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Biometria, Apuntes de Biometría

Universidad de Granada (UGR)Biometría
Prof. Mariano Valderrama

Asignatura: biometria, Profesor: Mariano Valderrama, Carrera: Farmacia, Universidad: UGR

Tipo: Apuntes

2013/2014

Subido el 12/02/2014

youness_2013
youness_2013 🇪🇸

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bg1
www.kaliumacademia.com
BIOMETRÍA
Tema 1: Modelos de dependencia entre magnitudes variables
Una variable
Derivada en un punto:

h
xfhxf
xf h
00
0
0lim)(
Función derivada:

h
xfhxf
xf h
0
lim)(
Derivadas sucesivas:

xfxf )( ,

)()( xfxf , …
Recta tangente:
 
000 ·xxxfxfy
Extremos: resolvemos la ecuación 0)(
xf y sustituimos cada solución en )(xf
Si 0)(
xf : hay un máximo
Si 0)(
xf : hay un mínimo
Varias variables
Derivadas parciales:

h
yxfyhxf
fh
x
,,
lim
0
h
yxfhyxf
fh
y
,,
lim
0
Derivadas parciales 2º orden:

x
xxx
xfff 2,

y
xxy ff ,
x
yyx ff ,

y
yyy
yfff 2
Teorema de Schwartz: “si existen las derivadas x
f
,y
f
y xy
f
en el punto (x0,y0) y además xy
f
es continua
en dicho punto, entonces también existe yx
f
y se cumple que yxxy ff
”
Funciones homogéneas: “se dice que una función es homogénea de grado n si para cualquier constante k œ
se verifica

yxfkkykxf n,·, ”
Teorema de Euler: “si ),( yxf es una función diferenciable, una condición necesaria y suficiente para que
sea homogénea de grado n es que se verifique fnfyfx yx ···
”
Extremos: resolvemos el sistema 0
x
f, 0
y
f, sustituimos cada solución en el determinante de la
matriz Hessiana:

yyyx
xyxx
ff
ff
yxH
, y aplicamos el criterio:
Si

0, yxH y 0
xx
f: hay un mínimo
Si

0, yxH y 0
xx
f: hay un máximo
Si

0, yxH : hay un punto de silla
Si

0, yxH : no podemos determinar su naturaleza con este método
pf3
pf4
pf5

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¡Descarga Biometria y más Apuntes en PDF de Biometría solo en Docsity!

Tema 1: Modelos de dependencia entre magnitudes variables

Una variable

 Derivada en un punto:

h

f x h f x f x h

0 0 0

( 0 ) lim

 Función derivada:

h

f x h f x f x h

 0

( ) lim

 Derivadas sucesivas:   

f ^ ( x ) f  x ,  

f ^ ( x ) f ( x ) , …

 Recta tangente: y  f  x 0   f  x 0 · x  x 0 

 Extremos: resolvemos la ecuación f (^ x ) 0 y sustituimos cada solución en f ( x )

 Si f ^ ( x ) 0 : hay un máximo

 Si f ^ ( x ) 0 : hay un mínimo

Varias variables

 Derivadas parciales:

h

f x hy f x y f h x

lim 0

h

f x y h f x y f h y

lim 0

 Derivadas parciales 2º orden:  

f x 2 fxx fx x ,  

f (^) xy fx y ,  

yx y x f f ,  

y yy y y f (^) 2 f f

 Teorema de Schwartz: “si existen las derivadas f (^) x ^ , f (^) y ^ y f (^) xy ^ en el punto ( x 0 , y 0 ) y además f (^) xy ^ es continua

en dicho punto, entonces también existe f (^) yx ^ y se cumple que f (^) xy ^  fyx ”

 Funciones homogéneas: “se dice que una función es homogénea de grado n si para cualquier constante k œ

 se verifica f ^ kxky ^ k f ^ x y 

n ,  · , ”

 Teorema de Euler: “si f ( x , y )es una función diferenciable, una condición necesaria y suficiente para que

sea homogénea de grado n es que se verifique x · fx ^  y · fy  n · f ”

 Extremos: resolvemos el sistema f (^) x  0 , f (^) y  0 , sustituimos cada solución en el determinante de la

matriz Hessiana:  

yx yy

xx xy

f f

f f H x y  

,  y aplicamos el criterio:

 Si H  x , y   0 y f xx  0 : hay un mínimo

 Si H  x , y   0 y f xx  0 : hay un máximo

 Si H  x , y   0 : hay un punto de silla

 Si H  x , y   0 : no podemos determinar su naturaleza con este método

Tema 2: Correlación y regresión

Regresión lineal y = b 0 + b 1 x

 Medias marginales:

n

x

x

n

i

i

1

n

y

y

n

i

i

1

 Varianzas marginales:

1 2

2

1

2

2 x n

x

n

x x

s

n

i

i

n

i

i

x  

   

1 2

2

1

2

2 y n

y

n

y y

s

n

i

i

n

i

i

y  

   

 Covarianza:

x y n

x y

n

x x y y

s

n

i

i i

n

i

i i

xy ·

1 1  

   

 Coeficiente de correlación: 2 2

,

x ·^ y

xy

s s

s

r  ( r^2 es el coeficiente de determinación)

 Coeficientes de la regresión (ajuste por mínimos cuadrados):

2

, 1 x

xy

s

s

b  b y bx

 Varianza residual:  

2 2 2 s (^) Rsy 1  r

 Regresión lineal por el origen ( y = bx):

  n

i

i

n

i

i i

x

x y

b

1

2

1

Regresión no lineal

MODELO EXPRESIÓN→ CONVERSÍÓN AJUSTE LINEAL

 Exponencial

b bx y e 0  1  → ln yb 0  b 1 x ln y vs x

 Multiplicativo

1 0 ·

b yb x → ln y  ln b 0  b 1 ln x ln^ y vs^ ln x

 Inverso de x x

b y b

1  0  → x

y b b

y vs x

 Inverso de y b bx

y

0 1

 → b bx y

0 1

y

vs x

 Michaeliana b x

b x y

1

0 ·^

b x

b

y b

0

1

0

y

vs x

 Logística (^) bx b e

y · 0

1 1 ·

 → b bx y

1 ln 0 1

ln   

ln y

vs x

Tema 5: Probabilidad y sucesos aleatorios

»: Unión (o) …: Intersección (y) Õ: Contenido en…

 Definición de Laplace: nºcasosposibles

nºcasosfavorables P

P    1 P     0 P  A  B   P  A   P  B   P  A  B  P  A   1  P  A 

 Probabilidad condicionada:  

P  B 

PA B
P AB

 ; PAB   PAB · PB   PBA · PA

 Independencia de sucesos: PAB   PA · PB ; PAB   PA

 Probabilidad total: (^)     

n

i

P B PBAi PAi 1

 Teorema de Bayes:  

   

  ^ ^ ^   

n

i

i i

k k n

i

i

k k

PBA P A

PBA P A
PB A
PB A
PA B

1 1

 Diagnóstico clínico: ( E = enfermo; S =sano; + = test positivo;-=test negativo)

PREVALENCIA: P ( E )
SENSIBILIDAD PROB. FALSO NEGATIVO

P   E  + P   E  =

ESPECIFICIDAD PROB. FALSO POSITIVO

P   S  + P   S  =

VALOR PREDICTIVO POSITIVO VALOR PREDICTIVO NEGATIVO

PE  PS 

RIESGO RELATIVO

 

 

PE
PE
RR
ODD-RATIO

 

 

 

 

P S
PE
PS
PE
OR

Tema 6: Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

 Función de densidad: Variable discreta:   1

1

^ 

n

i

f xi ; Variable continua:   

 

f xdx  1

 Probabilidad: Variable discreta: P  x i   f  xi ; Variable continua:    

b

a

Pa x b f xdx

 Esperanza: Variable discreta:     

n

i

E X xi f xi 1

· ; Variable continua:  



E Xx · f ( x ) dx

 Varianza: Var  X  E  X E  X  E  X  E  X 

2 2 2    

 Modelos discretos:

 Modelo binomial B ( n , p ):  

x nx p q x

n f x

 

 · · ( E  x   np ; Var  X   npq )

 Modelo Poisson P ( λ ):  

e x

f x

x

( E  x ; Var  X )

 Modelos continuos:

 Modelo Normal o de Gauss N ( μ , σ

2

  2

2

2

2

 

  

x

f x e ( E  x ;  

2

Var X   )

 Si Z ~ N ( 0 , 1 )

P ( ZZ  )(tabla)

P ( Z  Z  ) 1  P ( Z  Z )
P ( Z  Z  ) 1  P ( Z  Z  )
P ( Z  Z  ) P ( Z  Z  )

P ( Z 1  Z  Z 2 ) P ( Z  Z 2 ) P  Z  Z 1 

 Si X ~ ( , )

2

N   , entonces

x 

~ N ( 0 , 1 ) (tipificación)

X
P ( X X ) P Z

 Aproximación de la Binomial por la Poison B ( n , p )→ P ( np ) ( n ≥20, p ≤0,05)

 Aproximación de la Binomial por la Normal B ( n , p )→ N ( np , npq ) ( npq >5)

 Aproximación de la Poisson por la Normal P ( λ ) → N ( λ , λ ) ( λ >5)

- ∞ -Zα 0 +∞ -∞ 0 +∞ -∞ 0 +Zα +∞

- ∞ 0 +Zα +∞ -∞ 0 +∞ -∞ 0 +Zα +∞

- ∞ Z 1 0 Z 2 +∞ -∞ 0 Z 2 +∞ -∞ Z 1 0 +∞

- ∞ 0 +Zα **+∞

  • ∞** -Zα 0 +∞ -∞ 0 +Zα +∞