Calculo I integrales, Apuntes de Cálculo

¡Descarga Calculo I integrales y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Tema 3:

Integració

Teoremes d’integració

Sumes de Riemann

Aplicació de la integral

Integrals impròpies

3. INTE

3.1 Im En tots

Pro

Per tra explica

TÈCNIC

Desenv

Separa

Comple

Dividir

Sumar

TAULA

DE

PRIMITIVES

IMMEDIATES

Integració

EGRACIÓ

mediates. s els mètode

op 1: ∫ λ f ( x )

∫^ du^ =^ u +

u du^ n^ u

n

∫^ =

ln

du

u

u

e^ au du = e

ln

a du^ u =

∫^ sin( ) u du

∫^ cos( ) u du

∫^ tan( ) u du

∫^ cot( ) u du

) ∫sec( ) u du

) ∫csc( ) u du

nsformar les ats a continu

CA

volupar el nu

ar el numerad

etar el quad

la funció rac

i restar term

s arribarem

) dx = λ ∫ f ( x ) d

C

1

u n

C

n

per

u + C

e^ u

C

a

n( )

a^ u

C

a

= − cos( ) u +

u = sin( ) u + C

u = − ln cos( u

u = ln sin( ) u +

u = ln sec( ) u +

= − ln csc( u

s integrals en ació però en

umerador:

dor:

rat perfecte:

cional:

mes en el num

a una d’aque

dx

n ≠ ‐ 1

+ C

C

u ) + C

+ C

+ tan( ) u + C

u ) + cot( ) u +

n immediate n alguns caso

merador:

estes integra

C

C

es normalme os directame

x^2 +

als així que c

Prop 2: ∫ ( f (

12) ∫sec (^2

13) ∫csc (^2

14) ∫sec( u

15) ∫csc( u

2

du

a −

du

∫ a +

2

d

u u

du

u ±

du

∫ a −

d

u a

nt utilitzarem ent podrem v

(^1 +

2 x

x

x x

onvé saber‐l

( x )+ g ( x ) ) dx

( u du ) =tan( u

u du ) = −cot

u )tan( ) u du =

u )cot( ) u du =

2

arcsi

u

u

2

arcta

u

u a

2 2

du 1

ar

a a

2 ln(

u

u

a

2

ln

u a

u a a

2

l

u

u a

m els mètod veure que és

EXEMP

2

+ ex = 1 +

2 2

x

x x

2

x x 1

2

x

x

2

x

x x

pàgina 1

les de memò

= ∫ f ( x ) dx +

u ) + C

t( ) u + C

= sec( ) u + C

= − csc( ) u + C

n

u

C

a

an

u

C

a

sec

u

rc

a

+ u^2^ ± a^2

a u

C

a u

2

n

a a

u

es d’integrac s immediata

LE

2 e x^ + e^2 x

x

x

2

− x − 1

2

1 + x

2

x

x x

òria:

∫ g^ ( x ) dx

C

+ C

+ C

u^2

C

có fent:

2

( x 1)

3.4 Int

Es trac

Ara bé denom

CAS A)

A 1 ... A

CAS B)

A 1 , A

CAS C)

Per r

1 Pa

2 Pa

3 Pa

∫ ( x

4 Pa

Racionals

Integració

tegrals racio

ta d’integral

Descomposa Descomposa Integrar els s

é, al resoldr minador. Aqu C C C

) Si s’obtenen

∫ qx dx

px ( )

( )

A n són const

Si s’obtenen

A 2 ,..., A n són

Si s’ obtene

resoldre les i

as. Es suma i

( x )

Ax

α

as. Per resold

as. Per resold

2 2 dx

B A − +

α β

α )

as. Per conclu

∫ ( x

nals

s de la forma

ar factorialm ar la fracció sumants que

e la equació ests es pode CAS A) obten CAS B) obten CAS C) obten

n arrels reals

⎝

⎛

−

= x x

A 1

1

tants a deter

n arrels reals

∫ qxdx = ∫

px ( ) (

( )

constants a

n arrels imag (1) Un

integrals d’a

es resta al n

2 2 dx

B

β

dre (1): Al se

− x^2

Ax α

α ( )

(

dre (2): Ho fa

x = ( B + A α )∫

uir i ajuntant

− +

d x

Ax B α )^2 β^2

a (^) ∫ dx qx

px ( )

ment el polino p(x)/q(x) en e en resulten

ó q(x) =0 és en classificar nció d’arrels nció d’arrels nció d’arrels

s simples tind

x − x

A ... 2

2

rminar i x 1 ... x

s múltiples ti

x − a dx =^ ∫

p x ) n

( )

determinar.

ginàries simp logaritme

quest tipus s

umerador A

( x )^2

Ax B A

α

α

er [(^ x^ −α^ ) +

2

A dx β

α )

arem a parti

2 1 ( x

dx

⎜⎜⎝

⎛ (^) −

β

β

t les dues int

= [ x −

A dx ln( α 2

per resoldre

omi q(x) ( es t suma de fra n.

possible tro en tres caso simples (cap múltiples (al imaginàries

drem una fra

⎟⎟^ = ⎠

⎞ −

• dx x x

A n

n

x n són les arr

ndrem una f

⎜ ⎝

⎛ −

− (^) x

A x a

A 1

Les integrals

ples haurem

sempre haur

α i es descom

2 dx

A

− β

α α

β ]^ = 2 (^ x −α

'

− 2

2 x

x α β

α ( )

( )

r de l’arctg(t

2

2 =^ B^ +

⎟⎟⎠

⎞ β β

α

(

tegrals (1) i (

]

B α )^2 β^2

e‐les es proc

troben les ar ccions simpl

obar resulta os que estud p arrel està re l menys hi ha simples (nom

acció per a c

= ∫ x − x dx +

A 1

1

rels. Les integ

fracció per a

− x a

A a

A (^) 3 2

2

s de forma (^) ∫

de separar l (2)

rem d’expres

mposa en les

( )

( ) x^2

Ax

− α β

α

α )fem:

2 =^ ( 2

x

A dx β

ln(

t):

1 x

A d

⎜⎜⎝

⎛

α )

⎜⎜ ⎝

• ⎛ x arctg

A β

α

edeix de la s

rrels de la fu les

ts diferents iarem per se epetida) a una arrel re mbres comp

cada arrel :

+ ∫ x − x dx +

A 2

2

grals resulta

a cada multip

x

A a 3 ...

∫ (^) ( − ) dx x a

A i

i (^) s

la integral en Un arctg

ssar la fracció

s dues integr

( ) ( 2 1 x

dx +∫

β

x − α )^2 + β^2 )

2

B x

dx (^) =

⎟⎟⎠

− ⎞ β

α

(

⎟⎟^ + ⎠

− ⎞ C β

α on

pàgina 3

següent man

nció q(x))

segons les eparat:

epetida) lexes)

+ + ∫ x − x

A n

... n

nts són imm

plicitat :

⎟ ⎠

⎞ dx a

A n

n

són immedia

n 2 parts:

ó com: ( x − α

Ax

rales següen

) 2 2

A B dx − +

α β

α

) + C 1

A (^) arctg ⎜⎜ ⎝

• ⎛ β

α )

C 1 +C 2 =C

nera:

arrels del

dx n

ediates.

ates.

α 2 + β^2

)

x B.

ts:

x ( 2 )

( x ) + C

⎟⎟⎠

⎞ ⎝

⎛ (^) − β

α C 2

3.5 Int Depen

• Fu Si

Si

• Fu

El canv

Si

∫^ s

Si

∫^ sec m

Si

Si

Si l’a

• Fu El canv

Integració

tegrals trigon ent de la for

uncions amb hi ha expon

i) (^) ∫sin^2 k +^1

ii) (^) ∫cos^2 k +

tots els expo

uncions amb vi trigonomèt

l’exponent d

sec^2 k^ ( )tan x n

l’exponent d

( )tan x^2 k +^1 ( x

NO apareix

∫^ ta

NO apareix

NO és cap d apartat anter

uncions amb vi trigonomèt

nomètriques rma que ting

sinus i cosin ents senars

( )cos ( ) x nx d

+ 1 ( )sin ( ) x nx d

onents són p

sin^2 n ( )c^ x

∫

secants i tan tric en aques

de la secant

( sec^2

( ) x dx = (^) ∫se

de la tangent x ) dx = (^) ∫sec m

la secant i la an ( ) n^ x dx = (^) ∫

la tangent i

dels casos an rior.

sinus i cosin tric que aplic

sin( mx

sin( mx

cos( mx

s uin les funci

nus: i positius → 2

cos(

sin k (

canvi a

dx = (^) ∫ (^)  x

2

cos

cos k (

canvi a

dx = (^) ∫ (^) 

parells i posit

cos^2 m^ ( ) x dx =

ngents: st tipus d’int

és parell:

) 2 2

2 1

( ) 1 tan ( )

ec ( ) ta

k

x x

x

−

= +

t és senar:

( 2

1 2

tan ( ) s

m ( ) tan

x

− x

=

a tangent té e ( )

2

tan( )

n

x

− ∫

la secant és

teriors subst

nus d’angles carem serà u

)cos( )

x nx =

)sin( )

x nx =

)cos( )

x nx =

ons a integra

→ Cal fer el ca

( )

) cos ( )sin n

x

x x

s( )

( )sin ( )co n

x

x x

tius → Cal f

1 cos(

desenv

⎛^ −

∫

tegral serà se

an ( )sec ( n^ x^2 x

) ec ( ) 1^2

( ) sec( )

k

x

x x

−

exponent pa (^2 )

tan ( ) x dx =

senar i posit

tituir per sin

diferents: un dels 3 seg

(

sin (

⎡⎣ m −

(

cos (

⎡⎣ m − n

(

cos (

⎡⎣ m −

ar farem els

anvi: sin^2 ( x )

n( ) (^) ( 1 des

x dx = (^) ∫

os( ) ( de

x dx = (^) ∫

fer el canvi: (^) ⎨

⎧

(2 ) 1 c

n

volupar itornar a fer

x ⎞ ⎛ +

empre: sec^2

) (^) ( 1 desen

x dx = (^) ∫ +

)tan( ) x dx =

arell aplicar r ( tan( )^ )

n

desenvolup

= (^) ∫ x

iva aplicar p

us i cosinus i

güents:

n x ) (^) ) +sin (( m

n ) x (^) ) −cos ((

n x ) (^) ) +cos(

següents can

• cos^2 ( x )= 1

)

1 cos ( )^2 k

senvolupar i fer el ca

− x

( )

1 sin ( )^2 k

esenvolupar i fer el c

− x

⎩

⎨

⎧

= 1

12 2

2

cos ( )

sin( ) x

x

cos(2 )

m

r el canvi

x

dx

( ) x = 1 +tan

)

2 1

tan ( ) t

k

nvolupar i fer el canv

x

−

(

sec m^1 ( )

desenvolupar i f

∫ − x

repetidamen

(

(^2 )

sec ( )

par i repetir el procés

x

−

arts.

i provar amb

m + n x ) )⎤⎦

( m + n x ) )⎤⎦

( m + n x ) )⎤⎦

pàgina 4

nvis:

1

cos( )

cos ( ) sin

k (^) n

anvi u xdu

x

=^ =−

sin( )

sin ( ) cos

k (^) n

canvi u xdu

x

=^ =

− 2 2

2 2 2 cos( )

cos( ) x

x

dx

n ( )^2 x

2

tan( ) se

tan ( )sec n

vi u x du

x

=^ =

( )

2

sec(

sec ( ) 1

fer el canvi u x

x

=

t: (^1) ) s

− dx

b les tècnique

sin( )

x dx

x dx

−

cos( )

s( )

x dx

x dx

2

2

ec ( )^2

x dx

x dx

) ) sec( )tan

sec( )tan

k

x du^ x

x

=

es de

n( )

x dx

x dx

Teo

1. Teor

Sigui f

2. Teor

Hi ha t

Fórmu

Fórmu

En aqu

Fórmu 2

1

g

g

∫

remes d’integ

rema del val

contínua en

b ∫ a

remes de de res tipus de

la de Leibnitz g

g

la de la func

uest mètode

1. Derivar
2. Avalua
3. Integra

la generalitz ( )

( )

x

x

∫ f x t dt a

gració

lor mig de la

[a,b] i g cont

f ( ) x dx = f c (

erivació de la funcions per

z: Si els inte 2

1

( )

( )

g x

g x

∫ f t dt al

ió subintegra

b

a

∫ f x

és important r. ar. ar.

ada de Leibn

aleshores Dx

a integral (TV

tínua o contí

c ).( b − a ) a

a funció integ r derivar dep

rvals d’integ

leshores

g x g

D

al: Si la funci

x , ) t dt alesh

t seguir el se

nitz: Si la fun 2

1

( )

( )

g x x g x

∫ f x t d

VM).

ínua a trosso

amb c ∈( , a b

gral. enent de qui

ració tenen f 2

1

( )

( )

g x

g x

∫ f t dt^ =

ó subintegra

hores (

b x a

D (^) ∫ f

egüent ordre

nció i els inte

dt = f (^) ( x g , 2 ( x

os en [a,b] po

ines siguin le

funcions que

f g ( 2 (^) ( ) x (^) ) g 2 '

al depèn de x

b

a

x t dt = (^) ∫ D

:

rvals depene

x ) (^) ) g 2 '( ) x − f

odem afirma

es variables

e depenen de

'( ) x − f g ( 1 ( x

x:

Dx (^) ( f x t dt ( , ) )

en de x:

f (^) ( x g , 1 ( ) x (^) ) g

pàgin

ar:

i on estiguin

e x:

x ) (^) ) g 1 '( ) x

2

1

( ) 1 ( )

g x

g x

x + (^) ∫ D

na 1

situades:

D f x t dtx ( , )

Su

3. SUM

En aqu una reg

Per fer

1. Defi Escollir

2. Defi

3. Defi

Treur Calcu

1. Si vo

umes de Riem

MES DE RIEM

uest tipus d’e gió D en R de

x ∈

r‐ho seguirem

nir x : r la posició re Si és suma Si és suma

x =

nir l’altura i

base L^ x

N

nir els sumat

re fora del Σ ular utilitzant

( ) 1

N

i =

∑

olem calcular

mann

MANN

exercicis ens efinida per:

∈ ⎡⎣ x^0 , xf ⎤⎦

m el mètode

elativa p= {i ‐ superior Æ inferior Æ M

0

x p L^ x

N

la base de la

a

toris i calcula

de j el que N t:

= N

r el valor exa

s demanaran

d’o

següent:

‐ 1, i} segons MÀX de f(x) MIN de f(x)

a columna:

altura = f (^) ( x

ar:

( 1

N

i

base

=

∑

NO depèn de

( ) 1

N

i

i

=

∑ =

acte de la int

0

x f

x

∫ f x d

n que calcule

on deduirem

s demanin:

x )

∙ )

N

i

e altura

=

=∑

e i.

( 1 )

N N +

tegral hem d

1

N N (^) i

dx lím

→∞ (^) =

∑

em la Suma s

els valors:

( ) 1

N

L x f x

= N

∑

i

∑

e fer el límit

x ∙ ( )

L

f x

N

superior o in

L x = xf

( )

2 1

N 2

i

N

i

=

∑ =

(infinites pa

P = i-

pàgina

nferior de Rie

− x 0

+ N + N

articions):

P

L (^) x

a 1

emman en

P = i

x

Apli

3. Long

a

y

d

c

y

d

c

y

y

icació de la in

gitud d’una c

y = f

b (^) x

y

r

y

r

x 0

y

a b

tegral

fu

fu

V

corba.

f(x) Per ca

x

= f(x)

x

y = f(x)

x

y = f(x)

x

y = g(x)

nció entorn

radi: f‐^1 (x) gruix: dy

(

d c

V = π∫ f

nció entorn

radi: f‐^1 (x) – gruix: dy

(

d V = π∫ c f

Volum genera

V = V f − V

alcular la lon

b a

L = (^) ∫

de l’eix OY

)

1 2

f −( ) y dy

d’un eix parl

• x (^0)

)

1 2

f ( ) y x 0 d

at per l’espai

b 2

Vg π af

⎢⎣ ∫

ngitud de la c

( )

2

+ f '( ) x dx

l∙lel l’eix OY (

dy

i entre funcio

( ) b^2

x dx − (^) ∫ ag

corba entre l

x

(x=x 0 )

ons entorn d

2 ( ) x dx ⎤

es abscises ‘

pàgin

de l’eix Ox (x

‘x=a’ i ‘x=b’ f

na 2

=x 0 )

em:

Int

5. INTE

5.1 Def

Una int

• Pr Sig

va

Ob

Ob

• Se Sig

l’i

Ob

Ob

• Te Si d’ qu Ob

RE

tegrals imprò

EGRALS IMP

finició i tipus

tegral f ( x ) d

b

∫ a

Algun dels L’integran Si passa 1)

rimera espèc gui f una fun

al: ∫ ( )

∞ a fxdx = bs 1: Igualme

bs 2: Per l’in

Si una de la Si las dos in Només en

egona espèc gui f una fun

ntegral és co

bs 1: Igualme

bs 2: Per l’in

Si una de la Si las dos in Només en

ercera espèc tenim una i integració al ue la separem bs: Només se

ESUM DE LA

Per 1ª espè

Fun

Co

òpies

RÒPIES

s

) dx es denom

s límits d’inte nt f(x) no està ) i passa 2) (

cie nció integrab

t t lim afxdx ent per a l’in

tegral ∫ f ( x

∞ −∞ as dos integr ntegrals són el cas que le

ie nció integrab

onvergent i v

ent per a l’in

tegral f (^ x ) d

b

∫ a

as dos integr ntegrals són el cas que le

cie integral amb leshores es t m en dues pa erà converge

A FUNCIÓ PAT

ècie:

nció patró: (^) ∫

nvergent sii

mina integral egració és in à acotat en [ (3ª espècie).

ble en [ a , t ]am

. És a dir, se

ntegral f ( x

b

x ) dx fem ∫

∞ −∞ rals és diverg divergents d es dues integ

ble en [ a , b −ε

val: ∫ ( )

b a fxdx

ntegral f (^ x ) d

b

∫ a

) dx amb disc

rals és diverg divergents d es dues integ

b algun límit tracta d’una arts simplific ent si ho són

TRÓ

+∞ ∫ (^11) xp^ dx p>

l impròpia si finit (1ª esp a,b] (2ª esp

mb t 〉 a si ∃ (^) t

rà convergen

x ) dx ⇒ ∫− ∞ (

b f

f ( x ) dx = f (

c

gent ⇒ ∫ f

+∞ −∞ del tipus (∞ ‐ grals siguin co

ε ]∀ε > 0 i d

∫ −^ (

= → +

ε ε

b lim 0 a fx

dx amb disc

c en x=c fem

gent ⇒ f (

b

∫ a

del tipus (+∞ grals siguin co

t d’integració impròpia de cant‐la en un n les dues pe

pècie). pècie).

→∞∫^ (^ )

t t lim afxdx nt si la integ

( x ) dx = t lim→−∞∫ t

( x ) dx + ∫ c f ( x

+∞

f ( x ) dx Diver

‐ ∞) ⇒ Inde

onvergents s

isc en x=b, s

x^ ) dx

en x=a ⇒ ∫

∫ a bf^ (^ x ) dx =^ ∫ ac

x ) dx Diverg

∞‐∞) ⇒ Inde

onvergents s

ó infinit i am e tercera esp na de primera r separat.

Per la 2ª es

Fun

Con

aleshores l’in

ral (el límit) d

∫^ ( )

b t fxdx

x ) dx

rgeix eterminant

serà ⇒ Con

i ∫ (

− ∃ →

ε ε

b lim 0 a f

∫ (^ )

• = →

b a ε fxdx εl

−ε f ( ) xdx + ∫ c b +

geix eterminant

será ⇒ Con

mb una disco ècie. Per pod a i una de se

pècie:

nció patró: (^) ∫ 0

nvergent sii p

pàgina

ntegral és co

dóna un núm

vergent

x^ ) dx alesho

∫ +^ (^ )

→ +

b im 0 a ε fxdx

ε f^ ( ) xdx

vergent

ontínuïtat en der calcular egona.

∫ (^0) − 1 ( )

a x ap^ dx p<

a 1

onvergent i

mero.

res:

x

n el domini que val cal

x