¡Descarga formas indeterminadas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
UNIDAD II. FORMAS INDETERMINADAS
La definición de una integral definida ∫
𝑏
𝑎
, requiere que el intervalo [ a , b ] sea finito.
Además, el teorema fundamental del cálculo por el que se han estado evaluando las integrales
definidas, requiere que ƒ sea continua en [ a , b ].
En esta sección se estudiará un procedimiento para evaluar integrales que normalmente no
satisfacen estos requisitos porque cualquiera de los dos límites de integración son infinitos,
o ƒ tiene un número finito de discontinuidades infinitas en el intervalo [ a , b ]. Las integrales
que poseen estas características son llamadas integrales impropias.
En una función se dice que ƒ tiene una discontinuidad infinita en “c” si, por la derecha o
izquierda se tiene que:
lim
𝑥→𝑐
= ∞ 𝑜 lim
𝑥→𝑐
−
Para tener una idea de cómo evaluar una integral impropia, consideraremos la siguiente
integral:
2
𝑏
1
− 2
𝑏
1
− 2 + 1
1
𝑏
− 1
1
𝑏
1
𝑏
la cual puede interpretarse como el área de la región sombreada mostrada en la figura
siguiente.
Tomando el límite cuando 𝑏 → ∞ produce:
2
∞
1
= lim
𝑏→∞
2
𝑏
1
= lim
𝑏→∞
= lim
𝑏→∞
1 − lim
𝑏→∞
Para obtener el lim
𝑏→∞
1
𝑏
= 0 se le dan valores a la variable “b” y observar su tendencia así:
b
En efecto este límite tiende a cero cuando b se hace cada vez más grande.
Esta integral impropia se interpreta como el área de la región no acotada entre la gráfica de
1
𝑥
2
, el eje x (a la derecha de 𝑥 = 1 )
Podemos ver que 𝐴 = 1 −
1
𝑏
< 1 , sin importar cuán grande sea “b”. También se puede
observar que: lim
𝑏→∞
1
𝑏
TIPO I : Integrales impropias con límites de integración infinitos
Definición de integral impropia del tipo I
1 ) Si f es continua en el intervalo [𝑎, ∞[, entonces
∞
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
𝑏
𝑎
2 ) Si f es continua en el intervalo ]−∞, 𝑏], entonces
𝑏
−∞
𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞
𝑏
𝑎
3 ) Si f es continua en el intervalo
]
[
, entonces
∞
−∞
𝑐
−∞
∞
𝑐
∞
−∞
𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞
𝑐
𝑎
𝑑𝑥 + lim
𝑏→∞
𝑏
𝑐
Donde “c” es cualquier número real.
Ejemplo. Determinar si las integrales siguientes convergen o divergen
−𝑥
∞
0
2
∞
0
Solución a)
Aplicando 1) de la definición anterior y haciendo cambio de variable 𝑢 = −𝑥, 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥,
entonces – 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 se tiene:
−𝑥
∞
0
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
−𝑥
𝑏
0
= lim
𝑏→∞
𝑢
𝑏
0
= lim
𝑏→∞
𝑢
0
𝑏
= lim
𝑏→∞
−𝑥
0
𝑏
lim
𝑏→∞
−𝑏
− 0
)) = lim
𝑏→∞
−𝑏
𝑏→∞
𝑏
Para obtener la tendencia de este límite se puede hacer una tabla y darle valores a la
variable “b” y ver su tendencia. Haciendo esto se obtiene:
b
𝑏
5
− 3
10
− 5
100
− 44
De acuerdo a la tendencia lim
𝑏→∞
1
𝑒
𝑏
Entonces
−𝑥
∞
0
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
𝑏
= lim
𝑏→∞
𝑏
𝑏→∞
Por lo tanto: ∫
−𝑥
∞
0
𝑑𝑥 es convergente y converge a 1
Solución b) Usando primero el 1) de la definición anterior y la tabla de integrales básicas
tenemos:
2
∞
0
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
2
𝑏
0
= lim
𝑏→∞
0
𝑏
= lim
𝑏→∞
2
∞
0
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
(𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑏) − 0 ) = lim
𝑏→∞
Puede observarse de la figura anterior que a medida “b” o “x” (ya que la variable es muda)
crecen o se hacen cada vez más grandes es decir 𝑏 → ∞ el límite de la ArcTan(b) se acerca
cada vez más a
𝜋
2
Por lo tanto: ∫
1
𝑥
2
∞
0
𝑑𝑥 es convergente y converge a 𝜋/ 2
= lim
𝑎→−∞
[𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑒
0
𝑎
)] + lim
𝑏→∞
[𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛(𝑒
𝑏
0
)]
= lim
𝑎→−∞
[
𝑎
]
𝑏→∞
[
𝑏
]
= lim
𝑎→−∞
− lim
𝑎→−∞
𝑎
𝑏→∞
𝑏
− lim
𝑏→∞
Por lo tanto: ∫
𝑒
𝑥
1 +𝑒
2 𝑥
∞
−∞
𝑑𝑥 es convergente y converge a 𝜋/ 2
Ejemplo. Determinar si la integral ∫ ( 1 − 𝑥)𝑒
−𝑥
∞
1
𝑑𝑥 es convergente o divergente
Solución. Primero resolvemos la integral indefinida ya que para resolver este tipo de
integral se usa el método de integración por partes.
Sea 𝑢 = 1 − 𝑥, 𝑑𝑢 = − 1 𝑑𝑥 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑣 = 𝑒
−𝑥
−𝑥
Resolviendo con cambio de variable llegamos a que 𝑣 = −𝑒
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
−𝑥
Aplicando la parte 1 ) de la definición de integrales impropias:
−𝑥
∞
1
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
−𝑥
𝑏
1
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
−𝑥
1
𝑏
lim
𝑏→∞
−𝑏
− 1
) = lim
𝑏→∞
𝑏
− lim
𝑏→∞
Usando la regla de 𝐿’𝐻𝑜̈ 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 al último limite ya que es de la forma
∞
∞
lim
𝑏→∞
𝑏
− lim
𝑏→∞
= lim
𝑏→∞
𝑏
= lim
𝑏→∞
𝑏
−𝑥
∞
1
−𝑥
∞
1
𝑑𝑥 es convergente y converge a −
1
𝑒
Tipo II Integrales impropias con integrandos discontinuos
Suponga que 𝑓 es una función continua positiva definida sobre un intervalo finito
[
]
pero tiene una asintota vertical en “b”. Sea S la región no acotada debajo de la gráfica de f
y arriba del eje “x”, entre a y b (para integrales del tipo I, la región se extendió
indefinidamente en sentido horizontal). En este caso, la región es infinita en dirección
vertical, el área de la parte de S entre a y t , esta dada por:
𝑡
𝑎
Si sucede que A tiende a un número definido cuando 𝑡 → 𝑏
−
, entonces decimos que el área
de la región S es A y se escribirá:
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑡→𝑏
−
𝑡
𝑎
Se usará la igualdad anterior para definir una integral impropia del tipo II, incluso cuando f
no es una función positiva, sin importar que tipo de discontinuidad tiene f en b.
Ejemplo****. Calcular ∫
1
𝑥
3
2
0
Solución : El integrando tiene una discontinuidad infinita en 𝑥 = 0. Reescribiendo el
integrando tenemos: ∫
1
𝑥
3
2
0
− 3
2
0
. Usando la parte b) de la definición así;
− 3
2
0
= lim
𝑡→ 0
− 3
2
𝑡
= lim
𝑡→ 0
− 2
𝑡
2
= lim
𝑡→ 0
− 2
− 2
= lim
𝑡→ 0
2
= lim
𝑡→ 0
𝑡→ 0
2
Así pues, la integral impropia ∫
1
𝑥
3
2
0
𝑑𝑥 diverge
Ejemplo****. Evaluar ∫
1
𝑥
3
2
− 1
Solución : Esta integral es impropia porque el integrando tiene una discontinuidad infinita
en 𝑥 = 0. Usando la parte c) de la definición y reescribiendo la integral tenemos:
3
2
− 1
3
3
2
0
0
− 1
Del ejercicio anterior se sabe que la segunda integral diverge.
3
2
− 1
Ejemplo. Evaluar la integral impropia ∫
1
(𝑥− 1 )
2 / 3
3
0
Solución : El integrando tiene una discontinuidad infinita en 𝑥 = 1.
Reescribiendo el integrando tenemos: ∫
1
(𝑥− 1 )
2 / 3
3
0
− 2 / 3
3
0
2 / 3
3
0
− 2 / 3
1
0
− 2 / 3
3
1
Usando c) de la definición se obtiene:
= lim
𝑡→ 1
−
− 2 / 3
𝑡
0
𝑡→ 1
− 2 / 3
3
𝑡
Hacer 𝑢 = 𝑥 − 1 , 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
= lim
𝑡→ 1
−
− 2 / 3
𝑡
0
𝑡→ 1
−
2
3 𝑑𝑢
3
𝑡
= lim
𝑡→ 1
−
1 / 3
0
𝑡
) + lim
𝑡→ 1
1 / 3
𝑡
3
= lim
𝑡→ 1
−
1 / 3
0
𝑡
) + lim
𝑡→ 1
1 / 3
𝑡
3
= lim
𝑡→ 1
−
1 / 3
1 / 3
) + lim
𝑡→ 1
1 / 3
1 / 3
= lim
𝑡→ 1
−
1 / 3
) + lim
𝑡→ 1
−
3 + lim
𝑡→ 1
1 / 3
) − lim
𝑡→ 1
1
3 ) = 0 + 3 + 3 √ 2
3
Por lo tanto
1
(𝑥− 1 )
2 / 3
3
0
𝑑𝑥 es convergente y converge a 3 + 3 √
3
En los ejercicios 1 9 a 36 , explicar por qué la integral es impropia y determinar si es
divergente o convergente.
En los ejercicios 37 al 54, determinar si la integral impropia es divergente o
convergente.
