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MOVIMIENTO CIRCULAR
6 A
- F
- 2 CONCEPTOS.............................................................................................................................................
- 2.1 ARCO.....................................................................................................................................................
- 2.2 RADIO VECTOR = VECTOR DE POSICIÓN.........................................................................................
- 2.3 VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO (TRES DIMENSIONES)......................................................
- 2.4 POSICIÓN ANGULAR ( F 06 A).......................................................................................................................
- 2.5 VELOCIDAD ANGULAR w.....................................................................................................................
- 2.6 TRAYECTORIA.........................................................................................................................................
- 2.7 DESPLAZAMIENTO.................................................................................................................................
- 2.8 ÁNGULO....................................................................................................................................................
- 2.9 MEDICIÓN DE ÁNGULOS......................................................................................................................
- 2.10 RADIANES................................................................................................................................................
- 2.11 CAMBIO DE UNIDADES.........................................................................................................................
- 3 FÓRMULAS...............................................................................................................................................
- 4 ESTUDIO DE LOS MOV. CIRCULARES................................................................................................
- 5 MOVIMIENTO CIRCULAR.....................................................................................................................
- 5.1 VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR...................................
- 5.2 VELOCIDAD ANGULAR EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR............................................................
- 5.3 VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR....................................................
- 5.4 LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
- 5.5 ACELERACIÓN ANGULAR EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR........................................................
- 6 TIPOS DE MOVIMIENTOS CIRCULARES............................................................................................
- 7 1) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME............................................................................................
- 7.1 EL MCU ES UN MOVIMIENTO ACELERADO.....................................................................................
- 7.2 VELOCIDAD EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME...........................................................
- 7.3 VELOCIDAD ANGULAR EN EL MCU...................................................................................................
- 7.4.1 ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD ANGULAR EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA.......................
- 7.5 VELOCIDAD TANGENCIAL O LINEAL EN EL M.C.U........................................................................
- 7.5.1 ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD LINEAL EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA............................
- 7.7 RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA VELOCIDAD LINEAL EN EL MCU........
- 7.8 ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA EN UN MCU..................................................................
- 7.9 MOVIMIENTO PERIÓDICO EN EL MCU..............................................................................................
- 7.9.1 PERIODO EN UN MCU............................................................................................................................
- 7.9.2 FRECUENCIA EN UN MCU....................................................................................................................
- 8 2) MOVIMIENTO CIRCULAR VARIADO..............................................................................................
- 8.1 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA...........................................................................................................
- 8.2 VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA............................................................................................
- 8.3 ACELERACIÓN ANGULAR (a)...............................................................................................................
- 8.4 ACELERACIÓN NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA EN UN M.C. V.
- 8.5 ACELERACIÓN TANGENCIAL EN UN M.C. V....................................................................................
- 9 3) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO..........................................................
- 10 4) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO....................................................
- 10.1 VELOCIDAD ANGULAR.........................................................................................................................
- 10.1.1 ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD ANGULAR EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA.......................
- 10.2 ACELERACIÓN EN EL M.C.U.A............................................................................................................
12 VELOCIDAD ANGULAR MEDIA........................................................................................................... 18
13 VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA............................................................................................ 19
13.1 ACELERACIÓN........................................................................................................................................ 19
14 ACELERACIÓN ANGULAR.................................................................................................................... 19
14.1 ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA...................................................................................................... 19
14.2 ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA....................................................................................... 19
14.3 ACELERACIÓN NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA EN UN M.C. no U. ....................................... 20 14.4 ACELERACIÓN TANGENCIAL EN UN M.C. no U............................................................................... 20 15 ACELERACIÓN INSTANTÁNEA........................................................................................................... 20 16 COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN................................................................... 20 17 ..................................................................................................................................................... 20 (^18) DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR....................................................................................... 21 18.1 1) CURVA SIN PERALTE.......................................................................................................................... 21 18.1.1 FUNDAMENTOS FÍSICOS....................................................................................................................... 21 18.2 2 ) REGULADOR CENTRÍFUGO............................................................................................................ 22 18.2.1 FUNDAMENTOS FÍSICOS...................................................................................................................... 22 18.2. ..................................................................................................................................................... 18.2.3 Movimiento de la bola ............................................................................................................................... 22 19 ..................................................................................................................................................... 20 MOVIMIENTO PERIÓDICO.................................................................................................................... 23 20.1 PERIODO................................................................................................................................................... 23 20.2 (^) FRECUENCIA........................................................................................................................................... 23
CONCEPTOS
ARCO Se llama arco descrito por un móvil en un intervalo de tiempo, a la porción de curva que recorre en ese tiempo. RADIO VECTOR = VECTOR DE POSICIÓN El punto que describe ese movimiento circular está siempre a la misma distancia del centro 0 (es el radio de la circunferencia que describe el móvil). En nuestro ejemplo, si trazamos un vector con origen en 0 y extremo en la posición del punto móvil, ese vector de posición:
- Ha pasado. Ha variado su dirección, ya que
- No ha variado su módulo, pues si ,
Se llama radio vector de un movimiento circular al vector cuyo origen está en el centro de la trayectoria y su extremo en la posición que ocupa el móvil en cada instante. Así:
- es el radio vector del móvil en el instante t (^1)
- es el radio vector del móvil en el instante t (^2)
VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO (TRES DIMENSIONES) La posición de un punto A en el espacio de tres dimensiones queda determinada por un vector que une el origen de coordenadas 0 y dicho punto:
Este vector se puede expresar en función de sus componentes cartesianas ( x, y, z ) que, en general, serán funciones de la variable t (tiempo). Por tanto, el vector de posición podrá escribirse así: (1) A x = x(t), y = y(t) y z = z(t) se les llama ecuaciones paramétricas de la trayectoria.
Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero. TRAYECTORIA La curva descrita por el punto material en su evolución temporal se conoce con el nombre de trayectoria. Si en las ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t) y z = z(t) eliminamos el parámetro t, obtendremos la ecuación cartesiana de la trayectoria que, en general, responderá a la forma: F(x, y, z) = 0
DESPLAZAMIENTO Si el móvil se desplaza entre los puntos A y B de la trayectoria, efectúa un desplazamiento
y recorre un arco de longitud s. Nota:
- El arco es de carácter escalar.
- El desplazamiento es de carácter vectorial.
ÁNGULO La apertura comprendida entre dos radios de una circunferencia es un ángulo. Esta apertura no depende del radio de la circunferencia usada. Del mismo modo, la apertura de dos semirrectas con el mismo origen, determinará un ángulo. Realmente, se determinarán dos ángulos, dependiendo del camino elegido para ir desde una semirrecta o un radio hasta la otra semirrecta o radio. Cuando el recorrido del ángulo se realiza en el sentido contrario al de las agujas del reloj o el sentido de aflojar un tornillo, el ángulo es positivo. Si el recorrido se realiza en el sentido de las agujas de un reloj o el de apretar un tornillo, el ángulo se considera negativo.
Ángulo positivo
Ángulo negativo
El radio vector, al moverse de P a Q, ha recorrido el arco s , describiendo un ángulo F 06 A. Se llama ángulo descrito por un móvil en un intervalo de tiempo, al ángulo barrido por su radio vector en dicho tiempo.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS Para medir el ángulo podemos usar varias unidades de medidas: los grado sexagesimales (en los que una circunferencia completa tiene 360 º) o los radianes (en los que una circunferencia tiene 2 F 07 0 Rad. -dos pi-, esto es, 6.2830 Rad.,
aproximadamente). Esta unidad es muy útil, ya que la longitud del arco de circunferencia se calcula directamente multiplicando el ángulo por el radio de la circunferencia. Aún existe otra medida para ángulos: la vuelta o revolución^ ,^ equivalente^ a^ una^ circunferencia^ completa. Evidentemente 360 º = 2 F 07 0 Rad. = 1 r.
RADIANES Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un radio cuya longitud es igual al radio Normalmente, el ángulo se mide en grados, abarcando una circunferencia completa los 360º. Pero para fines científicos es más útil medir los ángulos en radianes.
Se define un ángulo F 06 A expresado en radianes (rad) como el cociente entre la longitud de su arco de circunferencia y el radio de ésta.
Su fórmula es:
Si tomamos un arco s^ igual al radio^ r , nos da que^ s = r^ y el ángulo^ F 06 A = 1 radián. El radián es una unidad sin dimensiones, puesto que es el cociente de dos longitudes.
En la figura 2.18, la medida del ángulo F 06 A en radianes es, por definición:. Por tanto, la longitud de cualquier arco vale: s = F 06 A R, siempre que se mida el ángulo en radianes
Si consideramos una circunferencia completa de radio r , como su longitud es 2^ F 07 0 r y abarca un ángulo de 360º, se tiene: F 0 6 A = s/r^
F 0 D E 360º = 2^
F 0 7 0r/r = 2^
F 0 7 0 rad. Por lo tanto, un rad = 360º/^
F 0 7 0 = 57’3º A veces, la velocidad angular se mide en revoluciones por segundo (rps) o por minuto (rpm):
- Una vuelta completa por segundo = 1rps = 2 F 07 0rad/s.
- Una rpm = 2 F 07 0rad/60 s.
CAMBIO DE UNIDADES Puesto que las unidades de medida de ángulos son proporcionales entre sí y sabemos que 360 º = 2 F 07 0 Rad. = 1 r, para
pasar de una unidad a otra, bastará con hacer una regla de tres. Como puedes comprobar en el siguiente ejemplo:
Supongamos un ángulo de 120º. Para expresarlo en radianes, puesto que 360º son 6.2832 Rad, podemos hacer una regla de tres:
Es decir, 120º son 2.0944 Rad. Para expresarlo en revoluciones, puesto que 360º es 1 r, podemos hacer la siguiente regla de tres:
Es decir, 120º son 0.3333 revoluciones.
FÓRMULAS
- Velocidad tangencial (v): v = F 07 7 · r Las unidades son m/s, km/h, etc
- Velocidad angular ( F 07 7): F 0 7 7 = v/r = 2^
F 0 7 0 / T=^
F 0 7 0 f donde T es el período y f es la frecuencia. Las unidades son rpm, rps o Hertz, etc
ESTUDIO DE LOS MOV. CIRCULARES
La descripción de los movimientos rectilíneos uniformes y uniformemente acelerados puede extenderse a movimientos de trayectoria no rectilíneo, si no se tienen en cuenta aquellos aspectos del movimiento relacionados con el cambio de orientación que sufre el móvil al desplazarse a lo largo de una trayectoria curvilínea. Por tanto, un movimiento circular uniforme o uniformemente acelerado, se puede estudiar recurriendo a las relaciones entre s, v, t y a, deducidas a propósito de los movimientos rectilíneos. Sin embargo, la posibilidad de describir el desplazamiento del punto móvil mediante el ángulo ϕ barrido por uno de los radios, abre un nuevo
Las fórmulas son:
- (^) (5.2) Las unidades en el Sistema Internacional (SI) = VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
El valor instantáneo, o referido a un instante, al igual que en la cinemática lineal viene dado por:
. (5.3) De acuerdo con su definición, la unidad de en el SI será el rad / s. LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR La aceleración se produce cuando se manifiesta un cambio de velocidad. Si un cuerpo gira, debe existir una fuerza que lo obliga a girar, ya que según la primera ley de Newton, si sobre un cuerpo no se ejerce ninguna fuerza permanecerá en reposo o se moverá con movimiento rectilíneo y uniforme y ,al girar, debe estar sometido a una fuerza y a una aceleración. La aceleración tiene dos componentes:
- La aceleración tangencial , que es la que cambia el módulo de la velocidad tangencial. (la aceleración tangencial sólo aparece en el movimiento circular variado)
- La aceleración centrípeta o normal (la única que aparece en el movimiento circular uniforme) cambia la dirección del vector velocidad tangencial pero no su módulo. Hay tres formas de calcular la aceleración centrípeta (elegimos cuál usar según los datos del problema):
- a (^) c =^ F 07 7^2 · r
- a (^) c =^ F 07 7 · v
En este gráfico puse, para que los veas mejor, los vectores aceleración en rojo y los vectores velocidad en negro. Las velocidades tangenciales son justamente tangentes a la trayectoria y la aceleración centrípeta siempre apunta al centro de la circunferencia.
ACELERACIÓN ANGULAR EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR Dado que la velocidad angular puede variar con el tiempo, es necesario introducir una magnitud que dé idea de la rapidez con la que dicha variación tiene lugar; esto es, lo que se entiende por aceleración angular., Se llama aceleración angular F 06 1de un movimiento circular, a la razón entre la variación de la velocidad angular y el tiempo en que se produzca : (5.4) Unidad en el S.I. = La aceleración angular F 06 1 también es un vector:
- Cuyo módulo es
- Su dirección es la de la velocidad angular F 07 7.
- Su sentidos es:
- El de la velocidad angular si F 07 7 aumenta.
- De sentido contrario a la velocidad angular si F 07 7 disminuye.
De las definiciones dadas se deducen sus respectivas ecuaciones de dimensión:
[ F 07 7] =;^ (2.19) que justifican las unidades de las mismas: F 0 7 7 = rad / seg ;^ a^ = rad / s^2
TIPOS DE MOVIMIENTOS CIRCULARES
Movimientos circulares son aquellos en los que la trayectoria que recorren los puntos son circunferencias. 1) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Movimientos circulares son aquellos en los que las trayectorias que recorren los puntos son circunferencias. El movimiento circular uniforme es el más sencillo y corresponde a aquél en que el móvil recorre arcos de circunferencia iguales en intervalos de tiempo iguales. Es aquel movimiento circular en que se da una vuelta siempre en el mismo intervalo de tiempo, es decir, siempre se tarda lo mismo en dar una vuelta. Se abrevia por MCU. El movimiento circular uniforme es el que describe un móvil cuya trayectoria es una circunferencia y que recorre arcos iguales en tiempos iguales. El MCU es aquel movimiento circular en que se da una vuelta siempre en el mismo intervalo de tiempo, es decir, siempre se tarda lo mismo en dar una vuelta. El MCU se caracteriza por: El MCU se caracteriza por:
- Tener velocidad tangencial de módulo constante (no dirección constante)
- Tener velocidad angular constante en módulo y sentido ( F 07 7 = constante)
- Tener aceleración tangencial nula.
- Tener aceleración centrípeta distinta de cero. a (^) c F 0B 9 0
- El MCU es un movimiento periódico.
- Sólo para los MCU podemos definir período y frecuencia:
- Período (T): tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta: T =2 F 07 0/ F 07 7. Las unidades son las unidades de tiempo (segundo, hora, minuto, etc)
- Frecuencia ( f ): número de vueltas que el móvil recorre en la unidad de tiempo: f =1/T
- (^) Las unidades son rpm, rps o Hertz; las equivalencias son: 1Hz =60rpm y Hertz =1/seg
- Ecuaciones horarios del MCU (no se usan mucho pero por las dudas que las necesites te las paso):
- Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular ω es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular θ del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando:
θ-θ0=ω(t-t (^) 0) o gráficamente, en la representación de ω en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t 0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son
análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme:
Pero a pesar de que la velocidad es constante, el movimiento es acelerado debido a que la dirección de la velocidad está cambiando. La velocidad es un vector, y cualquier cambio en ese vector, ya sea en magnitud o en dirección o en ambos, implica aceleración. Cuando una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el movimiento queda descrito por una sola
variable, el ángulo θ , que puede ser dependiente del tiempo θ(t). Supongamos que durante un intervalo de tiempo
dt , el cambio de ángulo es dθ (Figura 1).
Figura 1. Descripción de un movimiento circular.
La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por: ds = r d θ. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt, obtenemos una ecuación para la velocidad del movimiento:
donde dθ/dt^ es la rapidez de cambio del ángulo^ θ^ y se define como la^ velocidad angular,^ se denota por^ ω^ y sus
dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En términos de ω , tenemos que: v = r ω
El MRU no es acelerado, pero el MCU sí lo es.
Pero, ¿cómo? Si la velocidad es constante..........? Veámoslo paso a paso con la ayuda de un dibujo. La aceleración como sabemos es:
Tomemos dos velocidades tangenciales: Para ilustrar mejor el resultado, consideramos dos vectores velocidad ubicados simétricamente alrededor del punto central. El resultado es independiente del método que nosotros utilizaremos. En el dibujo, se ilustra el origen de la aceleración centrípeta. Para ello se consideran las velocidades tangenciales (flechas de color naranja y rojo) entre dos instantes separados por un intervalo Dt, simétricas con respecto a la vertical, sólo para ilustra mejor la idea. La diferencia entre la velocidad tangencial final (flecha roja), y la inicial (flecha naranja), dividida por el intervalo Dt, es la aceleración centrípeta. (flecha de color verde).
Ahora se muestran los arcos que se tomaron para el muestreo de las velocidades rojas y naranjas (arcos en azul). A medida que tomamos un arco más chico, vemos que el Dv es más pequeño. Mirando el dibujo, diríamos que el Dv es cero para puntos muy cercanos, pero esto no es correcto, porque al tomar arcos pequeños, el tiempo en el cual varia la velocidad también se achica, esto es en la misma proporción por lo tanto, la aceleración centrípeta es constante y apunta hacia el centro de la circunferencia.
Conclusión: Para que la partícula siga un MCU , es necesaria la existencia de una aceleración, la llamaremos aceleración centrípeta, apunta hacia el centro, y, en el caso del movimiento circular uniforme, su magnitud es constante a lo largo de la circunferencia. Sólo cambia su dirección, manteniéndose hacia el centro de la circunferencia siempre. No vamos a demostrar esto, pero el valor de esta aceleración es:
O lo mismo, pero haciendo un reemplazo:
VELOCIDAD EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
En el movimiento circular uniforme la velocidad cambia de dirección pero su módulo permanece constante. En los movimientos curvilíneos la dirección tanto del vector velocidad y aceleración cambian en el tiempo. Eso significa que la velocidad y aceleración considerada como vector y podrán variar cuando varíen sólo su dirección, su módulo o, en el caso más general, cuando varíen ambos. En un M.C.U. como es constante (magnitud, dirección y sentido), significa que también lo es su rapidez. Por otro lado, como el vector velocidad es tangente a la trayectoria, en dicho movimiento tal vector será tangente a la circunferencia y de tamaño constante en todo instante, es decir,
VELOCIDAD ANGULAR EN EL MCU
En el MCU, el vector de posición del punto (o radio vector) gira describiendo ángulos. La razón entre el ángulo girado y el tiempo empleado en hacerlo se llama velocidad angular. En el caso del MCU, los ángulos girados en intervalos de tiempo iguales son iguales, de forma que la velocidad angular del MCU es constante. La ecuación general que nos da el ángulo girado en el intervalo de tiempo t es:
F 0 6 A =^
F 0 6 Ao^ +^
F 0 7 7 · t θ-θ (^) 0=ω(t-t (^) 0) Velocidad angular = donde:
- F 06 Ao es el ángulo de posición inicial.
- F 07 7 la velocidad angular.
- t el tiempo.
- La unidad de velocidad angular es el radián/s En MCU, la velocidad angular es constante, es decir, recorre ángulos iguales en tiempos iguales. La velocidad angular es un vector, es decir tiene una magnitud, dirección y sentido. La velocidad angular ( F 07 7), al igual que la velocidad lineal es una magnitud vectorial, la cual se representa mediante un vector que es perpendicular al plano de la circunferencia que describe la partícula. y de sentido dado por el avance de un tornillo que gire en el sentido del movimiento que tiene el móvil o la partícula.
La velocidad angular se medirá como el cociente entre un ángulo y un tiempo. En el Sistema Internacional, el ángulo se mide en radianes y el tiempo en segundos, por lo que la velocidad angular se medirá en radianes por segundo (rad/s), pero también es habitual medirla en revoluciones por minuto (r.p.m.), que es como aparece, por ejemplo, en las especificaciones técnicas de los automóviles e, incluso, en revoluciones por segundo (r.p.s.). Dada la definición de velocidad angular , para calcular el ángulo recorrido, basta pasar el tiempo, que está dividiendo, multiplicando a la velocidad angular: F 0 6 A =^
F 0 7 7 · t ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD ANGULAR EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA La ecuación de la velocidad angular en función del periodo es:
pero Luego: F 0 D E
F 0 7 7 = 2^
F 0 7 0 f VELOCIDAD TANGENCIAL O LINEAL EN EL M.C.U. Cuando un objeto recorre un ángulo (velocidad angular), describe una curva, es decir, recorre también una longitud. La longitud será tanto mayor cuanto mayor sea el radio de la circunferencia. ¿Cuál será el valor de la velocidad lineal? Se define velocidad tangencial o lineal media como la tasa entre el arco recorrido por la partícula y el tiempo empleado en cubrir dicha distancia. En el caso de MCU su valor coincide, evidentemente, con los valores numéricos instantáneos y por ello se habla de velocidad lineal. Además:
En el MCU, la velocidad no varía con el tiempo. Es un vector y tiene dirección tangente a la circunferencia que describe la partícula. Esquema:
Ejemplo : De este dibujo podemos sacar relaciones que no son tan básicas como las otras, pero son igualmente útiles para el análisis de movimiento.
ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA EN UN MCU La aceleración normal o centrípeta es la variación de la dirección del vector velocidad dividido por la variación del tiempo. La aceleración de un movimiento curvilíneo se puede descomponer en una componente tangencial (responsable de los cambios en el módulo del vector velocidad) y una componente normal a la trayectoria (responsable de los cambio de dirección del vector velocidad). En el MCU, la dirección del vector velocidad varía en cada instante, manteniéndose invariable su módulo, ya que la velocidad lineal es, por definición, constante. Para el MCU, la aceleración normal tiene la dirección perpendicular a la trayectoria y su relación con la velocidad y el radio de giro es:
En el movimiento rectilíneo, la aceleración es el cambio constante que experimenta la velocidad por unidad de tiempo: la velocidad cambia sólo en valor numérico pero no en dirección. Sin embargo, cuando el móvil o la partícula realiza un movimiento circular uniforme, es lógico pensar que en cada punto el valor numérico de la velocidad es el mismo, pero es fácil darse cuenta que la dirección de la velocidad va cambiando a cada instante. La variación de dirección del vector lineal origina una aceleración que llamaremos aceleración centrípeta. Esta aceleración tiene la dirección del radio apuntando siempre hacia el centro de la circunferencia, razón por la cual también se llama Aceleración Radial, centrípeta o normal. Es la única que aparece en el movimiento circular uniforme. La aceleración es un vector que, cuando Δt → 0, tiene una dirección perpendicular a la velocidad tangencial
(la misma que la del radio) apuntando siempre al centro del círculo. Es por eso que se la llama aceleración centrípeta. Las direcciones de la velocidad tangencial y de la aceleración centrípeta, son perpendiculares. La magnitud de la velocidad tangencial (v, v 1 , v 2 ) y la aceleración centrípeta permanecen constante durante todo el movimiento circular uniforme; lo único que cambia son las direcciones de los vectores.
Es decir, un cuerpo, al girar, está sometido a una fuerza y a una aceleración. Esa fuerza se denomina fuerza centrípeta y se dirige hacia el centro del giro. Como es lógico la aceleración que origina también se denomina aceleración centrípeta, también dirigida hacia el centro. El valor de la aceleración centrípeta es: , donde v^2 es la velocidad lineal del objeto y r el radio. Como v = F 07 7 · r, la aceleración centrípeta en función de la velocidad angular queda: a c = F 07 7^2 · r. Puesto que la fuerza es el producto de la masa por la aceleración, la fuerza centrípeta tendrá el valor Fc = m · v^2 /r o, en función de la velocidad angular, Fc = m · F 07 7^2 · r , donde Fc es la fuerza centrípeta y m la masa del cuerpo que gira. Si en el instante t 1 el móvil lleva una velocidad y en el instante t 2 la velocidad es , el cambio del vector
velocidad será:. La rapidez de ese cambio: se llama aceleración normal, radial o centrípeta^ (porque apunta hacia el centro de la circunferencia) y es perpendicular o normal a la trayectoria de dicha velocidad.
Como el vector velocidad es siempre tangente a la circunferencia, será a su vez perpendicular al vector de posición.
Entonces, el ángulo F 06 A entre los vectores será el mismo que entre los dos vectores.
Así, de la definición de ángulo F 06 A = s/r y como por otro lado , al igualar ambas expresiones, obtenemos: s/r = y al ser un movimiento uniforme, s = v · t. Por tanto, F 0B EF 0B EF 0A E^ F 0B EF 0A E.
Pero como es la fórmula de la aceleración normal o centrípeta, tenemos que = a (^) n =.
Su dirección es la del radio (normal o perpendicular a la trayectoria), su sentido es hacia el centro de la circunferencia y su módulo es el cociente entre el cuadrado de la velocidad tangencial y el radio de la circunferencia descrita: an = MOVIMIENTO PERIÓDICO EN EL MCU Si una partícula realiza un movimiento circular uniforme, al cabo de cierto tiempo volverá al mismo punto del que partió. En este caso, la partícula describe un movimiento periódico. Por otro lado, como el movimiento es uniforme, es posible definir las cantidades período ( T ) y frecuencia ( f ).
PERIODO EN UN MCU Un concepto importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período. Se llama periodo T de un MCU al tiempo que tarda el móvil en recorrer la circunferencia (dar una vuelta completa). Y como la distancia recorrida en una revolución (una circunferencia completa) es 2πr, el período T es: v = 2 π r / T 2 π r = v T
Nota.- vlineal = F 07 7 · r
Las unidades del periodo en el Sistema Internacional (SI) se expresan en segundos.
FRECUENCIA EN UN MCU La frecuencia f de un MCU es el número de vueltas que da el móvil en la unidad de tiempo, por lo general se expresa en segundo o ciclos / segundo: ,
La frecuencia es la inversa del periodo. La unidad de frecuencia en el S.I. es (también llamado herzio, Hz) En efecto, como un periodo es lo que tarda un móvil en completar una vuelta, su inversa sería las vueltas que dicho móvil realiza en la unidad de tiempo = frecuencia. Expresemos las velocidades lineal y angular en función de estas dos nuevas magnitudes. En un periodo de tiempo t (=T) el móvil describe una vuelta F 06 A = 2 F 07 0. Luego:
entonces:
Cuanto más rápido gire un cuerpo, menos tardará en dar una vuelta completa, por lo que su periodo será menor y su frecuencia mayor. La velocidad angular quedará entonces:
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de
tiempo que tiende a cero.
ACELERACIÓN NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA EN UN M.C. V. En el caso en el cual una partícula que siguiendo una trayectoria circular cambia de velocidad (movimiento circular no uniforme (o variado), como por ejemplo, un objeto que sujeto a una cuerda inextensible se hace girar en un círculo vertical desde el reposo y se va aumentando gradualmente la velocidad), entonces la magnitud y la dirección de la velocidad cambian y por lo mismo, la aceleración no puede ser ni paralela ni perpendicular a la velocidad. Pero podemos descomponer el vector aceleración en dos componentes, una paralela y otra perpendicular a la velocidad. Se le llama aceleración normal (an ) o centrípeta a la aceleración perpendicular a la velocidad porque se dirige hacia el centro de la trayectoria circular. La aceleración normal o centrípeta se encarga de cambiar solamente la dirección de la velocidad y actúa igual que la aceleración en el movimiento circular uniforme, y su magnitud es a n = v^2 / r. ACELERACIÓN TANGENCIAL EN UN M.C. V. La aceleración tangencial es la variación del módulo de la velocidad en el tiempo. Es un vector tangente a la trayectoria y de módulo igual al cociente entre dicha variación y el tiempo en que se produce :
Si el movimiento circular no es uniforme, sino variado, además de cambiar la dirección de la velocidad, cambia también su módulo con el tiempo. A la aceleración paralela a la velocidad se le llama aceleración tangencial por ser tangente a la trayectoria circular. La aceleración tangencial sólo aparece en el movimiento circular variado La aceleración tangencial se encarga de cambiar solo la magnitud de la velocidad, y actúa igual que en el movimiento en una dimensión; siendo su magnitud a (^) T = dv / dt
La magnitud del vector aceleración o la aceleración neta, puede calcularse con la combinación de éstas dos componentes mediante la relación y el ángulo comprendido entre la aceleración neta y la aceleración radial se
determina por
Podemos relacionar la aceleración con el ángulo F 06 1:
. En un movimiento circular uniforme, al ser la velocidad angular F 07 7 constante, la aceleración angular^ F 06 1 = 0, por lo que no existirá aceleración tangencial (a (^) t =0) 3) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
Si la aceleración angular F 06 1 es constante y la velocidad angular F 07 7 varía siempre al mismo ritmo, el movimiento se llama circular uniformemente variado. Por analogía con el M.R.U.A., sus ecuaciones son:
4) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO
Este movimiento se caracteriza por tener aceleración angular constante. Este movimiento queda determinado por ecuaciones análogas al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
- Aceleración angular constante: a = constante.
- Velocidad angular: F 07 7=^ F 07 7o + at
- Ángulo recorrido (en radianes):
Habitualmente, el instante inicial t 0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente
acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ-θ (^0)
Este movimiento significa que tiene el radio constante y que tiene aceleración angular constante. De esta
forma como la aceleración angular media coincide con la instantánea,
es decir,
Por otro lado, como la gráfica de (5.10) es una línea recta y el área bajo la curva debe dar el desplazamiento F 04 4F 06 A =^ F 06 A
F 0 6 A =^
F 0 6 Ao^ +^
F 0 7 7o^ · t + ½^ a^ · t^2 (5.11)
Igual que en el movimiento rectilíneo:
- cuando se trata de un movimiento circular uniformemente acelerado
- para uno desacelerado.
VELOCIDAD ANGULAR Para describir un movimiento circular se elige la opción angular, es decir, en términos de variación del ángulo F 0 6 A con el tiempo. Se hace necesario entonces, introducir otras magnitudes angulares que desempeñen el mismo papel que la velocidad y la aceleración en la descripción lineal. Así se define la velocidad angular media como el cociente entre el ángulo barrido y el tiempo empleado.
Si nos referimos a la rapidez con que el móvil describe el ángulo F 06 A de ese arco, tendremos la idea de velocidad angular. Se llama velocidad angular F 07 7 de un movimiento circular a la razón entre el ángulo descrito en la trayectoria y el tiempo invertido en ello = número de radianes que recorre un móvil en un segundo.^ Es la variación del ángulo con respecto al tiempo. La partícula en una vuelta recorre , y demora T unidades de tiempo, entonces:
Si medimos los ángulos en sistema circular (radianes) el ángulo que se forma al dar una vuelta (un giro) es
2 π, así pues
Donde T es el período, tiempo que tarda en dar una vuelta.
VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA
Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
De acuerdo con su definición, la unidad de en el SI será el rad / s.
ACELERACIÓN
La aceleración se produce cuando se manifiesta un cambio de velocidad. ACELERACIÓN ANGULAR Si un cuerpo gira, debe existir una fuerza que lo obliga a girar, ya que según la primera ley de Newton, si
sobre un cuerpo no se ejerce ninguna fuerza permanecerá en reposo o se moverá con movimiento rectilíneo y uniforme y ,al girar, debe estar sometido a una fuerza y a una aceleración. La rapidez con que un punto recorre una longitud de arco s constituye la velocidad lineal o tangencial y si
consideramos el ángulo F 06 A, correspondiente a ese arco, tenemos su velocidad angular.
Si en un movimiento circular, el móvil recorre arcos distintos en tiempos iguales, o lo que es lo mismo, el ángulo que barre el radio vector no es el mismo en cada intervalo de tiempo, tendremos que la velocidad (tangencial y angular, respectivamente) no es constante. Esta variación de velocidad en un movimiento circular sucede, por ejemplo, cuando en un tocadiscos pasamos
de 33 a 45 rpm o viceversa; en este caso, es un motor el que se encarga de producir este cambio de velocidad angular y, por tanto, en la velocidad lineal del disco. También se observa una variación de la velocidad angular y lineal en una ruleta de casino: al principio del juego, ésta gira a gran velocidad pero a medida que va pasando el tiempo, el rozamiento la va frenando, disminuyendo su velocidad hasta pararla. En función de su velocidad angular, diremos que:
- Un movimiento circular es uniforme cuando dicha velocidad angular es constante.
- Un movimiento circular es variado dicha velocidad angular no es constante. En este último caso existirá una variación de la velocidad angular con el tiempo. Dado que la velocidad angular puede variar con el tiempo, es necesario introducir una magnitud que dé idea de la rapidez con la que dicha variación tiene lugar; esto es, lo que se entiende por aceleración angular.,
Se llama aceleración angular F 06 1de un movimiento circular, a la razón entre la variación de la velocidad angular y el tiempo en que se produzca : (5.4) Unidad en el S.I. = La aceleración angular F 06 1 también es un vector:
- Cuyo módulo es
- Su dirección es la de la velocidad angular F 07 7.
- Su sentidos es:
- El de la velocidad angular si F 07 7 aumenta.
- De sentido contrario a la velocidad angular si F 07 7 disminuye.
De las definiciones dadas se deducen sus respectivas ecuaciones de dimensión:
[ F 07 7] =;^ (2.19) que justifican las unidades de las mismas: F 0 7 7 = rad / seg ;^ a^ = rad / s^2 ACELERACIÓN ANGULAR MEDIA Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.
ACELERACIÓN ANGULAR INSTANTÁNEA
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
ACELERACIÓN NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA EN UN M.C. no U. En el caso en el cual una partícula que siguiendo una trayectoria circular cambia de velocidad (movimiento circular no uniforme, como por ejemplo, un objeto que sujeto a una cuerda inextensible se hace girar en un círculo vertical desde el reposo y se va aumentando gradualmente la velocidad), entonces la magnitud y la dirección de la velocidad cambian y por lo mismo, la aceleración no puede ser ni paralela ni perpendicular a la velocidad. Pero podemos descomponer el vector aceleración en dos componentes, una paralela y otra perpendicular a la velocidad. Se le llama aceleración normal (an ) o centrípeta a la aceleración perpendicular a la velocidad porque se dirige hacia el centro de la trayectoria circular. La aceleración normal o centrípeta se encarga de cambiar solamente la dirección de la velocidad y actúa igual que la aceleración en el movimiento circular uniforme, y su magnitud es a n = v^2 / r. ACELERACIÓN TANGENCIAL EN UN M.C. no U. Si el movimiento circular no es uniforme, sino variado, además de cambiar la dirección de la velocidad, cambia también su módulo con el tiempo. A la aceleración paralela a la velocidad se le llama aceleración tangencial por ser tangente a la trayectoria circular. La aceleración tangencial sólo aparece en el movimiento circular variado La aceleración tangencial se encarga de cambiar solo la magnitud de la velocidad, y actúa igual que en el movimiento en una dimensión; siendo su magnitud a (^) T = dv / dt
La magnitud del vector aceleración o la aceleración neta, puede calcularse con la combinación de éstas dos componentes mediante la relación y el ángulo comprendido entre la aceleración neta y la aceleración radial se determina por La aceleración tangencial es la variación del módulo de la velocidad en el tiempo. Es un vector tangente a la trayectoria y de módulo igual al cociente entre dicha variación y el tiempo en que se produce :
Podemos relacionar la aceleración con el ángulo F 06 1: . En un movimiento circular uniforme, al ser la velocidad angular F 07 7 constante, la aceleración angular^ F 06 1 = 0, por lo que no existirá aceleración tangencial (a (^) t =0) ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
El valor instantáneo se calcula así:
. (5.5) COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN En determinadas ocasiones interesa expresar el vector aceleración en función de sus componentes intrínsecas : La aceleración tangencial y la aceleración normal , dirigidas según la tangente y la normal a la trayectoria respectivamente, como se puede observar en la Fig 3.2 .Las expresiones que permiten el cálculo de ambas componentes son:
Observar que v representa la celeridad o módulo de la velocidad instantánea.En función de sus componentes intrínsecas el vector aceleración instantánea se escribe:
R representa el radio de curvatura de la trayectoria.El módulo del vector aceleración será:
En algunos casos, interesa expresar las componentes intrínsecas de la aceleración en función de los vectores unitarios.Puede demostrarse facilmente que:
