DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
1
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO 1
UNIDAD I: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
SESIÓN 3
1. FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’HÔPITAL.
2. DERIVADAS IMPLÍCITAS
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Derivadas Implícitas y Formas Indeterminadas, Diapositivas de Cálculo
CALCULO 1 MATERIAL UPN CALCULO 1 MATERIAL UPN CALCULO 1 MATERIAL UPN CALCULO 1 MATERIAL UPN CALCULO 1 MATERIAL UPN CALCULO 1 MATERIAL UPN
Tipo: Diapositivas
2018/2019
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CÁLCULO 1
UNIDAD I: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
SESIÓN 3
1. FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’HÔPITAL.
2. DERIVADAS IMPLÍCITAS
CÁLCULO 1
UNIDAD I: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
SESIÓN 3.1: FORMAS INDETERMINADAS Y REGLA DE L’HÔPITAL
Guillaume François de l’Hôpital (1661-1704), más conocido como
marqués de l’Hôpital, fue un matemático parisino conocido por la
llamada Regla de L’Hôpital.
Esta regla permite, como veremos a continuación, el cálculo de
límites de fracciones en las que el numerador y denominador tienden
ambos al infinito o a cero.
En realidad, esta regla fue demostrada por Johann Bernoulli (1667-
1748), pero por un acuerdo entre ambos, el descubrimiento lo
publicó el marqués en su obra Analyse des infiniment petits pour
l’intelligence des lignes courbes en 1696. Esta obra es considerada el
primer libro publicado sobre cálculo diferencial.
El acuerdo secreto fue revelado por el propio Bernoulli que, tras la muerte del marqués, aseguró ser el
verdadero autor de la mayoría de los resultados publicados por l’Hôpital.
Cabe decir que, aunque se dice que l’Hôpital quiso llevarse los méritos, nunca anunció ser el
descubridor y, de hecho, agradeció a Bernoulli su ayuda en su libro.
La regla la usaremos para calcular límites con la indeterminación del tipo 0/0 y la ∞/∞. Sin embargo,
podemos usarla para otro tipo de indeterminaciones, si damos forma a la indeterminación.
Si tenemos las indeterminaciones
Derivamos el numerador y el denominador, por separado, para calcular el límite.
Dicho matemáticamente (de forma no rigurosa)
Podemos aplicar la regla tantas veces como queramos, siempre que tengamos la indeterminación
cociente de infinitos o de ceros.
La regla es cierta tanto para los límites con x tendiendo a un punto como a infinito.
NIVEL 2:
3. Calcule los siguientes límites, usando la Regla de L’Hôpital:
a. lim
x→ 0
ex−( 1 −x)
x b.^ lim x→ 0
e2x− 1 ex− 1
c. lim
x→ 1
ln 𝑥^2 x^2 − 1
d. lim
x→∞
ex^ (
x)
e. lim
x→ 0
sen(6x) 4x
f. lim
x→ 0
sen 7x sen 5x
g. lim
x→ 0
arcsen x
x h.^ xlim→π+
sen x √𝑥−𝜋
i. lim
𝑥 𝑒−𝑥^ j. 𝑙𝑖𝑚
4. Calcule los siguientes límites, usando la Regla de L’Hôpital:
a. lim
x→ 2
x^4 − 4 x^3 +x^2 +12x− 12
x^3 −x^2 −8x+ 12 b.^ xlim→− 2
𝑥^5 + 4 x^4 + 4 x^3 +x^2 +4x+ 4 x^3 + 3 x^2 − 4
Rp.1/5 Rp.7/
c. lim
x→ 0
arctan x−x
x^2 d.^ lim x→ 0
cos(2x)−cos 𝑥 sin^2 𝑥
Rp. 0 Rp. - 3/
e. lim
x→ 0
csc(𝜋𝑥) ln 𝑥 f. lim
𝑥∙𝑒𝑥/^2
Rp.-1/π Rp. 0
NIVEL 3:
5. La función costo de producción en un taller de muebles de melamina se define por
𝑞^3 −4𝑞^2 +5𝑞−
𝑞^3 −5𝑞^2 +7𝑞−3, donde^ 𝑞^ es la cantidad de muebles en cientos y^ 𝐶^ es el costo en nuevos soles.
Calcule el costo de producir aproximadamente cien muebles.
6. La velocidad 𝑣 de un objeto que cae a través de un medio resistente como el aire o el agua está
dada por: 𝑣 =
−𝑘𝑡 + 𝑣^0 𝑘𝑒−𝑘𝑡
32 )^ donde^ 𝑣^0 es la velocidad inicial,^ 𝑡^ es el tiempo en segundos
y 𝑘 es la resistencia constante del medio. Usar la regla de L’Hôpital para encontrar la fórmula para
la velocidad de un cuerpo cayendo en un vacío haciendo 𝑣 0 y 𝑡 fijos y 𝑘 tendiendo a cero.
7. La función Gamma Γ(𝑛) se defina en términos de la integral de la función dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛−1𝑒−𝑥,
𝑛 > 0. Verifique que para cualquier valor fijo de 𝑛, el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a infinito es
cero.
e) y = x ln(y) + sen(3x) f) √xy + 2x = √y
g) sen (xy)^ − cos(xy)^ = xy h)^ ex−y^ =^ ln(^ x^ −^ y)
i) e^3 x
(^2) y
+ 5 x^3 y − ln( y^7 x) = 10 j)^ ln^ y^ +^ ln^ x^ =^ y^ −^ x
k) cos (2x − 3y) = 2x − 3y l) tan (x^2 − 3y) = x^2 + 3y
m) sen(xy) + cos(xy) = tg(x + y) n) 4 x^3 y^2 = (y + 1 )^2 ( 2 − x^3 )
NIVEL 3:
4. Halla la ecuación de la recta tangente y normal a la curva (𝑥 + 2)^2 + (𝑦 − 3)^2 = 37 en P (4, 4).
5. Halla la ecuación de la recta tangente y normal a la curva (𝑥^2 + 𝑦^2 )^2 = 4𝑥^2 𝑦 en el punto P (1, 1).
6. Halla la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 3(𝑥^2 + 𝑦^2 )^2 = 100(𝑥^2 − 𝑦^2 ) en P (4, 2).
7. Cuando el precio de cierto artículo es 𝑝 dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer 𝑞
miles de unidades, donde 𝑞^2 − 2𝑞√𝑝 − 𝑝^2 = 31. ¿Con qué rapidez cambia la oferta cuando el
precio es de $ 9 la unidad y crece a razón de 20 centavos de dólar por semana?
8. Suponga que el volumen de ventas 𝑦 de una compañía (en miles de dólares) se relaciona con los
gastos de publicidad 𝑥 (en miles de dólares) de acuerdo con 𝑥𝑦 − 20𝑥 + 10𝑦 = 0. Encuentre la
razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto en dólares.
9. Si la pendiente de la recta tangente a la curva 𝑥^2 𝑦 + 𝑎^2 𝑦 = 𝑥^2 𝑎^2 en el punto de abscisa 1 es uno,
calcule el valor de 𝑎.
Bibliografía: