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Análisis Matemático II. Prof. S. Bouzat Extremos concicionados. Multiplicadores de Lagrange. En el capítulo de extremo locales buscamos máximos y mínimos de funciones f : R²→ R² en regiones abiertas, para lo cual nos centrábamos en la búsqueda y análisis de puntos críticos. Ahora buscaremos extremos de funciones f : R²→ R² pero sujetos a que se cumpla cierta restricción g(x,y)=k. Esto quiere decir que no buscaremos los extremos sobre una región abierta sino en un dominio restringido al de la curva sobre la que vale g(x,y)=k. Es decir, nos ocuparemos de la siguiente pregunta: De todos los pares (x,y) que cumplen con la condición g(x,y)=k, ¿en cuál alcanza su máximo valor la función f(x,y)?. Y lo mismo para el caso del mínimo. El problema se ejemplifica en la figura. Aquí, las curvas rosas son las curvas de nivel de f(x,y), mientras que la curva celeste, que llamaremos C, es la dada por la condición g(x,y)=k. Dados los valores de las curvas de nivel de f, observamos que el máximo de f sobre la curva C se alcanza en el punto marcado en celeste, que es donde la curva C es tangente a una curva de nivel de f(x,y). A un extremo (máximo o mínimo) de f(x,y), condicionado a g(x,y)=k - que es lo mismo que decir, restringido a la curva C - lo llamaremos extremo condicionado o extremo restingido.
La solución al problema planteado viene dada por el siguiente teorema.
con las tres incógnitas x 0 , y0 , λ. Cada solución al problema será una terna ( x 0 , y 0 , λ) donde (x 0 , y 0 ) será un posible extremo condicionado, mientras que el valor de λ no será relevante en general. Obs: Es imporntante destacar que este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es en general no lineal, por lo que su número de soluciones es desconocido, (no necesariamente es 0, 1, o infinito, como para los sistemas lineales). Además, no existe un método específico para resolverlo y habrá que encarar cada caso despejando una ecuación y otra de la manera que resulte más conveniente. En este curso nos ocuparemos de sistemas que sean fácilmente resolubles. Obs: En este curso no nos preocuparemos por si las soluciones halladas corresponden específicamente a máximos o mínimos, sino que simplemente nos limitaremos a buscar las soluciones. Sin embargo, por la naturaleza del problema o por los valores de f en las diversas soluciones halladas, muchas veces será obvio si se tratan de máximos o mínimos. Para el problema de extremos restrigidos existe un criterio de derivadas segundas que puede hallarse en libros avanzados de análisis. El problema de extremos restringidos para el caso de funciones de tres variables tiene una solución completamente análoga: (Stewart)
Nota: La extensión a más dimensiones es inmediata. Siempre debe resolverse ∇f = λ ∇g, (con ∇ en la dimensión que sea), junto a la ecuación que corresponde a la restricción. Ejemplos (Stewart)
Método búsqueda de extremos condicionados utilizando una función de Lagrange. La búsqueda de extremos de f(x,y) con la condición g(x,y)=k puede realizarse buscando los extremos sin restringir de la siguiente función de Lagrange : H(x,y, λ)= f(x,y) – λ ( g(x,y) - k ) Nótese que, si f(x,y) tiene dos variables, ahora H(x,y, λ) tiene tres variables, pero los extremos de H se buscan sin restingir. A tales efectos igualamos todas las derivadas parciales de H a cero para buscar los puntos críticos de H: Hx(x,y, λ)= Hy(x,y, λ)= Hλ(x,y, λ)= Dada la definición particular de H, estas ecuaciones resultan: Hx(x,y, λ)=0 ==> fx(x,y) - λ gx(x,y) = Hy(x,y, λ)=0 ==> fy(x,y) - λ gy(x,y) = Hλ(x,y, λ)=0 ==> g(x,y) - k= que son simplemente las mismas ecuaciones de Lagrange del problema.
