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An´alisis Matem´atico 2
Gu´ıa de Ejercicios 1.
Subconjuntos de R2, curvas en R2, funciones de Rnen R,
l´ımites, continuidad.
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1) Dados los siguientes subconjuntos de R2, graficarlos y decidir cu´ales son abier-
tos, cerrados o ni abiertos ni cerrados.
a) A={(x, y)∈R2/ x < y}.
b) A={(x, y)∈R2/ x2+y2≤4}.
c) A={(x, y)∈R2/3x+ 2y > 3}.
d) A={(x, y)∈R2/ x 6= 0 ∧y6= 0}.
e) A={(x, y)∈R2/ x 6= 0 ∨y6= 0}.
f) A={(x, y )∈R2/ x = 2 ∧1≤y≤3}.
g) A={(x, y)∈R2/(x−2)2+ (y+ 1)2≤9}.
h) A={(x, y)∈R2/1< x2+y2≤2}.
i) A={(x, y)∈R2/ x > 0∨y≥0}.
j) A={~r ∈R2/1≤r≤2∧0≤θ≤π/2}(con ryθcoord. polares).
k) A={~r ∈R2/1< r ≤2∧π/2≤θ < π}.
l) A={~r ∈R2/2< r < 3∧π/2< θ < 3π/2}.
m) A={~r ∈R2/ r ≥1}.
n) A={~r ∈R2/ r > 0∧0< θ < π/4}
2) Grafique las siguientes curvas en el intervalo de tindicado, calcule el vector
tangente ~v(t) para todo ten dicho intervalo, dibuje el vector tangente para el
tiempo t0(para ello calcule los valores num´ericos de las componentes de ~v(t0)).
a) x=t−2, y= 2t−3, 0 ≤t≤5, t0= 1.
b) x= 4t2−5, y= 2t+ 3, t∈R,t0= 0.
c) x=t3,y=t2,t∈R,t0= 0.
d) x=√t,y= 3t+ 4, t≥0, t0= 1.
e) x= exp(t), y= exp(−t), t∈R,t0= 0.
f) x= cos(t), y= sin(t), −π/2< t < π/2, t0= 0.
g) x= 2 cos(2t), y= 2 sin(2t), −π/4< t < π/4, t0= 0. (Observe la relaci´on
entre esta curva y la del inciso f).
