C´alculo I
Ing. Qu´ımica Industrial
9 de enero de 2012
EXAMEN FINAL
Departamento de
Matem´
atica Aplicada II
1. Sea {xn}nla sucesi´on de n´umeros reales definida mediante
x1=1,x
n=3xn−1
1+xn−1
,n≥2.
(a) Emplear el principio de inducci´on para demostrar que 0 ≤xn≤2, ∀n≥1.
(b) Estudiar si la sucesi´on {xn}nes mon´otona creciente o mon´otona decreciente.
(c) Calcular, si existe, lim
n→∞
xn.
2. Estudiar, seg´un los valores del par´ametro x∈Rel car´acter de la serie de n´umeros
reales ∞
n=1
n
4n2+1(x+1)
n.
3. Sea f:R→Rla funci´on real definida por
f(x)=⎧
⎨
⎩
sen (x)+x2cos(x)
x,x=0,
α, x =0.
(a) Determinar el valor de α∈Rpara que la funci´on fseacontinuaentodoR.
(b) Para el valor de αcalculado en el apartado anterior, estudiar si fes derivable en
el punto x0=0.
(c) Demostrar que la funci´on ftiene alg´un cero en el intervalo π
2,π
.
(d) Calcular el polinomio de Taylor de orden 1 de la funci´on fcentrado en el punto
a=π.
4. Sea f:R2→Rel campo escalar definido por
f(x, y)=xsen (y)+ysen (x)+xy,
yseag:(−1,∞)→R3el campo vectorial
g(t)=t2,ln(1 + t),2t.
(a) Calcular las matrices Df(0,π), Dg(0) y D(g◦f)(0,π).
(b) Estudiar si (0,0) es un extremo relativo de f(x, y).
5. (a) Calcular
2x2+x−1
(x+1)(x2+1) dx.
(b) Determinar el valor de la siguiente integral impropia e indicar si es convergente
ono
1
0
1
√1−xdx.