Apunts regims financers, Apuntes de Gestión Financiera

¡Descarga Apunts regims financers y más Apuntes en PDF de Gestión Financiera solo en Docsity!

Tema 2. RÈGIMS FINANCERS

Autors: Isabel Morillo López

Lluís Bermúdez Morata

Sigui:

• : Quantia inicial.
• : Quantia final.
• = ^ −  > 0: Termini de l’operació, expressat en anys.
• : constant de proporcionalitat o tipus d’interès anual, en tant per u.
• : Preu o Interès total de l’operació en unitats monetàries (u.m.).

L’ esquema de l’operació és el següent:

Del primer punt de l’acord, tenim que: ^ =  + 

i, al segon punt, s’estableix la forma de calcular el preu ( Y ) de l’operació:

De les dues expressions anteriors, obtenim:

^ =  +  =  +  ∙  ∙ =  ∙
1 +  ∙ 

El tant d’interès és un tant anual, de manera que el termini de l’operació ha d’expressar-se en anys.

L’ esquema temporal de l’operació és:

D’aquesta operació es dedueixen els següents preus:

• Preu absolut:  = ^ − . És el preu en unitats monetàries.

Considerem les següents operacions:

×
1 +  ∙ 

 ^ =  + 

^ =  ∙
1 +  ∙ 

Em ambdues operacions el preu absolut és  = 1.100 − 1.000 = 100. Aquest preu absolut, però, té limitacions ja que no proporciona informació de tota l’operació, perquè no és el mateix cobrar/pagar un preu, per exemple de 100€ per disposar/cedir 1.000€, que per disposar/cedir 10.000€.

• Preu relatiu:  =

 . És el preu per cada unitat monetària.

El preu relatiu proporciona més informació que l’absolut, perquè seguint amb l’exemple anterior, en el primer cas, el preu relatiu és igual a  = (^)  = 0,1, és a dir, per cada unitat monetària s’ha pagat/cobrat 0,1, mentre que en el segon cas, el preu relatiu és igual a  =  . = 0,01, per tant, en aquest segon cas, s’ha pagat/cobrat un preu inferior per unitat monetària.

• Preu relatiu i anual :  = 

 ∙ =^

 ∙. És el preu per unitat monetària i any.

Considerem les següents operacions:

Em ambdues operacions tant el preu absolut
 = 100 com el preu relatiu
 = 0,1 són iguals, però les operacions no ho són perquè la primera té un termini d’un any i la segona de dos anys. Per tant, per tenir en compte el termini de l’operació en el preu, es defineix el preu relatiu i anual, que en el primer cas és  = (^) .∙ = 0,1 i en el segon cas és  =  .∙ = 0,05. El tipus d’interès anual simple vençut és un preu relatiu i anual

Exemple

En un dipòsit bancari pactat al 10% anual d’interès interès simple vençut i per a un termini de 2 anys, s’han ingressat 1.000€. Es demana:

a) Saldo acumulat al final del termini. b) Els preus de l’operació financera.

0 1 any

0 1 any

0 2 anys

0 1 any

4. Règim financer d’interès compost

Si una operació de finançament es pacta en règim financer d’ interès compost , els subjectes de l’operació els subjectes de l’operació acorden que:

a) El preu es paga al final de l’operació conjuntament amb la devolució de la quantia inicialment cedida.

b) El termini de l’operació es divideix en períodes de càlcul d’interessos. Aleshores, els interessos es calculen en cada període i es determinen aplicant una constant de proporcionalitat, i , a la quantia inicial de cada període i a la durada d’aquest.

El primer punt de l’acord coincideix amb el del règim financer d'interès simple vençut. El que diferencia un règim i un altre és la manera de calcular el preu. En el règim d'interès simple vençut, el preu es calcula un sol cop en el termini sobre la quantia inicial i sobre el termini de l'operació, mentre que en el règim d'interès compost els interessos es generen en cada període i s'acumulen al capital, generant nous interessos en els períodes següents, produint-se la denominada capitalització dels interessos.

Coincidint amb el règim financer d’interès simple vençut, definim:

• : Quantia inicial.
• ′: Quantia final.
• = ^ − : Termini de l’operació en anys.
• : constant de proporcionalitat o tant anual d’interès, en tant per u.

I, per introduir la periodicitat pròpia de l’interès compost, definim:

• ( és la freqüència de capitalització, és a dir, el nombre de períodes en què es calculen

interessos en un any. Així, si els interessos es calculen amb periodicitat:

• Anual: ( = 1
• Semestral: ( = 2
• Quadrimestral: ( = 3
• Trimestral: ( = 4
• Bimensual: ( = 6
• Mensual: ( = 12
• , és el nombre total de períodes de càlcul d’interessos en tot el termini de l’operació

, = ( ∙ .

• - és el capital acumulat després de. períodes
  . = 1, 2, ⋯ , ,. Per tant, ^ =  0.

L’esquema temporal corresponent a aquest règim és:

A continuació i per determinar l’expressió que caracteritza al règim financer d’interès compost, analitzarem l’evolució de la quantia des de 0 fins a :

. Quantia

0 



( ^4 =^ ^ +^ ^ ∙^ ^ ∙^

4

( ′^ =^ ^0 =^ ^ ∙^21 +^ ^ ∙^

0

Per tant, la relació entre la quantia final i la quantia inicial que es dedueix de l’aplicació dels pactes del règim financer d’interès compost a tant constant és:

Exemple

Calculeu el capital final que s’obté al dipositar 1.000 durant 2 anys al 10 % anual d’interès si:

a) s’aplica interès simple vençut, b) s’aplica interès compost amb capitalització anual, c) s’aplica interès compost amb capitalització semestral, d) s’aplica interès compost amb capitalització mensual.

Solució:

   ⋯ - ⋯ ^ =  0

 6

 6 ⋯^

6 ⋯^

0 6 =^ anys

0 1 2 ⋯. ⋯ , períodes de capitalització

^ =  ∙ 21 +  ∙

0 =  ∙ 21 +  ∙

6 ∙

interessos generats en el segon any pels interessos obtinguts en el primer any
0,10 ∙ 100 = 10^.

c) En aquest cas, les variables que hem de tenir en compte, a més a més, són:

• Freqüència de càlcul d’interessos dintre de l’any: ( = 2 (semestral)
• Termini de l’operació, en anys: = 2, per tant, el nombre total de períodes de càlcul d’interessos és: , = 2 ∙ 2 = 4 semestres.

L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:

El capital final s’obté de:

^ = 1.000 ∙ 21 + 0,10 ∙

∙ = 1.000 ∙
1 + 0,05^7 = 1.215,51€

Com es pot observar, comparant amb el capital final obtingut en l’apartat b) en què la freqüència de càlcul d’interessos era anual, el capital final ara obtingut, és superior, donat que ara es calculen dues vegades interessos dintre de l’any (a l’apartat b, només una) i els interessos s’afegeixen al capital inicial per generar, a la seva vegada, més interessos.

d) En aquest cas, hem de tenir en compte, a més, les següents variables:

• Freqüència de càlcul d’interessos dintre de l’any: ( = 12 (mensual)
• Termini de l’operació, en anys: = 2, per tant, el nombre total de períodes de càlcul d’interessos és: , = 12 ∙ 2 = 24 mesos.

L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:

anys

1. 000    4  7 = ^ = 1. 215 , 51

0 ^ ^4 ^7  = 2

× 21 + 0 , 10 ∙

7

0 1 2 3 4 semestres

anys

1. 000   ... 4 7 = ^ = 1. 220 , 39

 

  ...^

 

  =^2

× 21 + 0 , 10 ∙



0 1 2 ... (^23 24) mesos

El capital final s’obté de:

^ = 1.000 ∙ 91 + 0,10 ∙ :

∙ = 1.000 ∙
1 + 0,00837^ = 1.220,39€

En aquest cas, com dintre de l’any es calculen interessos més vegades que en els apartats b) i c) el capital final obtingut és superior.

Com a conclusió es pot dir que quant més elevada és la freqüència de capitalització, més vegades es calculen interessos i, per tant, més ràpidament s’acumulen interessos, obtenint una quantia final més gran.

4.1 Tipus de interès: Tipus nominal i tipus efectiu

• Tipus nominal d’interès

En el règim financer d’interès compost una freqüència de capitalització diferent determina capitals finals diferents. Per aquesta raó, el tipus d’interès anual o preu relatiu i anual, , s’anomena tipus nominal d’interès i el denotarem mitjançant 
6, on  ens informa que és un tipus referit a l’any (anual) i
( ens indica com el farem servir, això és, el nombre de vegades que calculem els interessos en un any (freqüència de capitalització).

Si considerem els tipus d’interès de l’anterior exemple:

• Un 10% amb capitalització anual es representa mitjançant 
   = 0,10 i simbolitza un tipus nominal d’interès capitalitzable anualment. És un tipus anual i els interessos es calcularan anualment.
• Un 10% amb capitalització semestral es representa mitjançant 
   = 0,10 i simbolitza un tipus nominal d’interès capitalitzable semestralment. És un tipus anual i els interessos es calcularan semestralment.
• Un 10% amb capitalització semestral es simbolitza mitjançant 
   = 0,10, és a dir, simbolitza un tipus nominal d’interès capitalitzable mensualment. És un tipus anual i els interessos es calcularan mensualment.

Tot i que el tipus anual és el mateix numèricament en els tres casos, cal anomenar-los de forma diferent, perquè com hem pogut comprovar en la resolució de l’exemple anterior, de la seva aplicació resulten quanties finals diferents.

Si utilitzem 
6 per simbolitzar el tipus nominal d’interès, l’expressió que caracteritza al règim financer d’interès compost es pot escriure com:

• Tipus efectiu d’interès

S’anomena tipus efectiu d’interès al preu unitari d’interès

&
< 6 , i a diferència del tipus nominal està referit al període de càlcul d’interessos. El tipus efectiu  6 , on  ens informa que és un tipus referit al període de càlcul d’interessos utilitzat (anual, semestral, trimestral, mensual,...) i ( ens indica precisament quin és aquest període.

^ =  ∙ 21 +

6 ∙

Solució:

a) 6% anual amb capitalització semestral

Ens indica, per una banda, que és un tipus anual i, per una altra, com es calcularan els interessos dintre de l’any (capitalització semestral), és, per tant, un tipus d’interès nominal: 
 = 0,06.

b) 3% anual amb capitalitzable trimestralment

En aquest cas, també, ens indica que és un tipus anual i com es calcularan els interessos dintre de l’any (capitalitzable trimestralment, quatre cops dintre de l’any), és, per tant, un tipus d’interès nominal 
7 = 0,03.

c) 3% anual

Només ens indiquen que és un tipus anual, per tant, els interessos es calcularan anualment i en aquest cas el tipus nominal i el tipus efectiu coincideixen, per tant, 
 =  = 0,03.

d) 1% mensual

Només ens indiquen que és un tipus mensual, per tant, es tracta directament d’un tipus d’interès efectiu,  = 0,01.

NOTA:

En el règim d’interès compost, abans d’aplicar l’expressió que li caracteritza, haurem de respondre a 3 preguntes:

1. Quantes vegades calculo interessos en un any?

Hem de determinar quina és la freqüència de càlcul d’interessos, A , i aquesta informació ens la proporciona el tipus d’interès de valoració ja sigui expressat com un tipus nominal o com un tipus efectiu.

2. Quin tipus d’interès utilitzem cada cop que calculem interessos?

El tipus d’interès que utilitzem cada cop que calculem interessos, és el tipus efectiu amb la freqüència de càlcul d’interessos, BA_. En l’operació a valorar, es pot donar la informació sobre el tipus d’interès a través del tipus efectiu directament, o bé mitjançant un tipus nominal,_ 
6. En aquest últim cas, hauríem de calcular el tipus efectiu corresponent:  6 =

&
< 6_._

3. Quantes vegades calculo interessos en tot el termini de l’operació? A partir del termini de l’operació en anys, , podem determinar, quants períodes hi ha de càlcul d’interessos: C = ( ∙.

Exemple

Calculeu el capital final de 1.000 euros dipositats durant 2 anys, si:

a) el tipus d’interès aplicat és un 10% anual amb capitalització trimestral, b) el tipus d’interès aplicat és un 5% semestral.

Solució:

a) El tipus d’interès aplicat és un 10% anual amb capitalització trimestral.

Si responem a les 3 preguntes:

1. Quantes vegades calculo interessos en un any?

El tipus d’interès aplicat té capitalització trimestral, és a dir, es calculen interessos 4 cops a l’any: ( = 4.

2. Quin tant per u d’interès utilitzem cada cop que calculem interessos?

Donat que la freqüència de càlcul d’interessos és ( = 4, hem de determinar el tipus efectiu trimestral  7. El tipus de valoració que proporciona l’enunciat, en aquest cas, és un tipus nominal 
7 = 0,10, i, per tant, el tipus d’interès que utilitzem cada cop que calculem interessos és el tipus efectiu trimestral:  7 =

, 7 = 0,025.

3. Quantes vegades calculo interessos en tot el termini de l’operació?

Calculem interessos 4 cops a l’any, com l’operació té un termini de 2 anys, el nombre total de períodes de càlcul d’interessos és: , = 4 ∙ 2 = 8 trimestres.

L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:

Finalment, aplicant l’expressió del règim financer d’interès compost, el capital final s’obté de:

^ = 1.000 ∙
1 +  7 7∙^ = 1.000 ∙
1 + 0,025D^ = 1.218,40 €

1. 000   ... E D = 

×
1 + 0 , 025 D

0 1 2 ... (^7 8) trimestres

Finalment, tenint en compte les propietats de les potències, obtenim l’expressió per actualitzar o descomptar un capital financer:

L’ esquema temporal que resum les operacions de capitalització i d’actualització , seria el següent:

Exemple

Si avui s’han retirat 1.215,51€ d’un dipòsit, pactat al 10% anual amb capitalització semestral, que es va obrir fa 2 anys, quina és la imposició inicial amb la que es va constituir el dipòsit?

Solució:

Les variables que coneixem i el seu valor són:

• Quantia acumulada en el dipòsit: ′ = 1.215,51€.
• El tipus d’interès aplicat té capitalització semestral, és a dir, es calculen interessos 2 cops a l’any: ( = 2.
• Donat que la freqüència de càlcul d’interessos és ( = 2, hem de determinar el tipus efectiu semestral . El tipus de valoració que proporciona l’enunciat, en aquest cas, és un tipus nominal 
   = 0,10, i, per tant, el tipus d’interès que utilitzem cada cop que calculem interessos és el tipus efectiu semestral:  = , = 0,05.
• Calculem interessos 2 cops a l’any, com l’operació té un termini de 2 anys, , el nombre total de períodes de càlcul d’interessos és: , = 2 ∙ 2 = 4 semestres.

L’ esquema temporal d’aquesta operació és el següent:

La imposició inicial l’obtindrem d’actualitzar el capital final de l’operació :

 = ′ ∙
1 +  6 0^ = 1.215,51 ∙
1 + 0,057^ = 1.000 €

Noteu que en aquest exemple hem fet el camí invers que el fet a l’apartat b) de l’exemple de la pàgina 14. Actualitzar un capital és descomptar els interessos que té acumulats implícitament.

semestres

×
1 +  6 ^0

×
1 +  6 ^0

actualització

capitalització

 = ′ ∙
1 +  6 ^0

4.2 Tipus efectius d’interès equivalents

Ja hem vist en el subapartat 2.2.1, que donat un capital inicial  i un termini , el mateix tipus nominal determina diferents quanties finals ′ segons la freqüència de capitalització utilitzada. Anem a recordar-ho amb un exemple:

Exemple

Calculeu el capital final de 1.000€ dipositats durant un any si:

a) S’aplica interès compost al 10% anual amb capitalització anual. b) S’aplica interès compost al 10% anual amb capitalització semestral.

Solució:

a) Les variables que coneixem i el seu valor són:

• Quantia inicial ingressada en el dipòsit:  = 1.000€.
• El tipus d’interès aplicat té capitalització anual, és a dir, es calculen interessos 1 cop dintre de l’any: ( = 1.
• Donat que la freqüència de càlcul d’interessos és ( = 1, hem de determinar el tipus efectiu anual . El tipus de valoració que proporciona l’enunciat, en aquest cas, és un tipus nominal 
   = 0,10, i, per tant, el tipus d’interès que utilitzem cada cop que calculem interessos és el tipus efectiu anual:  = 
   = 0,10.
• Calculem interessos 1 cop a l’any, com l’operació té un termini d’ 1 any, , el nombre total de períodes de càlcul d’interessos és: , = 1 ∙ 1 = 1 any.

L’ esquema temporal d’aquesta operació és:

El capital final, , que s’obté aplicant règim financer d’interès compost és:

^ = 1.000 ∙
1 + 0,10^ = 1.100€

b) Les variables que coneixem i el seu valor són:

• Quantia inicial ingressada en el dipòsit:  = 1.000€.
• El tipus d’interès aplicat té capitalització semestral, és a dir, es calculen interessos 2 cops dintre de l’any: ( = 2.
• La freqüència de càlcul d’interessos és ( = 2, per tant, hem de determinar el tipus efectiu semestral . El tipus de valoració que proporciona l’enunciat, en aquest cas, és un tipus nominal 
   = 0,10, i, per tant, el tipus d’interès que utilitzem cada cop que calculem interessos és el tipus efectiu semestral:  = , = 0,05.

×
1 + 0 , 10 

any

1 +  6 ^6 =
1 + 66

Si aïllem 6 obtenim:

Exemple

a) Quin tipus efectiu anual és equivalent a un 5% semestral? b) Quin tipus efectiu semestral és equivalent a un 10% anual?

Solució:

a) Si hem de calcular el tipus efectiu anual, , equivalent a un tipus semestral del 5%,  = 0,05,
 ∼  = 0,05, la freqüència del tipus d’interès que busquem és (^ = 1 i la del tipus d’interès que coneixem és ( = 2 , per tant, hem de plantejar la següent igualtat:

1 +  =
1 + ^ ⟹  =
1 + ^ − 1

 =
1 + 0,05^ − 1 = 0,

Anem a comprovar que són equivalents calculant la quantia final que obtindríem, a partir d’una quantia inicial de 1.000€ i per a un termini d’un any, aplicant  i :

^ = 1.000 ∙
1 + 0,05^ = 1.102,5€

^ = 1.000 ∙
1 + 0,1025 = 1.102,5€

En resum, podem dir que aplicar un 5% semestral dos cops, és el mateix que aplicar un 10,25% anual un cop.

b) Si hem de calcular el tipus efectiu semestral, , equivalent a un tipus anual del 10%,  = 0,05,
 ∼  = 0,10 la freqüència del tipus d’interès que busquem és (^ = 2 i la del tipus d’interès que coneixem és ( = 1 , per tant, hem de plantejar la següent igualtat:

1 + ^ =
1 +  ⟹  =
1 + 

  (^) − 1

  (^) − 1 = 0,

Anem a comprovar que són equivalents calculant la quantia final que obtindríem, a partir d’una quantia inicial de 1.000€ i per a un termini d’un any, aplicant  i :

^ = 1.000 ∙
1 + 0,10 = 1.100€

^ = 1.000 ∙
1 + 0,04880885^ = 1.100€

Com podem veure, aplicar un 10% anual un cop, és el mateix que aplicar un 4,88% semestral dos cops.

6 6  (^) − 1

4.2.1 Tipus efectius d’interès equivalents: TAE

La taxa anual equivalent (TAE) d’una operació financera es defineix com el tipus efectiu anual d’interès compost al que resulta l’operació financera, segons les instruccions del Banc d’Espanya.

La TAE inclou a més a més del tipus d’interès pactat en l’operació, les despeses i comissions associades l’operació, per tant, indica el seu cost o rendibilitat efectiva, el que permetrà comparar operacions.

La TAE d’una operació financera es calcula:

• Plantejant i resolent l’equació que iguala el valor actual (o valor final) de les prestacions amb el valor actual (o final) de les contraprestacions, utilitzant interès compost a tipus constant i capitalització anual.
• Per a una operació sense comissions, pactada a tipus d’interès compost constant, la TAE coincideix amb el tipus efectiu anual equivalent al tipus efectiu aplicat en l’operació.

La TAE la denotarem mitjançant ∗.

Exemple

Calculeu la TAE si dipositem 1.000€ durant un termini de 2 anys al 10% anual d’interès, si el règim financer aplicat és:

a) interès simple vençut, b) interès compost amb capitalització anual, c) interès compost amb capitalització semestral. d) interès compost amb capitalització semestral i amb una comissió d’obertura del 1% de la quantia dipositada.

Solució:

Per poder calcular la TAE, ∗, de l’operació necessitaríem saber, primer, quina és la quantia final que s’obté. Per trobar el seu valor haurem d’aplicar la fórmula característica del règim financer utilitzat. Una vegada obtinguda aquesta quantia, podrem plantejar i resoldre l’equació que ens permetrà determinar la TAE.

Les variables que coneixem i que són comunes als quatre apartats són:

• Quantia inicial ingressada al dipòsit:  = 1.000€
• Termini del dipòsit: = 2 anys
• Tipus d’interès anual:  = 0,

a) En aquest cas s’aplica tipus d’interès simple vençut  = 0,10.

Calculem, en primer lloc, la quantia final que s’obté en aquesta operació aplicant la fórmula característica del règim financer d’interès simple vençut:

^ = 1.000 ∙
1 + 0,10 ∙ 2 = 1.200€