuelta = 360 0 = 2 radianes ½ vuelta = 180 0 = radianes ¼ de vuelta = 90 0 = /2 radianes Para convertir vueltas o grados a radianes:
0
rad
rad
0,9 vueltas
2 rad
1 vuelta
1,8 rad
En el Sistema Internacional (S.I.) la velocidad angular se mide en rad s o en 1
s s (el radian no tiene dimensiones) Otras unidades (no S.I.) son: vueltas s ; revoluciones r.p.m min
Teniendo en cuenta las definiciones de periodo, frecuencia y velocidad angular, se puede poner: 2 1 2 2 f T T Entre la velocidad lineal y la angular existe la siguiente relación:
v . R
Si se considera un punto girando en una circunferencia es fácil concluir que es mucho más sencillo medir el ángulo girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido (espacio). Por esto se define la velocidad angular como la rapidez con que se describe el ángulo ( ): De la definición de velocidad angular se deduce la relación entre la velocidad angular y el ángulo girado : t Si cuando empieza a contarse el tiempo (t = 0) el punto ya ha descrito un ángulo 0, entonces el ángulo girado en un tiempo t será: 0 t El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico , ya que se repite a intervalos regulares de tiempo. Se denomina periodo ( T ) al tiempo que el punto tarda en dar una vuelta (el movimiento vuelve a repetirse). Se denomina frecuencia ( f ) al número de vueltas que el punto da en un segundo. Periodo y frecuencia son magnitudes inversamente proporcionales: 1 T f ;
f T ; T. f = 1 El periodo se mide en segundos (s) La frecuencia se mide en (^) s^1 o Hz (hertzios)
5 vueltas 3,52 s
60 s vueltas 85,23 85,23 r.p.m. 1min min
5 vueltas 2 rad 3,52 s 1 vuelta rad 1 2,84 2,84 s s
^
3,52 s T 0,704 s 5
f 1 1 1,420 s 1 1 ,420 Hz T 0,704 s
(^2 2) 2,35 s 1 7,38 s 1 7,38rad T 0,852 s s
^ ^
1
; t 0,283 s t 2,35 s
Ejemplo 1 Un punto describe una trayectoria circular tardando 3,52 s en dar cinco vueltas. Calcular: a) La velocidad angular en r.p.m y en rad/s b) El periodo y la frecuencia del movimiento c) El ángulo girado al cabo de 0,65 s de iniciado el movimiento. Solución: a) b) c) = . t = 2,84 s – 1^. 0,65 s = 1,85 rad 5,81 rad Ejemplo 2 En el laboratorio se estudia el movimiento de un disco, de radio 10 cm, que gira con velocidad constante, midiéndose el tiempo que tarda en dar cinco vueltas. Los valores obtenidos se dan en la tabla adjunta. a) Calcular la velocidad angular del disco. b) Determinar la velocidad lineal de un punto de su periferia y de otro situado a 3 cm del centro. c) ¿Cuánto tardará en girar 120 0? Solución: a) Calculamos el periodo del movimiento (tiempo que tarda en dar una vuelta), hallando la media de los valores obtenidos y dividiendo por cinco: tmed = 4,258 s ; T = 0,852 s. Cálculo de la velocidad angular : b) Un punto situado en la periferia del disco describirá una circunferencia de radio 10 cm = 0,10 m v = . R = 2,35 s-1. 0,10 m = 0,235 s-1^ 0,74 m .s-1^ = 0,74 m/s Par el punto situado a 3 cm del centro : R = 3 cm = 0,03 m: v = . R = 2,35 s-1. 0,03m = 0,0705 s-1^ 0,22 m .s-1^ = 0,22 m/s Como se deduce del cálculo ambos puntos giran con idéntica velocidad angular (), ya que recorren el mismo ángulo, pero la velocidad lineal aumenta a medida que nos desplazamos hacia la periferia. c) Pasamos los grados a radianes: Medida t (s). Cinco vueltas 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 120 0 0 rad 180
0,67 rad
COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN EN UN MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
2 n v a R
v 1
v 2
v 1
v 2
v v 2 v 1
a
a
a t
a n
La aceleración tangencial mide la rapidez con que varía el módulo del vector velocidad. La aceleración normal mide la rapidez con que varía la dirección del vector velocidad. 2 1 t 2 1
v v v
a
t t t
R
v
v
En el movimiento circular uniforme la trayectoria es una circunferencia que es recorrida con velocidad constante. Hay que tener en cuenta que aunque el módulo del vector velocidad no varía ( ), su dirección varía constantemente (por tanto tiene aceleración normal). El movimiento circular uniforme tiene aceleración que apunta constantemente en la dirección del centro de la trayectoria. Es la aceleración normal o centrípeta
a t 0
2 n
v
a
R
v R
2 2 2 2 2 n
v R R
a R
R R R
2 n
v
a
R
Consideremos una trayectoria curva y un móvil que la recorre variando su velocidad (en módulo) de manera uniforme. Si queremos calcular el vector aceleración, deberemos calcular: Por tanto el vector (en verde en la figura) será un vector que apunta en el sentido y dirección del vector (en naranja en la figura) 2 1 2 1
v v v 1
a v
t t t t
v
a
Como se puede ver el vector aceleración, , apuntará hacía “el interior” de la curva. Si consideramos ahora un sistema de ejes coordenados y situamos uno de los ejes en la dirección de la tangente en ese punto y el otro perpendicular y descomponemos el vector según esos ejes, obtenemos dos componentes de la aceleración que apuntan en la dirección de la tangente y perpendicularmente a ésta. La primera componente se llama aceleración tangencial y la segunda aceleración normal
at
an
a a t an
a
a
