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a t ic a sa t e^ ’ Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´ecnica Superior
Departamento de Matem´aticas
Primer Curso de Grados en: Ingenier´ıa de Sistemas de Comunicaciones Ingenier´ıa Telem´atica.
C ALCULO I´ CONTROL 1, 14 de noviembre de 2013. RESOLUCI ON´
Responder a 4 de las siguientes 5 preguntas. Cada pregunta se valorar´a sobre 2.5 puntos
Tiempo: 100 minutos
Problema 1 Encuentra el conjunto E de los x ∈ R que verifican:
E = {
2 x + 8 x^2 + 8x + 7
Descomponiendo el denominador x^2 + 8x + 7 = (x + 1)(x + 7), basta estudiar el signo de cada uno de los factores, x + 1, x + 4 y x + 7. Los tres son positivos si x > −1. Dos negativos y uno positivo si − 7 < x < −4. Si los tres son negativos o uno negativo y dos positivos el resultado es negativo. Adem´as hay que incluir x = −4 en el que el cociente es cero (no se pueden incluir x = −1 ni x = − 7 pues se anular´ıa el denomiador). Como resultado E = (− 7 , −4] ∪ (1, ∞).
Problema 2 Determina la relaci´on entre a y b para que
l´ım x→ 1 xa/(1−x)^ = l´ım x→ 0 (cos x)b/x 2 .
Los dos l´ımites son de la forma exponencial.
l´ım x→ 1 xa/(1−x)^ = e xl´ım→ 1 a(^1 x−−x1)^ = e−a;
l´ım x→ 0 (cos x)b/x 2 = e xl´ım→ 0 b(cos^ x^ x^2 −1) = e−b/^2.
Finalmente a = b/2.
Problema 3 Sea la funci´on f (x) = |x^3 (x − 4)| − 1.
a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Calcula sus extremos relativos y estudia si son absolutos. c) Prueba que la ecuaci´on f (x) = 0 tiene una ´unica soluci´on en el intervalo [0, 1].
a) La funci´on es continua en todo R por ser composici´on de funciones continuas. Descomponemos el valor absoluto: f (x) =
x^3 (x − 4) − 1 si x ≤ 0 o x ≥ 4 −x^3 (x − 4) − 1 si 0 ≤ x ≤ 4
Confirmamos la continuidad en los puntos dudosos: f (0−) = f (0+) = −1, f (4−) = f (4+) = −1. Derivando f ′(x) =
4 x^3 − 12 x^2 si x < 0 o x > 4 12 x^2 − 4 x^3 si 0 < x < 4 Tenemos f ′(0−) = f ′(0+) = 0, f ′(4−) = −64, f ′(4+) = 64. Por tanto es derivable en todo R menos en x = 4. b) La derivada se anula en x = 0 y en x = 3, mientras que no existe la derivada en x = 4; los tres son candidatos a extremos locales. Como f (0) = f (4) = −1, f (x) ≥ −1, (^) x→±∞l´ım f (x) = ∞, se tiene que x = 0 y x = 4 son m´ınimos absolutos y no hay m´aximo absoluto. c) Como f (0) = −1 y f (1) = 2, por el Teorema de Bolzano existe al menos una soluci´on en el intervalo [0, 1]. Pero como f ′(x) > 0 en todo ese intervalo, solo hay una soluci´on.
Problema 4 Halla el ´area S del rect´angulo, de lados paralelos a los ejes e inscrito en la elipse
x^2 a^2
y^2 b^2
de ´area m´axima.
El rect´angulo tendr´a de v´ertices los puntos (±x, ±y), con 0 ≤ x ≤ a, y = b
1 − x^2 /a^2. El ´area es A = 4xy. Por tanto la funci´on a maximizar es f (x) = 4bx
1 − x^2 /a^2 = (^4) ab x
a^2 − x^2 , en x ∈ [0, a]. La derivada es
f ′(x) = 4 b a
a^2 − x^2 − x^2 √ a^2 − x^2
4 b(a^2 − 2 x^2 ) a
a^2 − x^2
que se anula en x = a/
- Como la funci´on se anula en los extremos, f (0) = f (a) = 0, el punto hallado ser´a el m´aximo, con ´area f (a/
- = 2ab.
Problema 5 Calcula el polinomio de Taylor de grado 10 de la funci´on f (x) = ex^3 sen(3x^2 ) alrededor del origen.
Los polinomios de Taylor de las funciones exponencial y seno son
ex^ 1 + x +
x^2 2!
x^3 3!
xn n! sen x x −
x^3 3!
x^5 5!
(−1)nx^2 n+ (2n + 1)!
Por tanto, hasta grado 10:
ex 3 ∼ 1 + x^3 + x^6 2!
x^9 3!
, sen 3x^2 ∼ 3 x^2 − (3x^2 )^3 3!
(3x^2 )^5 5!
Multiplicando
ex
3 sen 3x^2 ∼
1 + x^3 +
x^6 2!
x^9 3!
3 x^2 −
(3x^2 )^3 3!
(3x^2 )^5 5!
∼ 3 x^2 −
32 x^6 3!
35 x^10 5!
33 x^9 3!
x^8
= 3 x^2 + 3x^5 −
x^6 +
x^8 −
x^9 +
x^10.
