Biometr´ıa. Res´umenes
Tema 4. Formulaci´on de modelos mediante ecuaciones diferenciales
Conceptos b´asicos
Una ecuaci´on diferencial ordinaria es una relaci´on entre una variable independiente x, una funci´on yde la
variable xy sus nprimeras funciones derivadas:
F(x, y, y0, y 00, . . . , yn))=0
Se denominan:
•Orden, al mayor orden de derivaci´on que aparece en la relaci´on, Grado, al exponente de la derivada
de mayor orden
•Soluci´on particular Es una funci´on y=f(x)n-derivable que verifica la ecuaci´on.
•Soluci´on general Es una familia de funciones y=f(x, C1, . . . , Cn)n-derivables que proporcionan
una soluci´on particular para cada particularizaci´on de las constantes C1, . . . , Cn.
•Soluci´on singular Es una soluci´on particular que no se obtiene a partir de la soluci´on general
•Condici´on inicial Es una condici´on sobre la funci´on soluci´on (y=f(x)) para que pase por un
determinado punto.
Ecuaci´on de variables separables
Es de la forma P(x)dx =Q(y)dy. La soluci´on general se obtiene integrando en ambos miembros:
ZP(x)dx =ZQ(y)dy +C.
Modelo de crecimiento de una poblaci´on
En este tipo de modelos se supone que la velocidad de crecimiento de la poblaci´on es directamente propor-
cional al n´umero de individuos que la componen. Llamando tal tiempo (variable independiente) y ca la
cantidad de individuos que componen la poblaci´on, la suposici´on de proporcionalidad y el modelo resultante
son:
c0=dc
dt ∝c⇒c0=k·c⇒c(t) = C0ekt
P´erdida de actividad de un elemento
En este tipo de modelos se supone que la velocidad con la que la sustancia se pierde es directamente
proporcional a la cantidad de sustancia presente. Llamando tal tiempo (variable independiente) y ca la
cantidad de sustancia, la suposici´on de proporcionalidad y el modelo resultante son:
c0=dc
dt ∝c⇒c0=−k·c⇒c(t) = C0e−kt
Enfriamiento de una sustancia
En este tipo de modelos se suele utilizar la ley de Newton por la cual una sustancia se enfr´ıa tanto m´as r´apido
cuanto mayor sea la diferencia entre la temperatura de la sustancia, T, y la temperatura del ambiente, A.
As´ı, se supone que velocidad con la que la sustancia se enfr´ıa es directamente proporcional a la diferencia
entre su temperatura y la del ambiente. La suposici´on de proporcionalidad y el modelo resultante son:
T0=dT
dt ∝(T−A)⇒T0=−k·(T−A)⇒T(t) = A+C0ekt
A. Arcos
