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RELACI ON 1 (Modelos de dependencia entre magnitudes variables)´
Problema 1.- p´agina 26
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La frecuencia f es la inversa del periodo T es decir f = (^) T^1 Por otra parte
U = U 0 sen(wt) = U 0 sen(2πf t) Se tiene que : w = 2πf = (^2) Tπ = (^02). 02 π = 100π luego:
w = 100π
Problema 2.- p´agina 26
Se sabe que no^ atomos/total atomos = 10−^12 La semivida (o semiperiodo de desintegraci´on) es el tiempo en que la poblaci´on de corp´usculos se reduce a la mitad.
R(t) = 10−^122 −t/^5700 = 10−^33 despejando se tiene que:
2 −t/^5700 = 10−^21 ⇒
−t 5700
log 10 2 = − 21 ⇒ t =
log 102
Problema 3.- p´agina 26
E(t) = (9t + 3t^2 − t^3 )/ 27 ⇒
dE dt
= (9 + 6t − 3 t^2 )/ 27
luego E′(1) =
; E′(4) =
Problema 4.- p´agina 27
s(t) = 4t^2 − 2 t^3 +
t^4 4 ; s′(t) = 8t − 6 t^2 + t^3 ; s′′(t) = 8 − 12 t + 3t^2
Entonces se tiene que: a) s(3) = 36 − 54 + 81/4 = 9/ 4 s′(3) = 24 − 54 + 27 = − 3 s′′(3) = 8 − 36 + 27 = − 1 b) t(8 − 6 t + t^2 ) = 0 ⇒ t ∈ (0, 4 , 2)
Problema 5.- p´agina 27
T (t) = 10
4 t^2 + 16t + 75 t^2 + 4t + 10 a) Para t=0 se tiene T (0) = 10 · 7510 = 75 b) l´ımt→∞ T (t) = 40 c)
T ′(t) = 10 ·
(8t + 16)(t^2 + 4t + 10) − (2t + 4)(4t^2 + 16t + 75) (t^2 + 4t + 10)^2
− 140 − 70 t (t^2 + 4t + 10)^2
Por tanto T ′(10) = 10 · (−840)/ 1502 = − 0. 37 ̂ 3
Problema 6.- p´agina 27
Se tiene que: f (x) = 2x^2 − 8 x + 1 y g(x) = x^2 /2 + 4x − 5 / 2 luego: f ′(x) = 4x − 8 y g′(x) = x + 4 Encontrar un valor en que estas dos funciones derivadas coincidan es lo mismo que resolver la ecuaci´on:
4 x − 8 = x + 4 ⇒ x = 4
Problema 7.- p´agina 27
Al despejar P en la igualdad (P V 2 + a)(V − b) = kV 2 resulta:
P V 2 + a =
kV 2 V − b
⇒ P =
kV 2 V − b − a
/V 2 =
kV V − b
a V 2
luego P ′(V ) = (^) (V− −kbb) 2 + (^) V^2 a 3
Problema 8.- p´agina 27
Puesto que R = 12 + 12x − 0. 3 x^3 entonces resulta: R′(x) = 12 − 0. 9 x^2 por lo que R′(4) = 12 − 14 .4 = − 2. 4
La funci´on f definida por f (x, y) = 3xy^2 sen(y^2 /x^2 ) + y^3 ex/y^ es homog´enea de grado 3, luego se cumple que:
xf (^) x′ + yf (^) y′ = 3f luego se cumple que:
x^2 yf (^) x′ + xy^2 f (^) y′ = xy(xf (^) x′ + yf (^) y′ ) = 3xy(3xy^2 sen(y^2 /x^2 ) + y^3 ex/y^ )
Problema 12.- p´agina 28
La funci´on f (x, y) = x
(^2) y+y (^3) sen(y/x) x^3 ey/x^ es una funci´on homog´enea de grado 0 luego: xf (^) x′ + yf (^) y′ = 0 · f = 0 entonces se tiene que
xyf (^) x′ + y^2 f (^) y′ + xy = y(xf (^) x′ + yf (^) y′ ) + xy = 0 + xy = xy
Problema 13.- p´agina 28
a) f (^) x′ = 2xy − 3 y^2 ; f (^) y′ = x^2 − 6 xy integrando respecto a x y respecto a y se tiene que: f = x^2 y − 3 y^2 x + φ(y); f = x^2 y − 3 y^2 x + ϕ(x) pero se debe cumplir que φ(y) = 0; ϕ(x) = 0 pues de otra forma f no ser´ıa homog´enea de grado
Luego: f (x, y) = x^2 y − 3 y^2 x b) f (^) x′ = 2xy; f (^) y′ = x^2 − 9 y^2 luego: f = x^2 y + φ(y); f = x^2 y − 3 y^3 + ϕ(x) luego: f (x, y) = x^2 y − 3 y^3
Problema 14.- p´agina 28
f (2, −1) = 4; f (tx, ty) = t^3 f (x, y) 2t=-4; t=- luego: f (2t, −t) = f (− 4 , 2) = t^3 f (2, −1) = (−2)^3 · 4 = − 32
Problema 15.- p´agina 28
R(t) =
- 001 t^4 − 4 t + 100 luego: R′(t) = 0.^004 t
(^3) − 4 2 √ 0. 0001 t^4 − 4 t+100 = 0^ ⇒^ t
(^3) = 1000; t = 10 se trata de un m´ınimo ya que
R′′^ =
- 012 · t^2 (
- 0001 t^4 − 4 t + 100) − (0. 004 t^3 − 4) · (1/
- 0001 t^4 − 4 t + 100) 4(0. 001 t^4 − 4 t + 100)
luego R′′(10) > 0
Problema 16.- p´agina 28
Puesto que V = kxp(a − x)q se tiene: V ′^ = kpxp−^1 (a − x)q^ − kxpq(a − x)(q − 1) = (a − x)q−^1 xp−^1 {p(a − x) − qx} ⇒ p(a − x) − qx = 0 luego x = (^) ppa+q
Problema 17.- p´agina 28
W = RI^2 = RE
2 (R+r)^2 luego se tiene:
W (R) = E
(^2) (R+r) (^2) −2(R+r)RE 2 (R+r)^2 =^ E
2 R+r−^2 R R+r =^
r−R R+r E
(^2) = 0 ⇒ R = r
En consecuencia rE^2 /(2r)^2 = E^2 / 4 r Se trata de un m´aximo pues:
W ′′(R) =
−(R + r) − (r − R) (R + r)^2
2 r (R + r)^2
Problema 18.- p´agina 29
Se sabe que: B = e
H a+bH (^) ; f (H) = e^ a+HbH H luego se tiene que:
f ′(H) =
e a+HbH a+bH−bH (a+bH)^2 ·^ H^ −^ e^ a+HbH H^2
aH/(a + bH)^2 ) = 1 ⇒ aH = a^2 + b^2 + 2abH ⇒ b^2 H^2 + (2ab − a)H + a^2 = 0 luego
H =
(a − 2 ab) ±
4 a^2 b^2 + a^2 − 4 a^2 b − 4 a^2 b^2 2 b^2
a − 2 ab ± a
1 − 4 b 2 b^2
Problema 19.- p´agina 29
C(x) = 800 − 10 x + x^2 / 4 Entonces C′(x) = −10 + 2x/4 = 0 ⇒ x = 20
Problema 20.- p´agina 29
z = f (x, y) = x^2 + y^2 − 5 x + 3y luego
x + y + z = 21 hay que maximizar la funci´on: z = f (x, y) = xy(21 − x − y)
∂z ∂x
= 21y − 2 xy − y^2 ;
∂z ∂y
= 21x − 2 xy − x^2 ;
∂^2 z ∂x^2
= − 2 y;
∂^2 z ∂y^2
= − 2 x;
∂^2 z ∂x∂y
= 21 − 2 x − 2 y
Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el sistema:
21 y − 2 xy − y^2 = 0 21 x − 2 xy − x^2 = 0
⇒ 21 y − y^2 = 21x − x^2
Por otra parte se tiene:
21 xy − 2 x^2 y − xy^2 = 0 21 xy − 2 xy^2 − yx^2 = 0
21 − 2 x − y = 0 21 − 2 y − x = 0
⇒ − 2 x − y = − 2 y − x ⇒ y = x
Resulta x = y = z = 21/3 = 7 El determinante hessiano para esta soluci´on es:
H =
Por lo tanto la sucesi´on hessiana es:
1 , f (^) x′′ 2 = − 14 , H = 147 por lo que (x, y, z) = (7, 7 , 7) es un maximizador de la funci´on en cuesti´on.
Problema 23.- p´agina 29
Sea L la longitud del segmento. Se trata de minimizar la funci´on f (x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 sabiendo que x + y + z = L Sea u = x^2 + y^2 − (L − x − y)^2
∂u ∂x
= 2x − 2(L − x − y);
∂u ∂y
= 2y − 2(L − x − y);
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
∂^2 z ∂x∂y
Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el sistema:
x − (L − x − y) = 0 y − (L − x − y) = 0
⇒ y = x ⇒ x = y = z = L/ 3
El determinante hessiano para esta soluci´on es:
H =
Por lo tanto la sucesi´on hessiana es:
1 , f (^) x′′ 2 = 4, H = 12 por lo que (x, y, z) = (L/ 3 , L/ 3 , L/3) es un minimizador de la funci´on en cuesti´on.
Problema 25.- p´agina 29 Sea una caja cuyos lados son x(ancho), z (largo) e y (alto) En consecuencia la superficie que hay que minimizar es S = xz + +2xy + 2yz sujeto a la restricci´on xyz = 32
∂u ∂x
yx^2 (x + 2y) +
xy
∂u ∂y
xy^2 (x + 2y) +
xy
Igualando a cero las dos derivadas parciales se obtienen las ecuaciones:
32(x + 2y) = 32x + 2y^2 x^2 32(x + 2y) = 64y + 2y^2 x^2
64 y = 2y^2 x^2 32 x = 2x^2 y^2
⇒ x = 4; y = 2; z = 4
F´acilmente se ve que la sucesi´on hessiana est´a formada por 3 n´umeros positivos es decir que se trata de un minimizador
