electromagnetismo, Ejercicios de Física

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Apuntes de apoyo a la asignatura

FÍSICA II

Ingeniería de la Salud

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Francisco L. Mesa Ledesma

ii

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Apuntes de Física II FLML

ÍNDICE GENERAL vii

A.3. Problemas propuestos....................... 163

FLML Apuntes de Física II

x ÍNDICE GENERAL

Apuntes de Física II FLML

TEMA 1

Electrostática

1.1. Introducción

Dado que el objetivo de esta asignatura será el estudio básico de los principales fenómenos electromagnéticos y buena parte de estos fenóme- nos están relacionados con la interacción de cargas eléctricas, empezare- mos este tema con el estudio de las interacciones de cargas eléctricas en reposo. La parte del Electromagnetismo que aborda esta materia se deno- mina Electrostática.

La carga eléctrica es una propiedad fundamental e intrínseca de la ma- teria (al igual que la masa) que tiene las siguientes propiedades:

Presenta dos polaridades : positiva y negativa. Cantidades iguales de ambas polaridades se anulan entre sí.

La carga total del universo (suma algebraica de todas las cargas exis- tentes) se conserva , esto es, la carga no se puede crear ni destruir. No obstante, debe notarse que esto no imposibilita que cargas positivas y negativas se anulen entre sí. Además de esta propiedad de conservación global, la carga también se conserva localmente. Esto quiere decir que si cierta materia cargada desaparece en un sitio y esta misma materia cargada aparece en otro, esto es porque ha “viajado” de un punto a otro.

La carga esta cuantizada : cualquier carga que existe en la naturaleza es un múltiplo entero de una carga elemental qe. Esta carga elemental corresponde a la carga del protón.

La unidad de carga en el Sistema Internacional es el culombio (C) y equi- Unidad de carga eléctrica

1 culombio (C)

Carga eléctrica elemental

qe = 1,60218 × 10 −^19 C

vale a la carga de 6,2414959 × 1018 protones, o lo que es lo mismo, la carga del protón es qe = 1,60218 × 10 −^19 C.

Es interesante hacer notar que de las cuatro interacciones fundamen- tales de la naturaleza: nuclear fuerte, electromagnética, nuclear débil y gra- vitatoria, la interacción electromagnética (o electrostática cuando es entre

1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 3

Vea el Apéndice A para un breve repaso de vectores y tenga en cuenta

que en las guras del presente texto usaremos a veces tipo de letra negrita

para denotar a los vectores, de modo que ~ u ≡ u. Además los vectores

unitarios se denotarán en letra negrita con el signo ˆ encima, de modo

que u ˆ debe leerse como vector unitario en la dirección y sentido de ~ u .

Asimismo el módulo del vector ~ u se denotará indistintamente como |~ u | o

bien simplemente como u.

Algunas propiedades destacables de la ley de Coulomb, expresión (1.1), son:

La fuerza va dirigida según la línea que une las dos cargas (fuerza cen- tral), estando su sentido determinado por el signo del producto qQ. Por tanto, la fuerza entre dos cargas será atractiva para cargas de signo opuesto o bien repulsiva para cargas del mismo signo.

+q

F

+Q

La fuerza decrece con el cuadrado de la distancia. No obstante, a dis- +q

F -Q

tancias cortas esta interacción crece extraordinariamente.

La fuerza que ejercería la carga prueba sobre la carga fuente sería −~ F

+q

F

-F +Q

(principio de acción y reacción).

EJEMPLO 1.1 Calcule la fuerza que una carga de 3 μ C situada en el punto (1, −2, 3) ejerce sobre una carga de − 4 μ C situada en el punto (2, 4, −1) (distancias en cm).

q

Q

r

F r

Según nos dice el enunciado del problema tendremos que ~ rq = ˆ x − 2ˆ y + 3ˆ z y ~ rQ = 2ˆ x + 4ˆ y − z ˆ, por lo que

~ r =~ rQ −~ rq = {2 − 1}ˆ x + {4 − (−2)}ˆ y + {(−1) − 3}ˆ z = ˆ x + 6ˆ y − 4ˆ z cm

siendo su módulo

|~ r | =

√ 12 + 62 + (−4)^2 × 10 −^2 =

p 53 × 10 −^2 m

y su vector unitario asociado

ˆ r = x ˆ^ + p^ 6ˆ y^ −^ 4ˆ z 53

.

La fuerza, según (1.1), será entonces

~ F = 9 × 109 × (3^ ×^10

− (^6) ) × (− 4 × 10 − (^6) ) (

p 53 × 10 −^2 )^2

ˆ x + 6ˆ y − 4ˆ z p 53 = − 108 × 10 −^3 53 × 10 −^4

ˆ x + 6ˆ y − 4ˆ z p 53

= 1080 53

− x ˆ − 6ˆ y + 4ˆ z p 53

N.

Notemos que el módulo de la fuerza, |~ F |, es justamente 1080/53 N.

FLML Apuntes de Física II

4 Tema 1. Electrostática

1.2.2. Principio de superposición

La ley de Coulomb describe el efecto de una única carga puntual fuen- te, q , sobre la carga prueba, Q. El efecto de un conjunto de cargas sobre cierta carga prueba viene determinado por el principio de superposición. Este principio de superposición establece que

La interacción entre dos cargas es completamente in- dependiente de la presencia de otras cargas.

Esto significa que para calcular el efecto de un conjunto de cargas fuen- te sobre cierta carga prueba, se puede proceder calculando el efecto de ca-

q 1

q 2 qN

F 1

F 2

F

F N

r 1

r 2 r N

Q

da una de las cargas fuentes sobre la carga prueba para obtener el efecto total como la suma de los efectos parciales (esto es, ~ F = ~ F 1 + ~ F 2 + · · · ). De este modo, la fuerza que produce el conjunto de cargas fuentes, { q 1 , q 2 , · · · , qN }, sobre la carga prueba Q situada en el punto P puede calcu- larse como

~ F ( P ) =

∑^ N

i = 1

~ Fi =

∑^ N

i = 1

4 π≤ 0

qi Q |~ ri |^2 ˆ r i (1.3)

= Q

∑^ N

i = 1

4 π≤ 0

qi |~ ri |^2 ˆ r i. (1.4)

1.2.3. Campo eléctrico de cargas puntuales

En la expresión de la fuerza dada por (1.4) puede apreciarse que el su- matorio depende exclusivamente de la configuración de cargas fuente , por lo que podemos escribir ~ F ( P ) = Q ~ E ( P ) , (1.5)

donde el vector ~ E ( P ) se denomina campo eléctrico producido por las car- gas fuente en el punto P , viniendo éste dado por

~ E ( P ) = 1

4 π≤ 0

∑^ N

i = 1

qi |~ ri |^2 ˆ r i ≡

4 π≤ 0

∑^ N

i = 1

qi |~ ri |^3

Campo eléctrico de una ~ ri. (1.6)

distribución de cargas puntuales

La introducción de este vector E ~ permite definir una magnitud vecto- rial que varía punto a punto y que sólo depende de las cargas fuentes. De este modo se dota a cada punto del espacio de una propiedad vectorial tal que el producto del valor de una carga prueba situada en ese punto por el valor de dicho vector en ese punto proporciona la fuerza que ejercerá la configuración de cargas fuentes sobre dicha carga prueba. En este sentido, el campo eléctrico ~ E puede, por tanto, definirse como la fuerza por unidad

Unidad de campo eléctrico: de carga y sus unidades son consecuentemente N/C. Es interesante obser-

1 N/C var que el campo eléctrico “recoge” de alguna manera la información sobre

las cargas fuentes, “escondiendo” la disposición particular de esta configu- ración y mostrando únicamente su efecto global.

Apuntes de Física II FLML

6 Tema 1. Electrostática

1.2.4. Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga

Aunque el carácter discreto de la materia (naturaleza atómica) es bien conocido, en multitud de situaciones prácticas, este carácter discreto pue- de “obviarse” y considerar que la materia puede describirse como un con- tinuo. Desde un punto de vista matemático, esto implica que la materia se describirá como una superposición de elementos diferenciales infinitesi- males , por ejemplo para calcular su masa: m =

dm (en vez de describir la materia como un agregado de partículas individuales, donde: m =

∑ N

i mi^ ). Esta consideración del continuo para la masa de la materia también es ex- tensible a su carga, de modo que en múltiples situaciones la carga se con- siderará como una distribución continua. En este caso, la carga total q de una distribución de carga se obtendrá como

q =

d q. (1.8)

Para obtener el campo eléctrico producido por la anterior distribución de carga en un punto P , se considerará que la contribución de cada ele- mento diferencial de carga, d q , al campo eléctrico en P , d~ E ( P ), puede asi- milarse al campo eléctrico producido por una carga puntual de valor d q , cuya expresión vendrá dada por

d~ E ( P ) =

4 π≤ 0

d q |~ r |^2

ˆ r , (1.9)

dq donde el vector ~ r va desde la posición de d q hasta el punto P.

P

x

r

d E

r

El campo total producido por toda la distribución de carga se obten- drá usando el principio de superposición, tal y como se hizo para cargas

dq

P

r x d E r discretas en (1.6), al sumar las distintas contribuciones infinitesimales:

~ E ( P ) =

d~ E ( P ) =

4 π≤ 0

∫ (^) d q |~ r |^2

ˆ r ≡

4 π≤ 0

∫ (^) d q |~ r |^3

~ r. (1.10)

En la práctica, para calcular el campo producido por las distribuciones de carga se introduce el concepto de densidad de carga , que relaciona la cantidad de carga existente en cada elemento diferencial con el volumen, superficie o longitud de dicho elemento. En función del carácter geomé- trico del elemento diferencial de carga pueden distinguirse tres tipos dis- tintos de distribuciones de carga y expresar el campo en cada uno de los casos según:

Distribución lineal de carga λ : d q = λ dl

~ E ( P ) = 1

4 π≤ 0

línea

λ

r ˆ |~ r |^2

dl. (1.11)

Distribución superficial de carga σ : d q = σ d S

~ E ( P ) = 1 4 π≤ 0

superficie

σ

ˆ r |~ r |^2 d S. (1.12)

Apuntes de Física II FLML

1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 7

Distribución volumétrica de carga ρ : d q = ρ dV ~ E ( P ) = 1 4 π≤ 0

volumen

ρ

ˆ r |~ r |^2 dV. (1.13)

Debe notarse que en las integrales anteriores, la región de integración está extendida únicamente a la región donde existen cargas. Estas expresiones integrales son muy convenientes para el cálculo por ordenador pero gene- ralmente no pueden expresarse mediante una expresión en forma cerrada.

EJEMPLO 1.3 Campo de una distribución de carga lineal nita

Con referencia en la figura adjunta, el diferencial de campo en el punto P viene dado por

d~ E ( P ) = 1 4 π≤ 0

d q |~ r |^2 ˆ r = 1 4 π≤ 0

λ d x |~ r |^2 ˆ r , (1.14)

donde

~ r = − x x ˆ + R y ˆ ˆ r = − x r x ˆ + R r y ˆ = − sen θ x ˆ + cos θ y ˆ.

Para expresar tanto d x como r en función del ángulo, debe considerarse que

x = R tan θ =⇒ d x = R sec^2 θ d θ r = R sec θ

y reescribir por tanto (1.14) como

d~ E ( P ) = 1 4 π≤ 0

λR sec^2 θ d θ R^2 sec^2 θ (− sen θ x ˆ + cos θ y ˆ)

= λ d θ 4 π≤ 0 R (− sen θ x ˆ + cos θ y ˆ). (1.15)

Para obtener el campo eléctrico se integrará la expresión anterior, de modo que

Ex ( P ) = λ 4 π≤ 0 R

∫ (^) θ 2 θ 1

(− sen θ )d θ = λ 4 π≤ 0 R (cos θ 2 − cos θ 1 ) (1.16)

Ey ( P ) = λ 4 π≤ 0 R

∫ (^) θ 2 θ 1

cos θ d θ = λ 4 π≤ 0 R (sen θ 2 − sen θ 1 ) , (1.17)

donde θ 1 y θ 2 son los ángulos que determinan los bordes inferior y superior de la distribución lineal de carga (nótese que los ángulos son medidos en sentido antihorario).

Para el caso de un hilo infinito , se tiene que θ 1 = − π /2 y θ 2 = π /2, por lo que las componentes del campo eléctrico al sustituir en (1.16) y (1.17) son

Ex = 0 Ey = λ 2 π≤ 0 R .

Teniendo en cuenta la simetría cilíndrica que presenta el problema, el campo para

E

.....

.....

R

el hilo infinito se puede expresar finalmente como

~ E ( P ) = λ 2 π≤ 0 R R ˆ. (1.18)

FLML Apuntes de Física II

1.2. Campo eléctrico de una distribución de cargas 9

Es interesante notar que el flujo Φ no depende del radio de la esfera y es igual al valor de la carga encerrada en la esfera dividido por ≤ 0. Si se

q

considera, por tanto, una esfera centrada en el mismo punto y de distinto radio, se obtendrá que el flujo seguirá siendo el mismo. Parece entonces razonable suponer que el flujo a través de cualquier superficie cerrada que incluya a la carga y comprendida entre ambas esferas concéntricas venga también dado por q / ≤ 0.

Dado que el número de líneas de campo que atraviesa cualquiera de las anteriores superficies es el mismo, el flujo del campo eléctrico a través de estas superficies podría interpretarse como una “medida” del número de líneas de campo que las atraviesa. En este sentido, si el número de líneas de campo que atraviesa una superficie cerrada es cero (esto es, entran tan- tas líneas como salen), parece razonable suponer que el flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie sea igualmente nulo. Podría por tanto escribirse para una superficie cerrada arbitraria, S , que el flujo de un carga puntual a través de dicha superficie es

q

q

S

S Φ =

S

~ E · d~ S =

q ≤o si q ⊂ S 0 en otro caso.

En el caso de que se tenga una distribución de cargas puntuales, por el principio de superposición, se obtiene que

S

~ E · d~ S =

S

i

~ Ei

· d~ S =

i

S

~ Ei · d~ S =

i

Φ i , (1.25)

esto es, el flujo de la distribución a través de la superficie S es igual a la suma del flujo asociado a cada una de las cargas individualmente. Dado que el flujo asociado a una sola carga ya fue obtenido en (1.24) se puede concluir que (^) ∮

S

~ E · d~ S = Q int ≤ 0

donde Q int representa la carga total encerrada en el interior de la superficie S. La expresión anterior también se aplica en el caso de una distribución continua de carga.

EJEMPLO 1.4 Calcule el ujo del campo que atraviesa la supercie S en gura.

En la situación mostrada en la figura, la carga en el interior de la superficie S

q 1 q 2

q 3

S

es justamente Q int = q 1 + q 2 ,

por lo que el flujo a través de dicha superficie, según (1.19), será

Φ =

∮ S

~ E · d~ S = q^1 +^ q^2 ≤ 0 .

Aunque la ley de Gauss (1.19) es válida para cualquier tipo de distri- bución de carga y superficie, ésta sólo es útil para obtener el campo en

FLML Apuntes de Física II

10 Tema 1. Electrostática

situaciones de alta simetría. Estas situaciones se dan cuando exista una su- perficie de Gauss, SG , tal que, en aquellas partes donde el flujo sea distinto de cero (superficie que se denominará S ′ G ), la integral del flujo se pueda realizar de modo que el módulo del campo sea constante sobre dicha su-

Ley de Gauss útil en situaciones perficie, esto es, cuando se pueda proceder de la siguiente manera:

de alta simetría

SG

E^ ~ · d~ S = |~ E |

S ′ G

d S. (1.26)

Aplicaciones de la ley de Gauss

Algunas de las situaciones donde es útil aplicar la ley de Gauss se deta- llan a continuación:

Campo de un hilo recto infinito cargado. Este campo ya fue obtenido en el Ejemplo 1.3 mediante integración di- recta. Ahora se obtendrá siguiendo la ley de Gauss. Para ello puede no- tarse que debido a la simetría cilíndrica del problema puede deducirse que ~ E = |~ E ( R )| R ˆ.

Este hecho implica que se puede escoger como superficie de Gauss, una superficie cilíndrica cuyo eje coincida con el propio hilo. De este modo

SL

R d S

S

-

h

S

l +

se tendrá que el flujo a través de las superficies superior e inferior (ta- paderas del cilindro) es nulo dado que ~ E ⊥ d~ S en dichas superficies y en la superficie lateral, el módulo del campo será constante, esto es, ∮

SL + S ++ S −

~ E · d~ S =

SL

~ E · d~ S = | E ~ ( R )| × SL.

Dado que el flujo debe ser igual al valor de la carga en el interior de la superficie y ésta incluye un trozo de hilo de altura h , Q int = λh y por tanto |~ E | 2 πRh = λh ≤ 0

de donde se deduce que el módulo del campo viene dado por

|~ E | =

λ 2 π≤ 0 R

Campo de una distribución uniforme esférica de carga Sea una esfera de radio R con una distribución uniforme de carga ρ. Dado que en esta situación el campo eléctrico presenta simetría esféri- ca, esto es, ~ E = |~ E ( r )|ˆ r , se tiene que

dΦ = ~ E · d~ S = |~ E ( r )|ˆ r · d~ S = |~ E ( r )|d S

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