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CONCEPTO
Se dice que un grupo de números están en progresión aritmética (PA) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Ejemplo: 8; 2; –4; –10; …
Forma general: a; a + r; a + 2r; a + 3r; …
Representación: PA de «n» términos t 1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; …; t (^) n
Razón
r = t(n) – t(n–1)
- Si r > 0, la progresión es creciente
- Si r < 0, la progresión es decreciente
TÉRMINO ENÉSIMO (tn )
t (^) n = t 1 + (n–1)r
Donde: t 1 = primer término n = cantidad de términos r = razón
NÚMERO DE TÉRMINOS (n)
n = r
t (^) n - t 1
SUMA DE LOS «N» TÉRMINOS (Sn)
Sn =
t t 2 d 1 + nnn
También
Sn =
t ( n ) 2
d nn
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula la razón de una P. A. de 51 términos si el último ex- cede al primero en 350. 2. Calcula el número de térmi- nos de la siguiente progresión aritmética: 3, ... ... ..., 23, ... ... ..., 59 14243 14243 n términos n términos 3. Calcula la razón de un PA de 14 términos si el primer tér- mino es 1 y la suma de todos es 287.
PUCP
4. Si en una progresión aritméti- ca, el término enésimo es de la forma t (^) n = 2 + (n –1)r y, ade- más, la suma de los términos de lugares 7; 8 y 9 es 48, ¿cuál es el término de lugar 20? PUCP 2013-II Resolución: Término enésimo de una PA es: t (^) n = t 1 + (n – 1)r = 2 + (n–1)r el primer término es t 1 = 2 Entonces: t 7 = 2 + (7 – 1)r = 2 + 6r t 8 = 2 + (8 – 1)r = 2 + 7r
t 9 = 2 + (9 – 1)r = 2 + 8r Dato: t 7 + t 8 + t 9 = 48 6 + 6r + 7r + 8r = 48 21r = 42 r = 2 Nos piden: t 20 = 2 + (20 – 1)2 = 40
5. El término enésimo de una PA es de la forma t (^) n = 4 + (n – 1)r y la suma de los términos de lugar 4; 6 y 8 es 254. ¿Cuál es el cuadragésimo término?
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
6. Una persona decide pagar una deuda en 12 días, tal que for- men una progresión aritméti- ca. Si el primer día paga S/. 3. ¿Cuál debe ser el incremento diario que debe abonar para cubrir la deuda de S/. 168? 7. Los números 4; 3x – 3; 4x es- tán en progresión aritmética. ¿Cuál es el cuarto término de esta progresión?
UNMSM
8. Si el segundo y el noveno tér- mino de una progresión arit- mética son 7 y 28, respectiva- mente, determina el vigésimo término de dicha progresión. UNMSM 2011-II Resolución: t 2 = 7; t 9 = 28 y t 20 =? Fórmula general: t (^) n = t 1 + (n –1)r t 2 = 7 = t 1 + (2 – 1)r t 1 = 7 – r ............................. (1) t 9 = 28 = t 1 + (9 – 1)r t 1 = 28 – 8r ........................ (2) Igualo 1 y 2 7 – r = 28 – 8r R = 3 y t 1 = 4 Nos piden hallar: t 20 = 4 + (20 – 1)3 = 61 9. Si el tercer y décimo término de una progresión aritmética
son 6 y 34, respectivamente. Calcula el decimonoveno tér- mino de dicha progresión.
10. En una progresión aritmética t 40 = 120 y t 20 = 40. ¿Cuál es el primer término de la progre- sión? 11. Un carpintero, cobra S/. 5 por colocar el primer clavo adicio- nal cobra S/. 2 más que por el clavo anterior. ¿Cuánto recibió por colocar 50 clavos?
UNI
12. Una persona decide caminar 72 km en 40 días, formando una PA. A los 30 días se des- anima, dejando una tercera parte del camino por recorrer. ¿Cuántos km recorrió el pri- mer día? Resolución> Día 1 = a + r Día 2 = a + 2r Día 30 = a + 30r Día 40 = a + 40r día 1 + día 2 + … + día 30 = 3
1 × 72
(a + r) + (a + 2r) + … + (a + 30r) = 48 30a + 465r = 48 10a + 155r = 16 ................... (1)
día 1 + día2 + … + día 40 = 72
(a + r) + (a + 2r) + … + (a + 40r) = 72 40a + 420r = 72 10a + 105r = 18 ................. (2)
Del 1 y 2 se obtiene: r = 0, a = 0, Nos piden: día 1 a + r ⇒ 0,98 + 0, = 1,02 km
13. Leydi decide ir caminando de Lima a Huaral en 25 días, for- mando una PA. A los 18 días se percata de que se le acaba- ron los víveres; por tal razón decide darse por vencida, de- jando la treceava parte por re- correr. ¿Cuántos km recorrió el primer día si la distancia que separa estas ciudades es de 78 km aproximadamente? 14. En una PA, la relación del ter- cer y cuarto término es 3. De- termina el número de térmi- nos que hay que tomar de esta progresión para que su suma sea nula.
