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a t ic a sa t e^ ’ Universidad Carlos III de Madrid
Escuela Polit´ecnica Superior
Departamento de Matem´aticas
Primer Curso de Grados en: Ingenier´ıa de Sistemas de Comunicaciones Ingenier´ıa Telem´atica.
C ALCULO I´ CONTROL 2, 4 de diciembre de 2013.
Cada pregunta se valorar´a sobre 2.5 puntos. Tiempo: 100 minutos
Problema 1 Calcula dos de los tres l´ımites siguientes:
a) (^) nl´→∞ım
cos^2 n
)n b) (^) nl´→∞ım
∑^ n k=
k^2 sen(1/k)
n^2
c) (^) nl´→∞ım √ n^ n n!
a) Definiendo 1/n = x, aplicando la f´ormula exponencial y la regla de L’Hˆopital,
nl´→∞ım
cos^2 n
)n = e xl´ım→ 0 cos 2x^ + 3 sen 2 x x^ −^1
= e xl´ım→ 0 (−2 sen 2x^ + 6 cos 2x) = e^6.
b) Aplicando la regla de Stolz, definiendo 1/n = x, y aplicando L’Hˆopital,
nl´→∞ım
∑^ n k=
k^2 sen(1/k)
n^2 = l´^ n→∞ım
n^2 sen(1/n) n^2 − (n − 1)^2 = l´^ n→∞ım
sen(1/n) 2 /n − 1 /n^2 = l´ xım→ 0 sen^ x 2 x − x^2
=^1
c) Aplicando la f´ormula de Stirling, definiendo n = x, y aplicando L’Hˆopital,
nl´→∞ım^ √^ n^ n n!
= l´ n→∞ım^ n (n/e) 2 n
2 πn
= e l´ n→∞ım(2πn)^1 /^2 n^ = e · e xl´→∞ım^ log(2πx) 2 x (^) = e.
Problema 2 Se considera la sucesi´on definida por an+1 = (2 + an)k, a 0 = 0, con k una constante.
a) Dibuja e interpreta el diagrama de la telara˜na y calcula (^) nl´→∞ım an para k = 1/2. b) La misma cuesti´on para k = −1.
a) Los posibles l´ımites ℓ = (^) nl´→∞ım an, verifican (2 + ℓ)^1 /^2 = ℓ ⇔ 2 + ℓ = ℓ^2 ⇔ ℓ = 2 o ℓ = −1. Si f (x) = (1 + x)^1 /^2 , se tiene f ′(x) = 12 (1 + x)−^1 /^2 > 0, y la sucesi´on es mon´otona; como a 1 =
2 > 0 = a 0 , es mon´otona creciente, y el l´ımite es ℓ = 2.
b) Los posibles l´ımites verifican (2 + ℓ)−^1 = ℓ ⇔ ℓ^2 − 2 ℓ − 1 = 0 ⇔ ℓ = 1 ±
- Si f (x) = (1 + x)−^1 , se tiene f ′(x) = −(1 + x)−^2 < 0, por lo que la sucesi´on es oscilante; pero siempre es f (x) > 0, es decir, an > 0 para todo n ≥ 1, por lo que el l´ımite es ℓ = 1 +
Problema 4 Resuelve dos de los tres apartados siguientes:
a) Halla el intervalo de convergencia de la serie de potencias
∑^ ∞
n=
(x − 2)n n 10 n−^1.
b) Calcula el valor de la suma
∑^ ∞
n=
(−1)n 9 n+ 2 n(2n)!
c) Desarrolla en serie de potencias la funci´on f (x) = 1 2 + 3x^2
a) El radio de convergencia es ρ = 10 pues
1 ρ = l´^ n→∞ım
n 10 n−^1 (n + 1)10n^ =^
Como la serie est´a centrada en x = 2, el intervalo es al menos (− 8 , 12), pero puede ser abierto, semicerrado o cerrado. En los extremos se tiene:
x = 12 ⇒
∑^ ∞
n=
10 n n 10 n−^1 = 10
∑^ ∞
n=
n
que diverge. x = − 8 ⇒
∑^ ∞
n=
(−10)n n 10 n−^1
∑^ ∞
n=
(−1)n n que converge (aunque condicionalmente). Finalmente el intervalo de convergencia es [− 8 , 10). b) Se trata del desarrollo de una funci´on coseno:
∑^ ∞
n=
(−1)n 9 n+ 2 n(2n)! = 9
∑^ ∞
n=
(−1)n(9/2)n (2n)! = 9
∑^ ∞
n=
(−1)n(3/
2)^2 n (2n)! = 9 cos(3/
c) Utilizando el desarrollo de la serie geom´etrica,
f (x) = 1 2 + 3x^2
=^1
1 − (− 3 x^2 /2)
=^1
∑^ ∞
n=
(− 3 x^2 /2)n^ =
∑^ ∞
n=
(−1)n 3 n 2 n+^
x^2 n.
