C´alculo I
Grupos A, B, F (E.I.I.)
17 de junio de 2015
Departamento de
Matem´
atica Aplicada II
Alumno:
Nombre y Apellidos: DNI:
(1 pto.) 1. Hallar el valor de lim
n→+∞n+ 1
n2+ 21
3 ln(n)
.
(1 pto.) 2. Se considera la funci´on f: [−π/4,0] →Rdefinida por
f(x) = 4x+ 1 −tg (x).
Utilizar los teoremas de Bolzano y Rolle para probar que existe un ´unico
a∈(−π/4,0) tal que f(a) = 0.
(2 ptos.) 3. Sea F: [0,∞)→Rdefinida por F(x) = Zx2
0
e−t2dt.
(a) Justificar que Fes derivable y calcular F0.
(b) Hallar lim
x→0+
x2−F(x)
x2.
(3 ptos.) 4. Dada la funci´on f:R2→Rdefinida por
f(x, y) = x3−3x2+ (sen (x)−2)(y−1)2,
Se pide:
(a) Estudiar si ftiene alg´un extremo relativo en R2.
(b) Calcular las derivadas direccionales de la funci´on fseg´un un vector
unitario ~u = (u1, u2) en el punto (0,−1).
(c) Sea G:R3→R2la funci´on G(x, y , z) = (x+y, x −z). Hallar la matriz
asociada a la diferencial de f◦Gen el punto (0,0,1).
(2 ptos.) 5. Calcular una primitiva de la funci´on f: [1,∞)→Rdefinida por
f(x) = ln(1 + x)
x2.
(1 pto.) 6. Determinar el ´area de la regi´on acotada comprendida entre las gr´aficas de
y=xey=x√xcon x≥0.