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Càlcul d'una variable

Repàs de trigonometria

J Llosa

Departament de Física Fonamental, UB

14 de setembre de 2012

Triangles rectangles

sin α = b a , b = a sin α

cos α = c a , c = a cos α

tg α = b c , b = ctg α

c^2 + b^2 = a^2 ⇒ cos^2 α + sin^2 α = 1 tg α = b/a c/a tg α = sin α cos α

Altres relacions

sec α =

cos α , cosec α =

sin α , cotg α =

tg α

Angles

1 radian: Angle per al qual longitud d'arc = longitud radi

lcircumferencia = 2πr circumferència 2 π radians

α = l r

l r

2 π

Altres angles

cos α := x , sin α := y ,

tg α := y/x

Periodicitat

cos(α + 2kπ) = cos α ,...

Relacions entre angles

Angles suplementaris

cos(π − α) = − cos α ,

sin(π − α) = sin α ,

tg (π − α) = −tg α

Angles complementaris

cos(π/ 2 − α) = sin α ,

sin(π/ 2 − α) = cos α ,

tg (π/ 2 − α) = cotg α

Angles oposats

cos(π + α) = − cos α ,

sin(π + α) = − sin α ,

tg (π + α) = tg α

Paritat

cos(−α) = cos α ,

sin(−α) = − sin α ,

tg (−α) = −tg α

Raons trigonomètriques de la suma d'angles

OD = OB = 1

M A = CA′^ = CB · cos α

CB = OB − OD · cos β = 1 − cos β M A = (1 − cos β) cos α

M N = CN ′^ = CD · sin α

CD = OD · sin β = sin β M N = sin α sin β

OA = OB · cos α OA = cos α

cos(α + β) =

ON

OD

= ON = OA − M A − M N

= cos α − (1 − cos β) cos α − sin α sin β = cos α cos β − sin α sin β

Fórmules suma i diferència

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β , cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β , sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

tg (α + β) =

tg α + tg β 1 − tg α tg β , tg (α − β) =

tg α − tg β 1 + tg α tg β

Angle doble

cos(2α) = cos^2 α − sin^2 α , sin(2α) = 2 sin α cos α , tg (2α =

2tg α 1 + tg 2 α

cos α = ±

1 + cos(2α) 2 , sin α = ±

1 − cos(2α) 2

Conversió de sumes en productes

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α − β 2 , cos α − cos β = −2 sin α + β 2 sin α − β 2