¡Descarga Integración: Funciones Integrables, Integrales Riemann y Primitivas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEM ´ATICAS. GRAO EN ADE-DEREITO. CURSO 2020-
TEMA 3: INTEGRACI ´ON
1. FUNCI ´ONS INTEGRABLES
A teor´ıa da integraci´on de funci´ons reais dunha variable real est´a relacionada co c´alculo da ´area deter- minada pola gr´afica dunha funci´on definida nun intervalo [a, b]. A integral de Riemann determina esta ´area aproxim´andoa, por exceso e por defecto, pola suma das ´areas duns rect´angulos que ou ben est´an comprendi- dos ou ben comprenden ´a ´area que se quere determinar. Cando estas aproximaci´ons converxen, diremos que a funci´on ´e Riemman integrable e definiremos a integral de f en [a, b] como a ´area indicada anteriomente.
Por outra banda, unha primitiva dunha funci´on f e unha funci´´ on derivable g tal que a s´ua derivada coincide con f , ´e dicir, g′^ = f. Podemos dicir que, en certo modo, o c´alculo de primitivas ´e a operaci´on inversa da derivaci´on. Como veremos neste tema, o c´alculo de primitivas est´a relacionado co c´alculo da integral.
Abordaremos o problema de calcular a ´area encerrada entre a gr´afica dunha funci´on f acotada nun intervalo [a, b], o eixo horizontal e as rectas verticais x = a e x = b.
Definici´on. Un conxunto P = {xo,... , xn} ⊂ [a, b] ´e unha partici´on do intervalo [a, b] se a = xo < x 1 <
... < xn = b. Denotaremos P([a, b]) o conxunto de t´´ odalas partici´ons do intervalo [a, b].
Definici´on. Sexan f : [a, b] −→ R unha funci´on acotada e P unha partici´on de [a, b]:
- Ch´amase suma superior de Riemann de f relativa ´a partici´on P a
S(P, f ) =
∑^ n
k=
Mk(xk − xk− 1 ), sendo Mk = sup{f (x) : x ∈ [xk− 1 , xk]}.
- Ch´amase suma inferior de Riemann de f relativa ´a partici´on P a
S(P, f ) =
∑^ n
k=
mk(xk − xk− 1 ), sendo mk = ´ınf{f (x) : x ∈ [xk− 1 , xk]}.
Definici´on.
- Ch´amase integral superior de Riemann da funci´on acotada f en [a, b] a ∫ (^) b
a
f = ´ınf
S(P, f ) : P ∈ P([a, b])
- Ch´amase integral inferior de Riemann da funci´on acotada f en [a, b] a ∫ (^) b
a
f = sup {S(P, f ) : P ∈ P([a, b])}
Obviamente,
∫ (^) b
a
f ≤
∫ (^) b
a
f
Definici´on. Unha funci´on acotada f : [a, b] −→ R ´e Riemann-integrable (no sucesivo, integrable) en
[a, b] se
∫ (^) b
a
f =
∫ (^) b
a
f. En tal caso, este valor com´un ch´amase integral de Riemann de f en [a, b] e den´otase ∫ (^) b
a
f ou
∫ (^) b
a
f (x) dx. Ese valor ´e a ´area comprendida entre a gr´afica da funci´on f , o eixo horizontal e as rectas
verticais x = a e x = b.
Teorema. Sexa f : [a, b] −→ R unha funci´on acotada:
- Se c ∈ (a, b), f e integrable en´ [a, b] se, e s´o se, f ´e integrable en [a, c] e en [c, b]. Neste caso: ∫ (^) b
a
f =
∫ (^) c
a
f +
∫ (^) b
c
f
- Se f ´e mon´otona, ent´on f ´e integrable en [a, b].
- Se f ´e continua, ent´on ´e integrable en [a, b].
Teorema. Se f, g : [a, b] −→ R son funci´ons integrables en [a, b]:
- Para todo α, β ∈ R,
∫ (^) b
a
αf + βg = α
∫ (^) b
a
f + β
∫ (^) b
a
g
- Se para todo x ∈ [a, b], f (x) ≤ g(x) ent´on
∫ (^) b
a
f ≤
∫ (^) b
a
g
Teorema (Teorema do valor medio do c´alculo integral). Se f : [a, b] −→ R ´e unha funci´on continua,
existe c ∈ [a, b] tal que
∫ (^) b
a
f = f (c)(b − a).
O n´umero f (c) = (^) b−^1 a
∫ (^) b
a
f ch´amase valor promedio da funci´on f no intervalo [a,b]
2. A FUNCI ´ON INTEGRAL
Definici´on. Se f ´e unha funci´on integrable no intervalo [a, b], ch´amase funci´on integral de f ´a funci´on
F : [a, b] −→ R, definida como F (x) =
∫ (^) x
a
f (t) dt.
A funci´on integral dunha funci´on integrable sempre ´e continua. En xeral, a funci´on F non ten porque ser derivable. O seguinte resultado proporciona unha condici´on suficiente para que F sexa derivable.
Teorema (Teorema fundamental do c´alculo integral). Se f : [a, b] −→ R e unha funci´´ on continua ent´on
a s´ua funci´on integral, F (x) =
∫ (^) x
a
f (t) dt, ´e derivable e ademais F ′(x) = f (x), para todo x ∈ (a, b).
Derivaci´on de integrales: Consideremos os seguintes exemplos:
- Para calcular a derivada da funci´on F (x) =
∫ (^) x
0
t^2 dt consideramos a funci´on continua f (t) = t^2. As´ı, F e a funci´´ on integral de f e, aplicando o teorema anterior, podemos afirmar que F ′(x) = f (x). As´ı F ′(x) = x^2.
- Para calcular a derivada da funci´on G(x) =
∫ (^) x 4
0
t^2 dt, considerar´ıamos que G(x) = F (x^4 ). Polo tanto, G′(x) = F ′(x^4 )4x^3 = f (x^4 )4x^3 = x^84 x^3 = 4x^11
- Para calcular a derivada de H(x) =
∫ (^) x 4
2 x
t^2 dt, observamos que H(x) =
∫ (^) x 4
0
t^2 dt −
∫ (^2) x
0
t^2 dt = F (x^4 ) − F (2x). Polo tanto, H′(x) = 4x^3 F ′(x^4 ) − 2 F ′(2x) = 4x^3 f (x^4 ) − 2 f (2x) = 4x^11 − 8 x^2.
M´etodo de cambio de variable Supo˜namos que F ´e unha primitiva de f. ´E dicir, F ′^ = f ou, equivalentemente,
f = F. Sabemos que se G(x) = F (g(x)), aplicando a regra da cadea:
G′(x) = F ′(g(x))g′(x) = f (g(x))g′(x)
Polo tanto,∫ G(x) ´e unha primitiva de f (g(x))g′(x), ´e dicir: f (g(x))g′(x)dx = G(x) = F (g(x)) = F (t) =
f (t)dt, onde t = g(x). En resumen: ∫ f (g(x))g′(x)dx =
f (t)dt
sendo t = g(x), dt = g′(x)dx
M´etodo de integraci´on por partes Se h(x) = f (x)g(x), h′(x) = f (x)g′(x) + f ′(x)g(x). Entonces: ∫ h′(x)dx =
f (x)g′(x)dx +
f ′(x)g(x)dx
h(x) =
f (x)g′(x)dx +
f ′(x)g(x)dx
Polo tanto: ∫ f (x)g′(x)dx = f (x) · g(x) −
f ′(x)g(x)dx
A ´ultima igualdade ´e co˜necida como m´etodo de integraci´on por partes. Habitualmente, util´ızase a seguinte notaci´on: u = f (x) e v = g(x), polo que du = f ′(x)dx e dv = g′(x)dx, resultando:
u dv = uv −
v du.
