Universidad de Santiago de Compostela
Facultad de Biolog´ıa
Matem´aticas para Biolog´ıa
Grado en Biolog´ıa
Curso 2013-14
Bolet´ın de ejercicios 5
1. Consid´erese una poblaci´on de Microtus Arvallis Pall, un peque˜no roedor que se reproduce
r´apidamente. Se supone que dicha poblaci´on crece seg´un el mo delo de Malthus con una tasa
relativa k= 0,4 donde la unidad de tiempo es el mes. Para una poblaci´on inicial de 2 roedores,
calcula su n´umero al cabo de 10 meses. Sol.: 109 roedores
2. Cierta poblaci´on duplica su tama˜no inicial en 10 a˜nos y lo triplica en 20 a˜nos. ¿Es posible
que sigua la ley de Malthus?
3. La vida de una bacteria es ef´ımera, pero su capacidad de reproducci´on en circunstancias
favorables es inmensa. Si una sola bacteria diese lugar en seis horas a 700.000 individuos,
determina en cu´anto tiempo se duplicar´ıa una poblaci´on de ellas con crecimiento maltusiano.
Sol.: 19 minutos
4. Seg´un datos de la organizaci´on UNICEF, la India con 1103 millones y China con 1315 mi-
llones de habitantes, en 2005, crecen con tasas anuales del 1,7 % y 0,9 %, respectivamente.
Suponiendo que ambas poblaciones siguen el modelo de Malthus, deduce cu´ando ser´an iguales.
Sol.: a˜no 2027
5. Deduce la “regla del 70”1que se utiliza para poblaciones que crecen exponencialmente y dice
que para calcular, aproximadamente, el n´umero de a˜nos para que una poblaci´on se duplique
basta dividir 70 por el porcentaje anual de crecimiento.
6. La poblaci´on de un cultivo de protozoos Paramecium Caudatum crece seg´un el modelo log´ısti-
co: p′=ap −bp2, con a= 2,309 y b= 6,157 ·10−3. Si inicialmente se colocaron 5 ejemplares
de Paramecium en un tubo de ensayo, calcula la poblaci´on l´ımite. Sol.: 375 ejemplares
7. Una asociaci´on para la conservaci´on de la Naturaleza libera 1200 truchas de r´ıo en un lago.
Se estima que la capacidad l´ımite o de soporte del lago para las especie es de 20400. Despu´es
del primer a˜no, hay 2000 truchas en el lago.
a) Halla la funci´on de poblaci´on de truchas en el lago, suponiendo que satisface la ecuaci´on
log´ıstica.
b) Calcula el n´umero de truchas en el lago despu´es de 8 a˜nos.
c) Calcula al cabo de cu´anto tiempo el n´umero de truchas ser´a de 5000.
d) Determina cu´ando crecer´a m´as r´apidamente la poblaci´on.
Sol.: p(t)=20400/(1+16exp(-0,5534t)), 17126 truchas, 3 a˜nos, 5 a˜nos
8. En 1891 la poblaci´on de cierto pa´ıs era de 50 millones de habitantes y crec´ıa a raz´on de
750000 personas por a˜no. Adem´as, en 1946 la poblaci´on era de 100 millones y crec´ıa a raz´on
de 1 mill´on por a˜no. Sup´on que la poblaci´on satisface la ecuaci´on log´ıstica. Halla la poblaci´on
l´ımite, cu´ando creci´o m´as r´apidamente y la pronosticada para el a˜no 2020.
Sol.: 200 millones, en el a˜no 1946, 163 millones
9. Sup´on que un estudiante portador de un virus de gripe regresa a un campus universitario
aislado que tiene 1000 estudiantes y que la velocidad de propagaci´on del virus es proporcio-
nal no s´olo al n´umero de estudiantes contagiados, sino tambi´en al n´umero de alumnos no
contagiados. Determina el n´umero de estudiantes contagiados despu´es de 6 d´ıas, si se observa
que despu´es de 4 d´ıas dicho n´umero es de 50. Deduce cu´ando crecer´a m´as r´apidamente la
poblaci´on contagiada. Sol.: 276 contagiados, al cabo de 7 d´ıas
10. El is´otopo radiactivo del kript´on 85Kr es un gas inerte radiactivo con una semivida de 10,76
a˜nos que se produce en la fisi´on del uranio y del plutonio. Deduce el porcentaje de la cantidad
original que queda al cabo de 43,04 a˜nos. Sol.: 6,25 %
11. El polonio-210 tiene una semivida de 138 d´ıas. Si una muestra de dicha sustancia tiene una
masa de 800 µg (1 µg = 10−6g), calcula su cantidad al cabo de 23 meses. Sol.: 25 µg
12. El is´otopo radiactivo de plomo 209Pb tiene una semivida de 3,3 horas. Si inicialmente hay
1 gramo de plomo, halla el tiempo que transcurrir´a para que se desintegre el 90% de dicha
cantidad. Sol.: 11 horas
1R. Brewer: The science of Ecology. Saunders College Publishing, 1988, p. 89.
