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UNIVERSIDAD DE OVIEDO

E.T.S. INGENIEROS DE MINAS

Departamento de Matem´aticas

NOTAS RESUMIDAS

DE

C ´ALCULO III

−4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−

−

−

0

1

2

3

4

Javier Vald´es

´Indice general

• 1. Integrales curvil´ıneas
  • 1.1. Curvas regulares
  • 1.2. Integral de un campo escalar a lo largo de una curva
  • 1.3. Integral de un campo vectorial a lo largo de una curva
  • 1.4. Ejercicios
• 2. Integrales de superficie
  • 2.1. Superficies regulares
  • 2.2. Area de una superficie regular´
  • 2.3. Integral de superficie de un campo escalar
  • 2.4. Integral de superficie de un campo vectorial
  • 2.5. Ejercicios
• 3. Teoremas Integrales del An´alisis Vectorial
  • 3.1. Teorema de Green-Riemann
  • 3.2. Teorema de Stokes
  • 3.3. Teorema de Gauss
  • 3.4. Campos conservativos y campos de gradientes
    • 3.4.1. Campos conservativos en R
    • 3.4.2. Campos conservativos en R
  • 3.5. Campos incompresibles y campos de rotores
  • 3.6. Ejercicios
• 4. Introducci´on a las Ecuaciones Diferenciales
  • 4.1. Modelizaci´on matem´atica
  • 4.2. An´alisis cualitativo, resoluci´on anal´ıtica y resoluci´on num´erica ii ´INDICE GENERAL
  • 4.3. Definiciones y clasificaci´on
• 5. Ecuaciones Diferenciales de primer orden
  • 5.1. Motivaci´on
  • 5.2. Ecuaciones Lineales. Existencia y unicidad de soluci´on.
  • 5.3. Ecuaciones no lineales. Existencia y unicidad de soluci´on.
    • 5.3.1. Variables separables
    • 5.3.2. Ecuaciones exactas y reducibles a exactas
    • 5.3.3. Ecuaciones homog´eneas y reducibles a homog´eneas
    • 5.3.4. Ecuaciones reducibles a lineales. Ecuaciones de Bernouilli y Ricatti
  • 5.4. Ecuaciones aut´onomas. An´alisis cualitativo
  • 5.5. M´etodos aproximados
    • 5.5.1. M´etodos gr´aficos. Campos de direcciones
    • 5.5.2. Aproximaciones sucesivas de Picard
    • 5.5.3. M´etodos num´ericos. M´etodos de Euler y Runge-Kutta
  • 5.6. Aplicaciones
    • 5.6.1. Trayectorias ortogonales
    • 5.6.2. Deterioro radioactivo
    • 5.6.3. Eliminaci´on de medicamentos
    • 5.6.4. Mec´anica Elemental
    • 5.6.5. Ley de enfriamiento de Newton
    • 5.6.6. Inter´es compuesto
  • 5.7. Ejercicios
• 6. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
  • 6.1. Motivaci´on
  • 6.2. Ecuaciones lineales de segundo orden
    • 6.2.1. Soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea
    • 6.2.2. Ecuaci´on no homog´enea
  • 6.3. Vibraciones mec´anicas
    • 6.3.1. Movimiento libre no amortiguado. Oscilador arm´onico
    • 6.3.2. Movimiento libre amortiguado
    • 6.3.3. Movimiento forzado no amortiguado ´INDICE GENERAL iii
    • 6.3.4. Movimiento forzado amortiguado
  • 6.4. Ecuaci´on lineal de orden n (n > 2)
    • 6.4.1. Soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea
    • 6.4.2. Ecuaci´on no homog´enea
  • 6.5. Ecuaciones de Euler-Cauchy
  • 6.6. Ejercicios
• 7. Soluciones en serie de ecuaciones lineales
  • 7.1. Motivaci´on
  • 7.2. Ecuaci´on lineal de segundo orden. Puntos ordinarios
  • 7.3. Puntos singulares regulares. M´etodo de Frobenius
  • 7.4. Ejercicios
• 8. Transformada de Laplace
  • 8.1. Motivaci´on
  • 8.2. Definici´on de la transformada de Laplace
  • 8.3. Propiedades de la transformada de Laplace
  • 8.4. Transformada inversa de Laplace
  • 8.5. Funci´on escal´on unidad
  • 8.6. Soluci´on de problemas de valor inicial
  • 8.7. Funciones de impulso
  • 8.8. Transformaci´on de funciones peri´odicas
  • 8.9. Convoluci´on
    • 8.9.1. Principio de Duhamel
  • 8.10. Tabla de transformadas de Laplace
  • 8.11. Ejercicios
• 9. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden
  • 9.1. Motivaci´on
  • 9.2. Resultados de existencia y unicidad
  • 9.3. Resoluci´on de sistemas por eliminaci´on
  • 9.4. Sistemas lineales homog´eneos
  • 9.5. Sistemas lineales no homog´eneos iv ´INDICE GENERAL
  • 9.6. Sistemas lineales con coeficientes constantes
    • 9.6.1. Sistemas homog´eneos
    • 9.6.2. Sistemas no homog´eneos
  • 9.7. Resoluci´on de sistemas mediante transformada de Laplace
  • 9.8. Ejercicios
• 10.Series de Fourier
  • 10.1. Motivaci´on
  • 10.2. Funciones peri´odicas y series trigonom´etricas
  • 10.3. Serie de Fourier general
  • 10.4. Convergencia de una serie de Fourier
    • 10.4.1. Diferenciaci´on de series de Fourier
    • 10.4.2. Integraci´on de series de Fourier
  • 10.5. Funciones pares e impares. Series de senos y cosenos
  • 10.6. Ejercicios
• 11.E.D.P. y problemas de contorno
  • 11.1. Motivaci´on
  • 11.2. Ecuaciones lineales de segundo orden
  • 11.3. Ecuaci´on del calor
    • 11.3.1. Condiciones de contorno homog´eneas
    • 11.3.2. Condiciones de contorno no homog´eneas
    • 11.3.3. Barra con extremos aislados
  • 11.4. Ecuaci´on de ondas
  • 11.5. Ecuaci´on de Laplace
  • 11.6. Ejercicios
• Bibliograf´ıa

2 CAP´ITULO 1. INTEGRALES CURVIL´INEAS

Figura 1.1: Orientaci´on de curvas

En la Figura 1.2 est´an representadas las curvas anteriores con sus respectivas orienta- ciones: α y β a la izquierda, y γ a la derecha. Los puntos α(a) y α(b), correspondientes a los dos extremos del intervalo se dicen extremos de la curva, En el supuesto α(a) = α(b), la curva se dice cerrada. La curva se dice simple si es inyectiva en [a, b], es decir si no tiene puntos m´ultiples.

Definici´on 1.1.2 (Cambio de par´ametro) Dada la curva α : [a, b] −→ Rn, cuya ima- gen es Γα, hacer un cambio de par´ametro significa considerar una nueva curva β = α ◦ h donde h : [a′, b′] −→ [a, b] es un difeomorfismo (aplicaci´on biyectiva tal que h y h−^1 son de clase C^1 ). Las curvas α y β se dicen equivalentes.

Dado que h es una biyecci´on, las im´agenes de ambas curvas coinciden, es decir β(s) = (α ◦ h)(s) = α[h(s)] = α(t), s ∈ [a′, b′], t ∈ [a, b].

Las curvas anteriores, α y β, tienen la misma orientaci´on si h′(s) > 0 para todo s ∈ [a′, b′] y orientaciones opuestas si h′(s) < 0. Necesariamente ha de ser h′(s) 6 = 0, ya que al ser h biyectiva ser´a estrictamente creciente o estrictamente decreciente y, como es de clase C^1 , h′(s) ser´a, respectivamente, positiva o negativa. La longitud de un arco de curva entre los puntos correspondientes a los valores t = a y t = b se puede definir por un proceso de paso al l´ımite, de la longitud de una poligonal. Consideremos una partici´on a = t 0 < t 1 < · · · ti− 1 < ti < · · · < tn = b,

1.1. CURVAS REGULARES 3

Figura 1.2: Cambio de par´ametro

y la poligonal generada por las im´agenes de estos puntos (Ver Figura 1.3). La longitud de la poligonal es

sn =

∑^ n i=

‖α(ti) − α(ti− 1 )‖.

En el caso n = 3, si α(t) = (x(t), y(t), z(t)) tenemos

sn =

∑^ n i=

x(ti) − x(ti− 1 ), y(ti) − y(ti− 1 ), z(ti) − z(ti−1)

que, por aplicaci´on del teorema del valor medio, podemos poner en la forma

sn =

∑^ n i=

‖ (x′(ξ i′), y′(ξ′′ i ), z′(ξ′′′ i )) ‖ ∆ti,

donde ξ′ i, ξ i′′ , ξ i′′′ ∈ (ti− 1 , ti) e ∆ti = ti − ti− 1. Es decir, sn =

∑^ n i=

(x′(ξ′ i))^2 + (y′(ξ i′′ ))^2 + (z′(ξ i′′′ ))^2 ∆ti.

Definimos la longitud del arco de curva como el l´ımite, si es que existe, de la sucesi´on sn, cuando n −→ ∞. Como x′, y′, z′^ son continuas podemos concluir que, de hecho, el l´ımite existe y est´a dado por

s = (^) nl´−→∞ım sn =

∫ (^) b a

(x′(t))^2 + (y′(t))^2 + (z′(t))^2 dt =

∫ (^) b a ‖α′(t)‖ 2 dt.

1.2. INTEGRAL DE UN CAMPO ESCALAR A LO LARGO DE UNA CURVA 5

Figura 1.4: Interpretaci´on de integral curvil´ınea de un campo escalar

Interpretaci´on

Consideremos una partici´on del intervalo [a, b], a = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < tn− 1 < tn = b,

que produce una descomposici´on de Γα en trayectorias Γαi = α[ti− 1 , ti]. Se sustituye Γα por una quebrada de v´ertices α(t 0 ), α(t 1 ), · · · , α(tn), y a cada segmento rectil´ıneo [α(ti− 1 ), α(ti)] se le asocia el valor f (α(ξi)), donde ti− 1 < ξi < ti. Vamos a evaluar las siguientes sumas y su paso al l´ımite cuando n −→ ∞

Sn =

∑^ n i=

f (α(ξi)) ‖α(ti) − α(ti− 1 )‖.

En el caso U ⊂ R^2 , teniendo en cuenta que α(ti) − α(ti− 1 ) = (α 1 (ti) − α 1 (ti− 1 ), α 2 (ti) − α 2 (ti− 1 )) = (α 1 ′(ξ′ i) ∆ti, α 2 ′(ξ′′ i ) ∆ti),

donde ξ′ i, ξ i′′ ∈ (ti− 1 , ti), y por tanto

‖α(ti) − α(ti− 1 )‖ =

α′ 1 (ξ′ i)^2 + α′ 2 (ξ i′′ )^2 ∆ti,

se tiene Sn =

∑^ n i=

f (α(ξi))

α′ 1 (ξ i′)^2 + α′ 2 (ξ′′ i )^2 ∆ti.

6 CAP´ITULO 1. INTEGRALES CURVIL´INEAS

Definimos

S = (^) nl´−→∞ım Sn y se demuestra que S =

∫ (^) b a

f (α(t)) ‖α′(t)‖ 2 dt =

α

f ds

Si Γα es un segmento rectil´ıneo, que representa un trozo de alambre de longitud L = ‖α(b) − α(a)‖, y el campo escalar f constante, representa la densidad lineal, entonces la masa del alambre viene dada por f · L. Si f no es constante y/o α es una curva regular cualquiera, la suma Sn ser´a la masa de la quebrada, que aproxima a Γα, y S la masa del alambre dado por Γα. Esta interpretaci´on es valida en R^2 o R^3. En el caso R^2 disponemos de otra interpretaci´on alternativa: consideremos Γα una curva plana y el campo escalar f tal que f (x, y) > 0 representa la altura de una valla en el punto (x, y) ∈ Γα (Ver Figura 1.4). La suma Sn representa la suma de ´areas de rect´angulos, que tiende al ´area S de la valla. Si f (x, y) = 1 la integral curvil´ınea ser´a el ´area de una valla de altura unidad, es decir la longitud de la valla ∫ α f ds =

∫ (^) b a ‖α′(t)‖ 2 dt = L. 

Proposici´on 1.2.1 (Cambio de par´ametro) Consideremos un campo escalar conti- nuo f : U ⊂ Rn^ −→ R y dos curvas equivalentes, α : [a, b] −→ U y β : [a′, b′] −→ U , cuya imagen es Γα = Γβ (ver Figura 1.2), entonces ∫ α

f ds =

β

f ds 

Dado que la integral no depende de la orientaci´ ∫ on es habitual considerar la notaci´on

α

f ds =

Γα

f dΓα.

1.3. Integral de un campo vectorial a lo largo de una

curva

Sea F : U ⊂ Rn^ −→ Rn^ un campo vectorial continuo, α : [a, b] −→ U ⊂ Rn^ una curva regular y Γα = α[a, b]. Se define la integral del campo F a lo largo de la curva α, o circulaci´on del campo F a lo largo de la curva α, como la integral de Riemann ∫ α

F · ds =

∫ (^) b a

F (α(t)) · α′(t) dt,

donde · indica el producto escalar eucl´ ∫ ıdeo. Dicha integral tambi´en suele denotarse por

Γα

F · dΓα =

Γα

F 1 dx 1 + F 2 dx 2 + · · · + Fn dxn

8 CAP´ITULO 1. INTEGRALES CURVIL´INEAS

y, aplicando el teorema del valor medio, resulta finalmente

Wn =

∑^ n i=

[F 1 (α(ξi))α′ 1 (ξ i′) + F 2 (α(ξi))α′ 2 (ξ′′ i )] ∆ti,

donde ξ′ i y ξ i′′ son puntos del intervalo (ti− 1 , ti). El trabajo realizado por el campo F a lo largo de la curva α es, por definici´on, W = (^) n−→∞l´ım Wn =

∫ (^) b a

F (α(t)) · α′(t) dt =

α

F · ds.

Es preciso anotar que, aunque Wn no son sumas de Riemann, debido a que ξi, ξ i′ y ξ′′ i no son necesariamente coincidentes, tambi´en convergen a la integral. 

Se puede considerar tambi´en el caso de una curva regular a trozos o que F sea con- tinuo y acotado salvo en un n´umero finito de puntos. En ambos casos, se considera la correspondiente partici´on del intervalo [a, b], de tal manera que sobre cada subintervalo [ti− 1 , ti] la curva sea regular y F continuo ∫ α F · ds =

∑^ n i=

∫ (^) ti ti− 1 F (α(t)) · α′(t)dt.

Podemos relacionar la integral de un campo vectorial F con la de un campo escalar adecuado f , ∫ α

F · ds =

∫ (^) b a

F (α(t)) · α′(t) dt =

∫ (^) b a

F (α(t)) · α

′(t) ‖α′(t)‖ ‖α

′(t)‖ dt,

de modo que si consideramos el campo escalar f tal que su restricci´on a los puntos imagen de la curva α sea f (α(t)) = F (α(t)) · α

′(t) ‖α′(t)‖ resulta que (^) ∫

α

F · ds =

α

f ds. 

Proposici´on 1.3.1 (Cambio de par´ametro) Consideremos un campo vectorial conti- nuo F : U ⊂ Rn^ −→ Rn^ y dos curvas equivalentes, α : [a, b] −→ U y β : [a′, b′] −→ U , cuya imagen es Γα = Γβ (ver Figura 1.2), entonces ∫ α F · ds = ±

β F · ds

seg´un que α y β tengan la misma o distinta orientaci´on. 

Es decir, al contrario que en el caso de campos escalares, la circulaci´on de un campo vectorial a lo largo de una curva depende de la orientaci´on de la misma.

1.4. EJERCICIOS 9

1.4. Ejercicios

1. Sea α : [− 1 , 1] −→ R^2 la curva regular a trozos definida por α(t) = (t, |t|), t ∈ [− 1 , 1] y sea f (x, y) = x^2 y. Calcular ∫ α f ds.

[Resp.:

√ 2 2 ]

2. Calcular las siguientes integrales de l´ınea : a)

Γ x^2 ydx+(x^2 −y^2 )dy^ desde (0,^ 0) hasta (1,^ 2) a lo largo de la par´abola^ y^ = 2x^2. b)

Γ(y^ −^ x^2 )dx^ +^ xdy^ a lo largo de la l´ınea poligonal que une sucesivamente los puntos (1, 0), (1, 1), (− 1 , 1) y (− 1 , 0).

3. Sea f (x, y) = 2x − y, y considerar la curva α(t) = (t^4 , t^4 ), t ∈ [− 1 , 1]. Calcular la integral de f a lo largo de esta curva e interpretar geom´etricamente el resultado.

[Resp.:

2]

4. Calcular (^) ∫ Γ

dx + dy |x| + |y| donde Γ es el contorno del cuadrado de v´ertices (1, 0), (0, 1), (− 1 , 0) y (0,-1) recorrido en sentido contrario al de las agujas del reloj. [Resp.: 0].

5. Calcular la circulaci´on del campo V~ = 12 (−y~i + x~j) a lo largo de las curvas, a) x^2 a^2 +^

y^2 b^2 = 1 b) arco de par´abola y = x^2 entre (-1, 1) y (1,1)

[Resp.: πab; 13 ]

6. Calcular (^) ∫ Γα

sen zdx + cos zdy − (xy) 13 dz siendo α : [0, 7 π/2] −→ U ⊂ R^3 definida por α(t) = (cos^3 t, sen^3 t, t)

[Resp.: − 21 ]

Cap´ıtulo 2

Integrales de superficie

2.1. Superficies regulares

Pretendemos hacer una generalizaci´on m´as del concepto de integral e introducir la integral de campos escalares y vectoriales sobre superficies, para lo cual veremos unas breves nociones de estas.

Definici´on 2.1.1 (Superficie regular) Una superficie parametrizada es una apli- caci´on Φ : D ⊂ R^2 −→ R^3 continua, definida sobre un dominio D (abierto y conexo) de R^2 , (x, y, z) = Φ(u, v) = (Φ 1 (u, v), Φ 2 (u, v), Φ 3 (u, v)). El conjunto imagen Φ(D) = Σ ⊂ R^3 es la superficie imagen, o superficie correspondiente a la funci´on Φ. Una superficie se dice simple si es inyectiva. Una superficie se dice regular si Φ ∈ C^1 (D) y su jacobiano es de rango 2 en todo punto de D o, equivalentemente, los vectores Φu y Φv son linealmente independientes en todo punto de D. 

Sea Φ una superficie regular y Σ = Φ(D), tal como puede verse en la Figura 2.1. Fijado v 0 , la curva α 1 (u) = Φ(u, v 0 ) tiene una curva imagen sobre Σ, cuyo vector tangente en el punto Φ(u 0 , v 0 ) ser´a

Φu = ∂ ∂uΦ =

1 ∂u (u^0 , v^0 ),

∂u (u^0 , v^0 ),

∂u (u^0 , v^0 )

An´alogamente fijado u 0 , la curva α 2 (v) = Φ(u 0 , v) tiene por vector tangente en el punto Φ(u 0 , v 0 )

Φv = ∂ ∂vΦ =

1 ∂v (u^0 , v^0 ),

∂v (u^0 , v^0 ),

∂v (u^0 , v^0 )

12 CAP´ITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Figura 2.1: Superficie regular

Como los vectores Φu y Φv son tangentes a dos curvas sobre la superficie en un punto y Φ es diferenciable en ese punto, dichas tangentes deben determinar el plano tangente a la superficie en ese punto, es decir Φu × Φv debe ser normal a la superficie. Por tanto si Φ es regular, los vectores Φu y Φv, en cualquier punto de la superficie, deben ser linealmente independientes, lo que asegura la existencia de plano tangente en todo punto. Por tanto la regularidad de una superficie, geom´etricamente, significa la existencia de plano tangente en cualquier punto.

Definici´on 2.1.2 (Superficies equivalentes) Dos superficies regulares

Φ : D ⊂ R^2 −→ R^3 , Ψ : Ω ⊂ R^2 −→ R^3 ,

se dicen equivalentes si existe un difeomorfismo H : Ω −→ D tal que Ψ = Φ ◦ H. 

En este supuesto (ver Figura 2.2) para todo (ξ, η) ∈ Ω se tiene (u, v) = H(ξ, η) = (H 1 (ξ, η), H 2 (ξ, η)), Φ(u, v) = Ψ(ξ, η) = (Φ ◦ H)(ξ, η),

con lo que la superficie imagen es la misma ΣΦ = Φ(D) = Ψ(Ω) = ΣΨ. Es decir se trata de una misma superficie imagen referida a dos parametrizaciones distintas.

Proposici´on 2.1.1 (Invarianza del plano tangente) El plano tangente en un punto de una superficie regular es independiente de la representaci´on param´etrica y los respec- tivos vectores normales tienen la misma direcci´on pero pueden tener sentidos opuestos.

14 CAP´ITULO 2. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Orientaci´on de superficies

Dada un superficie Φ : D ⊂ R^2 −→ R^3 , todo cambio de par´ametro es tal que el jacobiano correspondiente tiene signo constante. Aquellas parametrizaciones tales que el jacobiano es positivo diremos que son positivamente equivalentes a Φ, y si el jacobiano es negativo negativamente equivalentes. En el conjunto de parametrizaciones de una superficie imagen Σ, la relaci´on “posi- tivamente equivalente”es una relaci´on de equivalencia, que da lugar a una partici´on del conjunto de parametrizaciones en dos clases: las parametrizaciones positivamente equiva- lentes a Φ y las negativamente equivalentes. Si estas dos clases son distintas, la superficie se dice orientable, y en otro caso no orientable. Las superficies orientables tienen “dos caras”, con sus respectivos vectores normales. Las superficies no orientables son superficies “patol´ogicas”, que tienen una sola cara como la cinta de M¨obius o la botella de Klein.

2.2. Area de una superficie regular´

Sea Φ : D ⊂ R^2 −→ R^3 una superficie regular simple, K ⊂ D un cerrado y Σ = Φ(K). Se define el ´area de Σ como ∫ ∫ K

‖Φu(u, v) × Φv(u, v)‖ 2 du dv,

cuya existencia est´a asegurada por ser K compacto y N = Φu × Φv continua sobre K.

Proposici´on 2.2.1 (Independencia de la parametrizaci´on) El ´area de Σ es inde- pendiente de la parametrizaci´on. 

Vamos a justificar el hecho de que el n´umero obtenido como ´area de Σ se corresponde con la idea que tenemos de ´area. Supongamos, por simplicidad, que K es un rect´angulo y consideremos una partici´on de K en rect´angulos de la forma

Rij = [ui, ui+1] × [vj , vj+1],

asociados a las particiones

a = u 0 < u 1 < u 2 < · · · < un = b, c = v 0 < v 1 < v 2 < · · · < vn = d,

tal como en la Figura 2.3. En cada punto de la partici´on de K, (ui, vj ), aproximamos la aplicaci´on Φ, que en general ser´a no lineal, por la aplicaci´on af´ın Φ˜ij , desarrollo de Taylor de primer orden de la funci´on Φ en (ui, vj )

2.2. AREA DE UNA SUPERFICIE REGULAR´ 15

Figura 2.3: Area de una superficie regular.´

Φij 1 (u, v) Φij 2 (u, v) Φij 3 (u, v)

Φ 1 (ui, vj ) Φ 2 (ui, vj ) Φ 3 (ui, vj )

∂ ∂uΦ (^1) (ui, vj ) ∂ ∂vΦ (^1) (ui, vj ) ∂ ∂uΦ (^2) (ui, vj ) ∂ ∂vΦ (^2) (ui, vj ) ∂ ∂uΦ (^3) (ui, vj ) ∂ ∂vΦ (^3) (ui, vj )

( (^) u − u i v − vj

La imagen de Rij por Φ es un paralelogramo curvo y por Φ˜ij es un paralelogramo (ver Figura 2.3) cuyo ´area es ‖Φu(ui, vj ) ∆ui × Φv(ui, vj ) ∆vj ‖ 2.

La suma de las ´areas de todos los paralelogramos, correspondientes a los puntos de la partici´on ser´a

An =

∑^ n−^1 i,j=

‖Φu(ui, vj ) × Φv(ui, vj )‖ 2 ∆ui ∆vj.

Se define el ´area de la superficie imagen ΣK como

A = l´ n→∞ım An =

K

‖Φu(u, v) × Φv(u, v)‖ 2 du dv.

Nota 2.2.1 (Aproximaci´on del ´area de una superficie por “escamas”) La longi- tud de un arco de curva se puede considerar como el l´ımite de poligonales inscritas, cuando el di´ametro de la partici´on tiende a 0. En cambio, el ´area de una superficie no se puede aproximar mediante paralelogramos inscritos (contraejemplo de Schwarz) sino que es pre- ciso aproximarla mediante “escamas”.