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Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
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REFLEXIONA Y RESUELVE
Dos trenes
Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.
Estas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos.
Como podemos ver en la gráfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad:
¿A qué puede deberse?
¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren en ese instante?
A las tres horas, ambos trenes modifican su marcha: el Talgo se detiene durante breves minutos, mientras que el tren de mercancías va muy despacio durante media hora.
■ Para hacernos una idea clara de estos movimientos, realicemos algunos cálculos:
a) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre a esa velo- cidad? b) De 2 a 2 , el Talgo disminuye su velocidad. ¿Cuántos kilómetros recorre a
esa velocidad? c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha re- corrido hasta ese momento? d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la media hora en que va a baja velocidad?
1 2 3 4
TIEMPO (en horas)
TALGO MERCANCÍAS 120
100
80
60
40
20
VELOCIDAD (en km/h)
LA INTEGRAL DEFINIDA.
13 APLICACIONES
Haciendo los cálculos anteriores, podrás comprobar que:
Ambos trenes recorren 240 km a velocidad normal. Reducen la velocidad en el mismo lugar y recorren, así, otros 15 km (puede ser debido a obras en la vía) y, a continuación, recupera cada cual su velocidad normal. (Es decir, el tren de mercancías no frena cuando el Talgo, pero sí donde el Talgo). Más adelante, el Talgo para en una estación.
e) ¿A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el Talgo?
f ) Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se han ob- tenido áreas bajo las gráficas, roja o azul. Señala los recintos cuyas áreas has calculado y asigna a cada uno su área correspondiente.
a) 120 · 2 = 240 km.
b) A 60 km/h durante de hora, recorre = 15 km.
c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km.
d) Va a 30 km/h durante hora, luego recorre 30 · = 15 km.
e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de:
120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas
60 · = 15 km el siguiente cuarto de hora
120 · = 90 km los siguientes tres cuartos de hora
Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada.
f)
1 2 3 4
TIEMPO (horas)
TIEMPO (horas)
120
100
80
60
40
20
VELOCIDAD (km/h)
VELOCIDAD (km/h)
1 2 3 4
80
60
40
20
Área 240
Área 240
Área 15
Área 90
Área 15
TALGO
MERCANCÍAS
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
2. Halla gráficamente las siguientes integrales:
a) (^) ∫
4
-
( + 4) dx b) (^) ∫
4
-
(4 – ) dx
a) (^) ∫
4
( + 4^ ) dx^ =^ ∫
4
dx + (^) ∫
4
4 dx
Llamamos I 1 = (^) ∫
4
dx e I 2 = (^) ∫
4
4 dx.
Resolvemos gráficamente ambas integrales para posteriormente sumar los resultados.
I 1 : y = ò y^2 = 16 – x^2 ò x^2 + y^2 = 4 2 (circunferencia)
El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 4 u.
Área = · π · r^2 = · π · 4 2 =
= · π = 8 · π = 25,1 u^2
I 2 : Se trata de un rectángulo de dimen- siones 8 u Ò 4 u. Por tanto, su área es 32 u^2.
Finalmente, I 1 + I 2 = 25,1 + 32 = 57,1 u^2.
b) (^) ∫
4
(4 –^ ) dx^ =^ ∫
4
4 dx – (^) ∫
4
dx
Observamos que se trata de las mismas integrales que en el apartado a), solo que ahora es I 2 – I 1 , dando como resultado 32 – 25,1 = 6,9 u^2.
Página 371
1. Sea la función F ( x ) = (^) ∫
x 0
log ( t^2 + 4) dt****. Calcula F' ( x ).
F ( x ) = (^) ∫
x
0
log ( t^2 + 4) dt = (^) ∫
x
0
f ( t ) dt , siendo f ( t ) = log ( t^2 + 4) continua.
Por el teorema fundamental del cálculo: F' ( x ) = f ( x ) = log ( x^2 + 4)
√16 – x^2 √16 – x^2
√16 – x^2
√16 – x^2
√16 – x^2 √16 – x^2
√ 16 – x^2 √ 16 – x^2
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
y = √—16 – x^2
1
2
3
4
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
y = 4
1
2
3
4
2. Calcula la siguiente integral:
∫
π / 0
cos x dx
∫
π/
0
cos x dx = (^) [ sen x ] (^0)
π/ = sen – sen 0 = 1 – 0 = 1
Página 372
1. Calcula: (^) ∫
6 1
(4 x^3 – 4 x^4 – 3) dx
I = (^) [ x^4 – x^5 – 3 x ]
6 1
= (^) ( 6 4 – · 6 5 – 3 · 6) – (^) ( 1 4 – · 1 5 – 3 · 1) =
2. Calcula: (^) ∫
1 0
dx
I = (^) [ arc tg x ]
1 0 =^ arc tg^ 1 –^ arc tg^ 0 =
Observación: (^) ∫
a
0
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1. Halla el área comprendida entre la función y = x^3 – x^2 – 6 x y el eje X****.
I. Hallamos las soluciones de la ecuación: x^3 – x^2 – 6 x = 0 Son x = –2, x = 0 y x = 3. II. f ( x ) = x^3 – x^2 – 6 x. Buscamos su primitiva:
G ( x ) = (^) ∫( x^3 – x^2 – 6 x ) dx = – – 3 x^2
III. G (–2) = , G (0) = 0, G (3) =
IV. G (0) – G (–2) =
G (3) – G (0) =
El área buscada es: + = u^2
(Se incluye la gráfica para entender el proceso, pero es innecesaria para obtener el área).
| 12
| 4
x^3 3
x^4 4
π 4 a
dx x^2 + a^2
π 4
1 + x^2
π 2
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
UNIDAD 13
–4 –2 2 4
2
4
6
8
y = x^3 – x^2 – 6 x
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Integral definida
1 Calcula las siguientes integrales:
a) (^) ∫
2 0
dx b) (^) ∫
4 1
dx
c) (^) ∫ 1/ e
e 2 ln x dx d) (^) ∫
√ — 3
- √ — 3
dx
a) (^) ∫
2
0
dx = (^) ∫
2
0
2 x ( x^2 + 1) –1/2^ dx =
2
0
= [ ]
2 0 =
b) (^) ∫
4
1
dx = (^) ∫
4
1
4
1
( x 1/2^ – x –1/2^ ) dx = –
4
1
4 1
c) (^) ∫ 1/ e
e 2 ln x dx. Integramos por partes (^) ∫ ln x dx :
∫ ln x dx^ =^ x ln x^ –^ ∫^1 dx^ =^ x ln x^ –^ x
∫1/ e
e 2 ln x = [2 x ln x – 2 x ]
e 1/ e = (2 e ln e – 2 e ) – 2 · ln – 2 · =
= (2 e – 2 e ) – (–1) – = – – =
) e
) ( e
e
( e
)
e
e
( e
u = ln x^^8 du^ =^ —^ dx x dv = dx 8 v = x
) 3
( 3
) 3
) ( 3
( 3
√ 1 √ (^1) )
) ( 3
] ( 3
√ x^3 √ x
[ 3
]
x 1/ 1/
x 3/ ) [3/
√ x
x
√ x
(
x – 1
√ x
]^ √ x^^2 + 1
( x^2 + 1) 1/ 1/
[ 2
x
√ x^2 + 1
x^2 x^2 + 1
x – 1
√ x
x
√ x^2 + 1
PARA PRACTICAR
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
UNIDAD 13
d) (^) ∫
√— 3
dx
Calculamos una primitiva:
∫ dx^ =^ ∫ dx^ =^ ∫ 1 –^ dx^ =^ x^ –^ arc tg x
∫
√ — 3
dx = x – arc tg x
√— 3
s2 Calcula: ∫
π / 0
sen x cos x dx
∫
π/ 0
sen x cos x dx =
(*) ∫ 0
/ t dt = (^) [ ] 0
/
(*) Aplicamos el siguiente cambio:
sen x = t ; cos x · dx = dt para x = 0; t = 0
para x = ; t =
s3 Halla el valor de la integral definida de la función f ( x ) = – 3 cos (2 π x )
en el intervalo I = [0, 2].
∫
2 0 (^
- 3 cos (2π x )) dx = (^) [ ln ( x + 1) – (^) ]
2 0
= ln 3 – ln 1 = ln 3
Área entre f (x), eje OX, x =a y x =b
4 Calcula el área comprendida entre la curva y = 3 x^2 – x + 1, el eje X y las rectas x = 0 y x = 4.
I. Calculamos las soluciones de la ecuación: 3 x^2 – x + 1 = 0
No tiene soluciones, por lo que no corta al eje X.
II. Buscamos una primitiva de f ( x ):
G ( x ) = ∫ (3 x^2 – x + 1) dx = x^3 – + x
III. G (0) = 0, G (4) = 60
x^2 2
3 · sen (2π x ) 2 π
x + 1
x + 1
π 4
t^2 √^2 2
√ 2
2 π 3
π 3
π 3
)
π 3 ) (^ √^3
π 3 [ ] (^ √^3
x^2 x^2 + 1
)
( x (^2) + 1
x^2 + 1 – 1 x^2 + 1
x^2 x^2 + 1
x^2 x^2 + 1
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
III. G (4) – G (0) = – 0 =
El área buscada es: u^2.
(Se incluye la gráfica, aunque es innecesaria para obtener el área).
s7 Calcula el área de la región limitada por la curva y = ( x – 1)^2 ( x + 1) y las rectas y = 0, x = 2, x = 1.
I. Hallamos las soluciones de la ecuación: ( x – 1) 2 ( x + 1) = 0. Son x = –1 y x = 1.
II. Ordenamos los extremos del intervalo y las raíces que hay entre ellos: –1, 1, 2.
III. Buscamos una primitiva de f ( x ):
G ( x ) = ∫ ( x – 1) 2 ( x + 1) dx = – – + x
IV. G (1) = , G (2) =
V. G (2) – G (1) = – =
El área buscada es u^2.
(Se adjunta la gráfica, aunque es in- necesaria para resolver el ejercicio).
s8 Calcula el área de la región limitada por la curva y = y las rectas x = 2, x = 3, y = 0.
I. Hallamos la solución de = 0. Es x = 0.
II. Como esta solución se encuentra fuera del intervalo de integración, los extre- mos son 2 y 3.
III. Buscamos la primitiva de la función f ( x ) = , la cual es continua en dicho intervalo:
G ( x ) = ∫ dx = · ln | x^2 – 2|
IV. G (2) = · ln (2), G (3) = · ln (7)
V. G (3) – G (2) = 1 · (^) [ ln (7) – ln (2)] 2
x x^2 – 2
x x^2 – 2
x x^2 – 2
x x^2 – 2
4
3
2
1
0 1 2
y = ( x – 1) x = 2 (^112) ( x + 1) 12
x^2 2
x^3 3
x^4 4
1
2
1 2 3 4
y = √ — 16^ x 3
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
El área buscada es:
· (^) [ ln (7) – ln (2)] u^2.
(Se adjunta la gráfica, aunque es in- necesaria para la resolución del ejercicio).
Área entre dos curvas
9 Halla, en cada caso, el área comprendida entre: a) y = x^2 – 5 e y = – x^2 + 5 b) y = x^2 e y^2 = x
a) I. Buscamos las soluciones de: x^2 – 5 = – x^2 + 5. Son x = – y x =. Por tanto, estos van a ser nuestros límites de integración.
II. Se obtiene la función diferencia: y = (– x^2 + 5) – ( x^2 – 5) = –2 x^2 + 10
III. Buscamos su primitiva:
G ( x ) = ∫ (–2 x^2 + 10) dx = + 10 x
IV. G (– ) = , G ( ) =
V. G ( ) – G (– ) = + =
El área buscada es: u^2.
(Se incluye la gráfica, aunque es innecesaria para obtener el área).
b) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x = x^4. Son x = 0 y x = 1.
II. Calculamos la función diferencia: y = x^2 –
III. Buscamos su primitiva:
G ( x ) = ∫( x^2 – (^) ) dx = –
IV. G (0) = 0, G (1) = –
(^2) √ x 3 3
x^3 3
√ x
√ x
2
4
–3 –1 1 3 5
y = x^2 + 5
y = – x^2 + 5
–2 x^3 3
1
0 1 2 3
y = — x
2 x^2 – 2
y = 0
x = 3
x = 2
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
UNIDAD 13
IV. G (^) (– (^) ) = , G (^) ( ) =
V. G (^) ( ) – G (^) (– (^) ) = + =
El área buscada es: u^2.
(Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para hallar el área).
c) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x^3 – 3 x^2 + 3 x = x. Son x = 0, x = 1 y x = 2.
II. Calculamos la función diferencia: y = ( x^3 – 3 x^2 + 3 x ) – x = x^3 – 3 x^2 + 2 x III. Calculamos su primitiva:
G ( x ) = ∫ ( x^3 – 3 x^2 + 2 x ) dx = – x^3 + x^2
IV. G (0) = 0, G (1) = , G (2) = 0
G (1) – G (0) =
G (2) – G (1) =
El área buscada es: + = u^2.
(La gráfica que se adjunta es para entender mejor el ejercicio, pero es innecesaria para obtener el área).
d) I. Buscamos las soluciones de: x ( x – 1)( x – 2) = 0. Son x = 0, x = 1 y x = 2. II. Calculamos la función diferencia:
y = x ( x – 1)( x – 2) III. Calculamos su primitiva:
G ( x ) = ∫ x ( x – 1)( x – 2) dx = x – x^3 + x^2
4 4
1
2
0 1 2
y = x
y = x^3 – 3 x^2 + 3 x
| 2
| 4
x^4 4
1
2
3
4
5
–2 –1 0 1 2
y = 4 – x^2 y = x^2
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
UNIDAD 13
Resulta que se trata del mismo ejercicio que el apartado c).
El área buscada es: u^2.
e) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x^2 = 1. Son x = –1 y x = 1.
II. Calculamos la función diferencia: y = x^2 – 1
III. Calculamos su primitiva:
G ( x ) = ∫ ( x^2 – 1) dx = – x
IV. G (–1) = , G (1) =
V. G (1) – G (–1) = – =
El área buscada es: = u^2.
(Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria para resolver el ejer- cicio).
f) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: x^2 – 2 x = – x^2 + 4 x. Son x = 0 y x = 3.
II. Calculamos la función diferencia: y = ( x^2 – 2 x ) – (– x^2 + 4 x ) = 2 x^2 – 6 x
III. Calculamos su primitiva:
G ( x ) = ∫ (2 x^2 – 6 x ) dx = – 3 x^2
IV. G (0) = 0, G (3) = –
V. G (3) – G (0) = –
El área buscada es: |–9| = 9 u^2.
(Se adjunta la gráfica, aunque es innecesaria).
g) I. Buscamos las soluciones de: – x^2 + 4 x – 4 = 2 x – 7. Son x = –1 y x = 3.
II. Calculamos la función diferencia: y = (– x^2 + 4 x – 4) – (2 x – 7) = – x^2 + 2 x + 3.
4 3 2 1 0
1 2 3 y = x^2 + 2 x
y = – x^2 + 4 x
2 x^3 3
1
–1 0 1
y = x^2
| 3
| 3
x^3 3
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
12 Dibuja el recinto plano limitado por la parábola y^2 – x = 1 y por la recta pa- ralela a y = x que pasa por el punto (1, 0). Calcula el área de ese recinto.
- Recta paralela a y = x que pasa por (1, 0):
y = 1( x – 1) = x – 1
- Buscamos los puntos de corte de la curva y^2 – x = 1 y la recta y = x – 1:
y^2 – 1 = y + 1 8
8 y^2 – y – 2 = 0
- Representamos el recinto y lo descomponemos en dos partes:
R 1 8 limitado por y = , eje OX y la recta y = x – 1
R 2 8 limitado por y = – , eje OX y la recta y = x – 1
Calculamos en primer lugar el área de R 1 :
AR
1
∫
3
dx – ∫
3
1
( x – 1) dx =
3
3
1
3
3
1
= – 2 = u^2
Calculamos ahora el área de R 2 :
AR
2
∫
0
1
0
(1 – x ) dx =
0
1
0
= + = u^2
Área total: R 1 + R 2 = + = u^2
]
x^2 ] [ 2
√( x + 1)^3
[ 3
√ x + 1
) ]
) ( 2
[( 2
]
x^2 ] [ 2
√( x + 1)^3
[ 3
]
x^2 ] [ 2
( x + 1)3/ [ 3/
√ x + 1
√ x + 1
√ x + 1
y = –1 8 x = 0 y = 2 8 x = 3
y^2 – x = 1 8 x = y^2 – 1 y = x – 1 8 x = y + 1
m = 1 P (1, 0)
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
2
3 X
Y
1
y = x – 1
y = √— x + 1 R 1
2
3 X
Y
1
y = x – 1
y = –√— x + 1
R 2
OTRA FORMA DE RESOLVERLO
I. Calculamos las soluciones de la ecuación: y^2 – 1 = y + 1. (Esta ecuación resulta de despejar la x en: y^2 – x = 1; y = x – 1). Sus soluciones son y = –1, y = 2.
II. Calculamos la función diferencia: x = ( y^2 – 1) – ( y + 1) = y^2 – y – 2
III. Buscamos su primitiva:
G ( y ) = ∫ ( y^2 – y – 2) dy = – – 2 y
IV. G (–1) = , G (2) =
V. G (2) – G (–1) = – =
El área buscada es = u^2.
13 Halla el área limitada por la función y = 2 x – x^2 y sus tangentes en los puntos en los que corta al eje de abscisas. I. Buscamos las soluciones de la ecuación: 2 x – x^2 = 0. Son x = 0 y x = 2. II. Calculamos la derivada de f ( x ) = 2 x – x^2 , que es f' ( x ) = 2 – 2 x. La tangente que pasa por (0, 0) tiene pendiente f' (0) = 2; por tanto, es y = 2 x. La tangente que pasa por (2, 0) tiene pendiente f' (2) = –2; por tanto, es y = –2 x + 4. III. Tenemos que distinguir dos intervalos de integración: entre 0 y 1 y entre 1 y 2. La función diferencia en el primer intervalo es: f 1 ( x ) = 2 x – (2 x – x^2 ) = x^2 y en el segundo intervalo es: f 2 ( x ) = –2 x + 4 – (2 x – x^2 ) = x^2 – 4 x + 4
| 2
| 2
y^2 2
y^3 3
2
3 X
Y
x = y^2 – 1
x = y + 1
y = –√ — x + 1
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
UNIDAD 13
15 Calcula el área limitada por la curva y = x^3 – 2 x^2 + x y la recta tangente a ella en el origen de coordenadas.
I. Calculemos la ecuación de la recta tangente en el punto (0, 0); para ello, cal- culamos la derivada de nuestra función: y' = 3 x^2 – 4 x + 1 y' (0) = 1 (pendiente) La recta tangente tiene por ecuación y = x.
II. Calculamos las soluciones de: x^3 – 2 x^2 + x = x. Son x = 0 y x = 2 (límites de integración).
III. Obtenemos la función diferencia: y = x^3 – 2 x^2 + x – x = x^3 – 2 x^2
IV. Buscamos su primitiva: G ( x ) = ∫ ( x^3 – 2 x^2 ) dx = –
V. G (0) = 0, G (2) =
G (2) – G (0) =
El área buscada es: = u^2.
(Se adjunta la gráfica aunque no es necesaria para la resolución del ejercicio).
Volumen
16 Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos siguientes: a) f ( x ) = entre x = 1 y x = 5 b) f ( x ) = x^2 entre x = –1 y x = 2 c) f ( x ) = x – x^2 entre x = 0 y x = 1
a) V = π · ∫
5
1
( ) (^2) dx = π · ∫
5
1
( x – 1) dx = π (^) [ – x ]
5 1
= 8π u^3
b) V = π · ∫
2
( x^2 )^2 dx = π · ∫
2
x^4 dx = π (^) [ ]
2 1
= π u^3
c) V = π · ∫
1 0
( x – x^2 ) 2 dx = π · ∫
1 0
( x^4 – 2 x^3 + x^2 ) dx = π (^) [ – + (^) ]
1 0
= π u^3 30
x^3 3
2 x^4 4
x^5 5
x^5 5
x^2 2
√ x – 1
√ x – 1
3
2
1
0 1 2
y = x^3 – 2 x^2 + x
y = x
| 3
| 3
2 x^3 3
x^4 4
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
UNIDAD 13
17 Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje X los recintos li- mitados por las gráficas que se indican: a) f ( x ) = , g ( x ) = x^2 b) y^2 = 4 x , x = 4
a) I. Buscamos las soluciones de la ecuación: = x^2. Son x = 0 y x = 1. Estos son nuestros límites de integración. II. Calculamos la función diferencia: y = – x^2
III. V = π ∫
1
0
( –^ x^2 )
2 dx = π ∫
1
0
( x^ +^ x^4 – 2 x 5/2) dx^ =
= π[ + – x 7/2 ]
1
0
= π u^3
b) V = π ∫
4
0
f ( x )
2 dx = π ∫
4
0
(4 x ) 2 dx = π · (^) [ 8 x^2 ] 4 0 = 128^ π^ u
3
Página 382
s18 Halla el área comprendida entre la curva y = , el eje de abscisas y
las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexión de dicha curva.
I. Buscamos los puntos de inflexión; para ello, calculamos las dos primeras derivadas:
y' =
y'' =
Igualamos a cero para encontrar en qué valores de x la segunda derivada es cero.
Esto ocurre en x = – y x = (puntos de inflexión).
II. Calculamos la primitiva de nuestra función:
G ( x ) = ∫ = arc tg (^) ( )
III. G (^) (– (^) ) = arc tg (^) (– (^) )
G (^) ( ) = arc tg (^) ( √^3 ) 3
√ 2 x
9 + 2 x^2
–16 · (9 + 2 x^2 – 8 x^2 ) (9 + 2 x^2 ) 3
–16 x (9 + 2 x^2 ) 2
9 + 2 x^2
PARA RESOLVER
x^5 5
x^2 2
√ x
√ x
√ x
√ x
Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones
