¡Descarga Derivada direccional y plano tangente de función multivariable y más Ejercicios en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!
1- En los siguientes ejercicios use la regla de la cadena para calcular df du donde 𝑥,𝑦,𝑧 son: x= 3 v−Lnu ; (^) y=u^2. Lnv Hallamos ∂ ∂^ xu^ ∂ ∂^ uy ∂ x ∂ u =
u ∂ y ∂u =^2 u^.^ Lnv Ahora aplicamos la fórmula: df du =^
∂ f ∂ x.^
∂ x ∂ u +^
∂ f ∂ y.^
∂ y ∂ u df du =
u.^
∂ f ∂ x +^2 u^.^ Lnv^.^
∂ f ∂ y
2- Calcular la dirección en la cual la derivada direccional de 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) alcanza su valor máximo para cada uno de los casos:
f (^ x , y , z )=ln (^ x^2 + y^2 )−z en^ p(1,1,1)
Por definición se sabe que la derivada direccional de un función en un punto (a,b,c) es igual al producto escalar del gradiente de la función en (a,b,c) y el vector unitario respectivo: ⃗ ∇ f ( a , b)∙ ⃗v Dicho producto escalar es máximo cuando ambos vectores son paralelos, ya que su coseno es máximo (igual a 1). Por lo cual debemos obtener el vector unitario paralelo al gradiente ⃗ ∇ f ( a , b) ⃗ ∇ f =[ ∂ ∂^ fx ( a ,b , c) , (^) ∂∂ fy ( a , b , c ) , ∂ ∂^ fz ( a , b , c) (^) ] ∂ f ∂ x (^ a^ ,^ b^ ,^ c^ )=^
2 x ( x^2 + y^2 ) (^) (1,1,1 )^ =^1
∂ f ∂ y (^ a^ ,^ b^ ,^ c^ )=^
2 y (x^2 + y^2 ) (^) (1,1,1)^ =^1 ∂ f ∂ z (^ a^ ,^ b^ ,^ c^ )=−^1 (1,1,3)=−^1
Por lo que: ⃗ ∇ f (^) (1,1,3)=(1,1 ,− 1 ) Un vector unitario paralelo al gradiente calculado debe ser aquel que cumpla la condición de producto escalar máximo (coseno igual a 1, o ángulo cero): ⃗ ∇ f ( a , b) ∙ ⃗v=( x , y , z ) ∙ ( 1,1 ,− 1 ) = 0 x + y−z= 0 Un vector (x,y,z) que cumpla con esta ecuación es: ( x , y , z )=(1,1 ,− 2 ) El unitario de este vector es: ⃗^ u^ ⃗v=( (^) √^16 ,^ √^16 ,^ − √ 62 ) Por lo cual, este último vector se corresponde con la dirección en la cual la derivada direccional de la función dada es máxima.
3- En el siguiente ejercicio encuentre una ecuación del plano tangente a la función f(x,y) dada en el punto P(x 0 ,y 0 ) indicado, use la linealizacion L(x,y) para aproximar f(a,b) con L(a,b). f ( x , y )=√ x^4 + y^3 + xy + 1 en^ P 0 (0,0) Para determinar la ecuación del plano debemos obtener tanto el vector normal como el punto que ya es dato en el problema, y aplicar la fórmula del plano:
