Métodos Numéricos: Ejercicios resueltos de Newton-Raphson y Bisección, Ejercicios de Métodos Numéricos

¡Descarga Métodos Numéricos: Ejercicios resueltos de Newton-Raphson y Bisección y más Ejercicios en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity!

• Pestaña

"Año de la Recuperación y Consolidación de la Economía Peruana"

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ

FACULTAD DE INGENIERÍA

MÉTODOS NUMÉRICOS - SECCIÓN 55162

TAREA ACADÉMICA 01

DOCENTE:

Fisher Ednader Simon Scamarone

INTEGRANTES:

● Alarcon Ruiz Gianella Anahi U

● Neira Camacho waldir U

f (1.5 )= π (5.625 )− 30

f (1.5 )=17.671− 30

f (1.5 )=−12.

Se calcula

f ' ( h

0

f ' (1.5 )= π ( 2 ( 3 )(1.5 )−(1.5 )

2

f ' (1.5 )= π ( 9 −2.25 )

f ' (1.5 )= π ( 6.75)

f ' (1.5 )=21.

Ahora en fórmula de newton raphson (

h

1

h

1

h

1

h

1

=2.081 m

Segunda iteración (n=1)

Ahora calcular

f ( h

1

f ( 2.081)=

π ( 2.081)

2

f ( 2.081)=

π ( 4.332)

❑

f ( 2.081)= π (1.444 )( 6.918 )− 30

f ( 2.081)= π ( 9.998 )− 30

f ( 2.081)=31.414− 30

f ( 2.081)=1.

Se calcula

f ' ( h

1

f ' ( 2.081)= π ( 2 ( 3 )( 2.081)−( 2.081)

2

f ' ( 2.081)= π (12.489−4.332)

f ' ( 2.081)= π ( 8.156 )

f ' ( 2.081)=25.

Para el método de newton raphson

h

2

h

2

h

2

Tercera iteración (n=2)

Ahora calcular

f ( h

2

f ( 2.026 )=

π ( 2.026 )

2

f ( 2.026 )=

π ( 4.106 )

f ( 2.026 )= π (1.368 )( 6.973 )

f ( 2.026 )= π ( 9.545 )− 30

f ( 2.026 )=29.974− 30

f ( 2.026 )=−0.

Se calcula

f ' ( h

2

f ' ( 2.026 )= π ( 2 ( 3 )( 2.026 )−( 2.026 )

2

f ' ( 2.026 )= π (12.157−4.106 )

f ' ( 2.026 )= π ( 8.051)

f ' ( 2.026 )=25.

Para el método de newton raphson

h

3

h

3

h

3

=2.027 m

Se deduce que la iteración aproximada es h =2.027 m.

f(0) = -

f (600) =- 5 ( 600 )

4

2

f (600) = -

Nuestro valor sigue siendo negativo, por lo que buscaremos más valores.

x = 300

f (300) =- 5 ( 300 )

4

2

f (300) = -

PASO 04: CAMBIO DE VARIABLES

ε =¿

X

L

X=

ε L

f(

ε )=¿

• 5 ( ε L )

4

+ 6 L ( ε L )

2

• L

4

f(

ε )=¿

• ( L )

4

4

• 6 ε

2

g (

ε )=¿

• 5 ( ε )

4

2

• 1

g

ε )=¿

PASO 05: RESOLVEMOS

g

ε )=¿

g

• 5 ( 0 )

4

2

g

-1 , Nos sigue saliendo negativo.

ε =¿

g

4

2

g (

Entonces podemos decir que

ε =¿

1 es una raíz.

Pero eso no corresponde al máximo de deflexión.

ε =¿

g

• 5 ( 0.5 )

4

2

g (

Por lo tanto entre

ε =¿

0 y

ε =¿

0.5 hay una raíz.

APLICAMOS EL MÉTODO DE BISECCIÓN

ε m =¿

g

4

2

g (

-0.64453125 ( salio negativo) Primera iteración

ε m =¿

g

• 5 ( 0.375 )

4

2

g

-0.2551 segunda iteración

ε m =¿

g

4

2

g (

-0.0347 tercera iteración

ε m =¿

g

• 5 ( 0.46875 )

4

2

g

0.07682 cuarta iteración

ε m =¿

453125

g

• 5 ( 0.453125 )

4

2

g

0.02114 quinta iteración

g

(0.4375) sigue siendo negativo,

g

(0.453125) es positivo.

mg − cv = ma

Donde:

m = masa (kg)

g = gravedad = 9.81 m/s

● c = coeficiente de arrastre (kg/s)

● v = velocidad = 9 m/s

● a = aceleración de cada paracaidista (incógnita)

Se necesita encontrar el valor de a para cada paracaidista.

Quedaría de este modo la fórmula:

a =

mg − cv

m

Se aplicará para cada uno:

m

i

a

i

• c

i

v = mg

Se le da forma:

m i

a

i

= mg − c

i

v

❑

Nos pide utilizar eliminación de gauss, se utiliza la matriz :

Ma = b

Ahora:

b

i

= mg − cv

b

1

b

2

b 3

b

4

b

5

Matriz del sistema ( M).

[ 60 0 0 0 0 ]

[ 0 75 0 0 0 ]

[ 0 0 60 0 0 ]

[ 0 0 0 85 0 ]

[ 0 0 0 0 90 ]

vector de términos independientes ( b).

[ 498.6 ]

[ 627.75]

[ 453.6 ]

[ 689.85]

[ 792.9]

Ahora, la fórmula:

a

i

b

i

m

i

a

1

=8.31 m / s

2

b

2

=8.37 m / s

2

a 3

=7.56 m / s

2

a

4

=8.11 m / s

2

a

1

=8.81 m / s

2

Resultados :

Paracaidista

Aceleración a ( m / s

2

1 8.

2 8.

3 7.

4 8.

[ 2 − 6 − 3 − 38 ]

[− 3 − 17 − 34 ]

[− 8 1 − 2 − 20 ]

F1 = F

Comparamos | 2 | , |− 3 | , |− 8 | , escogemos el mayor |− 8 |.

F1[− 8 1 − 2 − 20 ] Pivote es -.

F2[− 3 − 17 − 34 ]

F3[ 2 − 6 − 1 − 38 ]

F2 = F2 -

F

m21=

=

-3 -

[

]

= -3 +3 = 0

-1 -

[

]

= -1 -

=

+7 -

[

]

= +7 -

=

-34 -

[

]

= -34 +

=

F3 = F3-

(

)

F

m31=

= -

+2 -

[

]

= 2-2 = 0

-6 -

[

]

= -6+

= -

-1 -

[

]

= -1 -

= -

-38 -

[

]

= -35-5 = -

NUEVA MATRIZ

[− 8 1 − 2 − 20 ]

[

]

[

]

INTERCAMBIAMOS F2 Y F

Buscamos el mayor valor absoluto en la segunda columna (entre −

y −

)

El mayor es−

F1[− 8 1 − 2 − 20 ]

F

[

]

X

2

X

3

= -

X

2

= -43 + (

*-2)

X

2

=- -

X

2

=

De la primera fila:

− 8 X

1

+ 1 X

2

− 2 X

3

X

1

• 8 + 4 = -

X

1

= -

X

1

= 4

B) SUSTITUIR EN LA ECUACIÓN ORIGINAL

2

X

1

• 6

X

2

X

3

= -38 -

X

1

X

2

X

3

= -34 -

X

1

X

2

X

3

= -

2(4) −6(8) − −( 2) −3(4) −(8)+7( −2) -8(4) + (8) - 2(-2)

=8 −48+2 = − 12 − − 8 14 = -32 +8 +

= − 38 = − 34 = 20

QUINTO PROBLEMA

Fórmula:

X

n + 1

=

X

n

• (

f ( X

n

f ' ( X

n

)

Derivamos: ( e

−0.5 x

( 4 − x )

e

−0.5 x

( 4 − x )((

0.5 e

−0.5 x

=( e

−0.5 x

)(-1-0.5(4-x))

e

−0.5 x

)(-1-2+0.5x)

e

−0.5 x

)(0.5x-3)

a) Xo = 2

Reemplazamos en la fórmula original

f(2) = (

e

−0.5( 2 )

f(2) =

( e

− 1 )

f(2) = -1.

Reemplazamos en la fórmula de derivación

f’(x)= (

e

−0.5( 2 )

f’(x)=

e

− 1 )

f’(x)= -0.

Xo= 2 -

X1 = 0.282 primera iteración

Recordemos la función:

Comprobamos el error

∣ x3 −x2 ∣ ∣= 0.8816 −0.7766 =0.105 ∣

Recordemos la función:

f(x)=e −0.5x(4 −x)-

Sustituimos x=0.

f(0.8816)=e −0.5(0.8816)(4 −0.8816) − 2

f(0.8816) = 0.

Evaluamos de nuevo en la integración

f′(0.8816)=( e

−0.5( 0.8816 )

f′(0.8816)= −1.

Aplicamos Newton-Raphson

X4= 0.8816 -

X4 =0.8852 cuarta iteración

Comprobamos el error

x3 −x2 ∣ ∣= 0.8852 −0.8816 =0.0036 ∣

ya encontramos la raíz aproximadamente en x= 0.8852 , debido a que 0.006 es cercano a

b) Xo = 6

Reemplazamos en la fórmula original

f(6) = (

e

−0.5( 6 )

f(6) =

e

(− 3 )

f(6) = -2.

Reemplazamos en la fórmula de derivación

f’(6)= (

e

−0.5( 6 )

f’(6)=

e

(− 3 )

f’(6)= 0

Xo= 6 -

X1 = 0

No es posible aplicar Newton-Raphson con xo=6 , porque en su derivación nos sale como resultado

0 , y no se puede continuar porque estaríamos dividiendo entre 0 en la fórmula.

.

c) Xo = 8

Reemplazamos en la fórmula original

f(8) = (

e

−0.5( 8 )

f(8) = (

e

(− 4 )

f(8) = -2.

Reemplazamos en la fórmula de derivación

f’(8)= (

e

−0.5( 8 )

f’(8)= (

e

(− 4 )

f’(8)= 0.

X1= 8 -

X1 = 121.