ARITMETICA COMERCIAL, Apuntes de Matemáticas

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Curso: Aritmética

Tema: Razones Aritméticas y Geométricas

Guillermo Enrique Alemán López

UNMSM

RAZONES ARITMETICA Y GEOMETRICAS

A. Razón aritmética Con a mayor que b, tenemos: 𝒂 – 𝒃 = 𝒓 Donde: a: Antecedente b: Consecuente r: valor de la razón B. Razón geométrica Sean a y b los números, entonces: 𝒂 𝒃

Donde: a: Antecedente b: Consecuente k: valor de la razón

EJERCICIOS

1.La suma de dos números excede en 36 a su diferencia. Si el menor es respecto del mayor como 3 es a 8, el número mayor es: A) 48 B) 40 C) 32 D) 16 E) 56 Solución: Sean a(Numero Mayor) y b(Numero Menor) dos números donde del dato tenemos. Observación: El termino ¨excede¨ significa diferencia o resta, entonces: 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 = 36 2𝑏 = 36 𝑏 = 18 Por dato: 𝑏 3

𝑎 8 Reemplazando: 18 3

𝑎 8

𝑎 8

2.Dos números están en la relación de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el mayor: A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Solución: Sean 𝑎 y 𝑏 dos números tales que son a 5 y a 2 respectivamente, es decir: 𝑎 5

𝑏 2 = 𝑘 𝑎 = 5𝑘 y 𝑏 = 2𝑘 Entonces por dato 𝑎 + 𝑏 = 70 Reemplazando: 5𝑘 + 2𝑘 = 70 7𝑘 = 70 𝑘 = 10 Entonces el mayor es: 𝑎 = 5 10 = 50

4 .Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? A) 24 B) 30 C) 35 D) 40 E) 36 Solución: Sean dos números 𝑎 y 𝑏 tales que: 𝑎 2

𝑏 5 = 𝑘 𝑎 = 2𝑘 y 𝑏 = 5𝑘 Ahora para obtener cantidades que sean iguales al menor numero ¨𝑎¨ le agregamos 175 y al mayor numero ¨𝑏¨ le agregamos 115, es decir: 𝑎 + 175 = 𝑏 + 115 2𝑘 + 175 = 5𝑘 + 115 20 = 𝑘 Entonces reemplazamos en el menor el valor de 𝑘: 𝑎 = 2 20 = 40

5 .El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? A) 24 B) 30 C) 15 D) 20 E) 26 Solución:

Como el numero de rosas que planta A es al de B como 4 es a 3,

analizaremos como nos están pidiendo por hora entonces A en una

hora planta ¨x+2¨ rosas y B planta ¨x¨ rosas entonces por dato:

𝑥 + 2 4

𝑥 3

Como B planta en una hora 6 rosas en 4 horas B planta 24

rosas.

7 .Las edades de Javier; César y Miguel son proporcionales a los números 2 ; 3 y 4. Si dentro de 9 años sus edades serán proporcionales a 7 ; 9 y 11 respectivamente. Hallar la edad actual de César. A) 15 años B) 16 años C) 17 años D) 18 años E) 19 años Solución: 1 ro Como las edades de Javier(J), Cesar(C) y Miguel(M) son proporcionales a 2 , 3 y 4 , entonces: 𝐽 2

𝐶 3

𝑀 4

2 do Ahora dentro de 9 años las nuevas edades son proporcionales a 7 , 9 y 11 entonces: 2 𝑘+ 9 7

3 𝑘+ 9 9

4 𝑘+ 9 11 tomando los dos primeros operando en aspa y tenemos que: 9 2 𝑘 + 9 = 7 ( 3 𝑘 + 9 ) 18 = 3 𝑘 6 = 𝑘 Entonces la edad actual de Cesar es: 𝐶 = 3 6 = 18 años

8 .Antes que empiece una asamblea había 690 personas y por cada 8 varones había 15 damas. Iniciada la asamblea llegaron 30 damas. Hallar la nueva relación de los varones con respecto a las damas. A) 24/25 B) ½ C) 1/3 D) 8/45 E) 7/ Solución: Sea: H(cantidad de hombres) , M(cantidad de mujeres) por dato: 𝐻 8

𝑀 15 = 𝑘 𝐻 = 8 𝑘 y M = 15 𝑘 pero el total de personas es: 690 = 8𝑘 + 15𝑘 690 = 23𝑘 30 = 𝑘 entonces ya podemos hallar el numero de hombres(H) y el numero de mujeres(M): 𝐻 = 8 30 = 240 y 𝑀 = 15 30 = 450 Entonces como llegan 30 damas, ahora tenemos: 𝐻 = 240 y 𝑀 = 450 + 30 = 480 Entonces la nueva relación(geometríca) será: 𝐻 240

𝑀 480 simplificando 𝐻 1

𝑀 2

De ( 1 ) y ( 2 ): 𝐴 5

𝐽 4 y 𝐽 10

𝐿 9 entonces debemos obtener a 𝐴, 𝐽 y 𝐿 en una sola igualdad, para ello en ambos el que se repite es ¨𝐽¨ pero con distinto denominador entonces lo que haremos es homogeneizar es decir que ¨ 𝐽 ¨ tenga un solo denominador: 1 ro Para ello multiplicaremos a los denominadores de ( 1 ) por 5 entonces: 𝐴 25

𝐽 20 2 do Luego multiplicaremos a los denominadores de ( 2 ) por 2 entonces: 𝐽 20

𝐴 25

𝐽 20

𝐿 18 entonces ¿Cuántos metros de ventaja debe darle Alberto a Luis en una carrera de 400 m planos para llegar simultáneamente a la meta? Tomaremos para 𝐴 y 𝐿: 𝐴 25

𝐿 18 entonces para para que Alberto(A) recorra 400 m Deberemos multiplicar ambos denominadores por 16 , entonces: 𝐴 400

𝐿 288 entonces para hallar la repuesta simplemente restamos 400 − 288 = 112 𝑚