Calculo II, Tema 1, Apuntes de Matemáticas

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C ´ALCULO II

Grupo G2M

Ignacio Alvarez Rocha´

Introducci´on.

Continuando el estudio realizado en C´alculo I, en esta asignatura veremos c´omo se analizan las funciones de varias variables f : Rn^ → Rm. En primer lugar, nos referiremos al estudio de sus propiedades con respecto a la continuidad y derivaci´on y, m´as tarde, estudiaremos la integraci´on y sus propiedades. A estos objetivos est´an dedicados los cuatro primeros Temas de la asignatura. El objetivo de los Temas V y VI es el estudio de las funciones de variable compleja, f : C → C, es decir, funciones de una sola variable independiente pero que, en lugar de moverse por la recta, se mueve por todo el plano complejo C. Aunque tambi´en aqu´ı empezaremos con la continuidad y la derivaci´on, la parte fundamental del Tema en la que aparecen las propiedades m´as importantes de las funciones es la que se dedica a la integraci´on. De hecho, la mayor parte de estas propiedades son consecuencia de la f´ormula integral de Cauchy que, como veremos, nos dice que las funciones derivables se pueden representar por medio de una integral. Estas notas est´an estructuradas de la misma forma que se hab´ıa hecho en la asignatura C´alculo I por lo que, para no repetirme, no parece conveniente a˜nadir m´as comentarios al respecto.

TEMA I: Funciones reales de varias variables.

´Indice del Tema:

1.1 El espacio eucl´ıdeo Rn. 1.2 L´ımites y continuidad de las funciones de varias variables. 1.3 Derivadas parciales y direccionales. Vector gradiente. 1.4 Diferencial de una funci´on de varias variables. 1.5 Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. 1.6 Teorema de Taylor. Extremos de una funci´on f : Rn^ → R. 1.7 Teorema de la funci´on impl´ıcita. 1.8 Problemas de funciones de varias variables. 1.9 Resumen del Tema. 

En el desarrollo de este Tema se hacen referencias al libro de Apostol. La referencia completa es: ”Calculus”, Tomos I y II, editorial Reverte. El autor es T. M. Apostol.

1.1 El espacio eucl´ıdeo Rn.

Empezamos describiendo el conjunto sobre el que vamos a realizar los c´alculos: Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) : xi ∈ R, i = 1, 2 ,... , n}.

Cuando n = 2 o n = 3, representando cada componente xi sobre un eje real, el par (x 1 , x 2 ) o la terna (x 1 , x 2 , x 3 ) representan puntos del plano R^2 o del espacio R^3. Ya conocemos las operaciones de suma y producto por escalares que se definen en este conjunto:

• (suma) (x 1 , x 2 ,... , xn) + (y 1 , y 2 ,... , yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn)
• (multiplicaci´on por escalares) λ(x 1 , x 2 ,... , xn) = (λx 1 , λx 2 ,... , λxn), λ ∈ R.

En los casos n = 2 o n = 3, que es donde podemos realizar representaciones gr´aficas, es bien conocido el significado geom´etrico de estas operaciones de suma de vectores o de multiplicaci´on por escalares. La comprobaci´on de las siguientes propiedades de estas operaciones es inmediata:

• (asociativa) [(x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn)]+(z 1 ,... , zn) = (x 1 ,... , xn)+[(y 1 ,... , yn) + (z 1 ,... , zn)].

4

• (conmutativa) (x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = (y 1 ,... , yn) + (x 1 ,... , xn).
• (elemento neutro) (x 1 ,... , xn) + (0,... , 0) = (x 1 ,... , xn).
• (elemento sim´etrico) (x 1 ,... , xn) + (−x 1 ,... , −xn) = (0,... , 0).
• (distributiva)

λ [(x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn)] = λ(x 1 ,... , xn) + λ(x 1 ,... , xn), λ ∈ R.

Con objeto de evitar que la escritura resulte demasiado pesada, nos limitaremos a escribir x, y etc. en vez de (x 1 ,... , xn), (y 1 ,... , yn) etc. Es decir,

x = (x 1 ,... , xn), y = (y 1 ,... , yn) etc.

En particular, 0 = (0,... , 0), y los vectores de la base can´onica los denotaremos de la forma e 1 = (1, 0 , 0 ,... , 0) e 2 = (0, 1 , 0 ,... , 0)

...... en = (0, 0 ,... , 0 , 1)

Con esta notaci´on, las propiedades anteriores ser´ıan:

• (asociativa) (x + y) + z = x + (y + z)
• (conmutativa) x + y = y + x.
• (elemento neutro) x + 0 = x.
• (elemento sim´etrico) x + (−x) = 0.
• (distributiva) λ(x + y) = λx + λy, λ ∈ R. En Rn^ tenemos otra operaci´on m´as entre vectores, el producto escalar.

Definici´on 1.1. Dados x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn) de Rn, se llama producto escalar de estos dos vectores al n´umero real x · y definido de la forma

x · y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + xnyn.



Est´a claro que |x| =

x · x

y utilizaremos este hecho cada vez que sea necesario. Hay que observar que, si n = 1, x = x s´olo tiene una componente por lo que la definici´on anterior da lugar a |x| =

x^2 que es lo mismo que el valor absoluto del n´umero real x. Esta es la raz´on por la que se ha mantenido la notaci´on |x| para la longitud de un vector en Rn. No hay por tanto lugar a la confusi´on al utilizar el s´ımbolo | | tanto para la longitud de un vector como para el valor absoluto de un n´umero real. Est´a claro que |x| denota la longitud del vector x y |x| es el valor absoluto de x. Adem´as coinciden cuando x = x. En el siguiente Teorema vemos que, efectivamente, |x| tiene las mismas propiedades para todo valor de n ∈ N. En la propiedad iv) que se enuncia a continuaci´on, |x · y| es el valor absoluto del n´umero real x · y mientras que |x| y |y| son las longitudes de x e y respectivamente.

Teorema 1.2. Sean x e y puntos de Rn. Entonces

i) |x| ≥ 0 y, adem´as, |x| = 0 si y s´olo si x = 0. ii) |λx| = |λ| |x| para todo λ ∈ R. iii) |x − y| = |y − x|. iv) |x · y| ≤ |x| |y|, (desigualdad de Cauchy-Schwarz). v) |x + y| ≤ |x| + |y|, (desigualdad triangular). Demostraci´on. La relaci´on |x| ≥ 0 es evidente puesto que se considera la ra´ız cuadrada positiva. Por otra parte, est´a claro que si |x| =

x^21 +... + x^2 n = 0 entonces x^21 +... + x^2 n = 0 y esto es s´olo posible si x 1 =... = xn = 0 o, lo que es lo mismo, x = 0. Las propiedades ii) y iii) son inmediatas y se dejan como ejercicio. A continuaci´on, demostramos la desigualdad de Cauchy-Schwarz iv). Con x e y fijados, para cualquier n´umero real λ se cumple que 0 ≤ |x + λy|^2.

Ahora bien, teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar,

0 ≤ |x + λy|^2 = (x + λy) · (x + λy) = x · x + 2λ(x · y) + λ^2 (y · y)

= |x|^2 + 2λ(x · y) + λ^2 |y|^2

que es un polinomio de grado 2 en la variable λ. Como es mayor o igual que cero para todo valor de λ, s´olo cabe la posibilidad de que sus raices sean complejas o que s´olo tenga una real y doble. Es imposible que tenga dos raices reales distintas porque eso implicar´ıa que el polinomio cambiar´ıa de signo antes y despu´es de cada una de ellas y ya sabemos que es siempre positivo. Entonces el discriminante ha de ser menor o igual que cero, es decir, 4(x · y)^2 − 4 |x|^2 |y|^2 ≤ 0 ⇒ (x · y)^2 ≤ |x|^2 |y|^2 ⇒ |x · y| ≤ |x||y|

como quer´ıamos. La propiedad v) es ahora muy f´acil de demostrar teniendo en cuenta iv).

|x + y|^2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2(x · y) + y · y = |x|^2 + |y|^2 + 2(x · y)

≤ |x|^2 + |y|^2 + 2|x · y| ≤ |x|^2 + |y|^2 + 2|x||y| = (|x| + |y|)^2

que implica que |x + y| ≤ |x| + |y|. 

Ejemplo 1.1. El conjunto A = {(x, y) ∈ R^2 : |(x, y) − (1, 2)| < 1 } es el interior del c´ırculo de radio 1 que tiene su centro en (1, 2).

Como |(x, y)−(1, 2)| =

(x − 1)^2 + (y − 2)^2 y (x−1)^2 +(y−2)^2 = 1 es la circunferencia con centro en (1, 2) y radio 1, A est´a formado por los puntos (x, y) interiores a esta circunferencia. Es m´as r´apido pensar en t´erminos geom´etricos como hac´ıamos con el valor absoluto. Como |(x, y) − (1, 2)| es la distancia desde (x, y) hasta (1, 2), los puntos que cumplen la condici´on |(x, y) − (1, 2)| < 1 son aquellos que est´an a una distancia inferior a 1 del punto (1, 2). Puesto que los que est´an a distancia 1 son los de la circunferencia, los interiores a esta circunferencia ser´an los que cumplen la condici´on. 

Ejemplo 1.2. El conjunto B = {(x, y, z) ∈ R^3 : |(x, y, z) − (2, 0 , −1)| < 12 } es el interior de la esfera de centro (2, 0 , −1) y radio 12.

No hace falta pensar que |(x, y, z) − (2, 0 , −1)| =

(x − 2)^2 + y^2 + (z + 1)^2 y que (x − 2)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 14 es la ecuaci´on de la esfera con centro en (2, 0 , −1) y radio 12. Una vez m´as, como |(x, y, z) − (2, 0 , −1)| es la distancia desde (x, y, z) hasta (2, 0 , −1), los puntos de B son los que est´an a menos distancia que 12 de (2, 0 , −1), es decir, el interior de la esfera de centro (2, 0 , −1) y radio 12. 

Definici´on 1.4. Un conjunto G de Rn^ se dice que es abierto cuando para cada x 0 ∈ G existe r > 0 tal que B(x 0 , r) ⊂ G. Un conjunto F ⊂ Rn^ se dice que es cerrado cuando su complementario, Rn^ \ F , es abierto.

Ejercicio 1.1. Demuestra que los intervalos abiertos de la recta son conjuntos abiertos de R seg´un la definici´on anterior. Demuestra que los intervalos cerrados de R son conjuntos cerrados. Demuestra, finalmente, que (0, 1] no es un conjunto abierto de R ni tampoco cerrado seg´un la definici´on anterior. 

Ejercicio 1.2. Di cu´ales de los siguientes conjuntos son abiertos y cu´ales son cerrados. Justifica la respuesta.

1. A 1 = {(x, y) ∈ R^2 : |(x, y) − (1, 1)| < 2 }.
2. A 2 = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 < x < 1 , 1 < y < 2 }.
3. A 3 = {(x, y, z) ∈ R^3 : |(x, y, z) − (1, 1 , 1)| ≤ 1 }.
4. A 4 = {(x, y) ∈ R^2 : − 1 ≤ x < 1 , 2 < y ≤ 3 }. 

Definici´on 1.5. Se dice que un conjunto K ⊂ Rn^ est´a acotado cuando existe R > 0 tal que K ⊂ B( 0 , R). Es decir, todo x ∈ K cumple que |x| < R.

Ejercicio 1.3. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos est´an acotados y cu´ales no lo est´an? Justifica la respuesta.

A 1 = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 1 }, A 2 = {(x, y) ∈ R^2 : |x| + |y| ≤ 1 },

A 3 = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 = 1}. 

1.2 L´ımites y continuidad de las funciones de varias variables.

De la misma forma que para una funci´on de una ´unica variable, f : R → R, el conjunto {(x, f (x)) : x ∈ Dom(f )} es la gr´afica de la funci´on, para f : Rn^ → R el conjunto {(x, f (x)) ∈ Rn+1^ : x ∈ Dom(f )} es la gr´afica de la funci´on f. El problema es que ahora s´olo podremos representar este conjunto cuando n ≤ 2. Est´a claro que la gr´afica de una funci´on f : R^2 → R es una superficie en R^3 de la misma manera que para

funciones de una variable la gr´afica de una funci´on es una curva. Si n es 3 o m´as, la gr´afica est´a en Rn+1^ con n + 1 ≥ 4 y no podemos hacer este tipo de representaci´on gr´afica. Aunque s´olo podamos hacer representaciones gr´aficas en los casos n ≤ 2 , ser´ıa dema- siado tedioso distinguir lo que ocurre cuando n ≤ 2 y cuando n ≥ 3 porque en todas las definiciones que veremos a partir de ahora no hay ninguna diferencia. Por tanto, todos los conceptos se van a definir en Rn^ para cualquier valor de n ∈ N, pero resulta extremadamente conveniente que cada estudiante haga en cada caso la particularizaci´on a n = 2, en donde se puede dibujar, de lo que significa cada concepto que se establezca. Continuamos con la notaci´on abreviada x, y,... ∈ Rn^ en lugar de escribir las n com- ponentes, (x 1 ,... , xn), (y 1 ,... , yn),... de los puntos x, y etc. Empezamos con la noci´on de l´ımite y de continuidad de una funci´on. Desde un punto de vista formal, no hay ninguna diferencia con lo escrito en el caso de una s´ola variable. Unicamente, que el conjunto´ {x ∈ Rn^ : |x − x 0 | < } representa el intervalo centrado en x 0 y radio  si n = 1, el c´ırculo centrado en x 0 y radio  si n = 2, la esfera centrada en x 0 y radio  si n = 3, mientras que no es posible una visualizaci´on de estos conjuntos si n ≥ 4. Como en una variable, y en t´erminos imprecisos, que limx→x 0 f (x) = l significa que los n´umeros f (x) ∈ R se acercan m´as y m´as al n´umero l cuando x se acerca m´as y m´as al punto x 0 ∈ Rn.

Definici´on 1.6. Sean f : Rn^ → R, x 0 un punto fijado de Rn, y l un n´umero real dado. Se dice que f (x) tiende a l cuando x tiende a x 0 , (se escribe limx→x 0 f (x) = l), si se cumple que para cada  > 0 existe δ > 0 tal que |f (x) − l| <  para todo x tal que |x − x 0 | < δ.

Podemos escribir la definici´on anterior, de la misma forma que en una variable, diciendo que limx→x 0 f (x) = l si y s´olo si para cada  > 0 existe un δ > 0 de forma que f (x) ∈ (l −, l +) para todo x ∈ B(x 0 , δ). S´olo el significado de B(x 0 , δ) es diferente si n = 1, 2 , 3 etc.

Ejemplo 1.3. lim(x,y)→(0,0)(x^2 + y^2 ) = 0.

Esto es porque, dado  > 0, si elegimos δ = √ entonces se cumple que

x^2 + y^2 < δ en cada (x, y) ∈ B((0, 0), δ) por lo que

|(x^2 + y^2 ) − 0 | = |x^2 + y^2 | = (

x^2 + y^2 )^2 < δ^2 = .

lim(x,y)→(x 0 ,y 0 ) f (x, y) = l entonces limx→x 0 f (x, y 0 + m(x − x 0 )) = l para todo valor de m ∈ R por lo que, si por dos rectas distintas los l´ımites son diferentes, no habr´a l´ımite de f (x, y) en el punto (x 0 , y 0 ). Es geom´etricamente muy claro que (x, y) puede tender a (x 0 , y 0 ) no s´olo por rectas; lo puede hacer por cualquier curva que pase por (x 0 , y 0 ), y para que haya l´ımite, deber´an ser iguales todos los l´ımites por cualquier direcci´on posible.

Ejemplo 1.5. Sea f (x, y) la funci´on definida de la forma

f (x, y) =

{ (^) x (^2) −y 2 x^2 +y^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

lim(x,y)→(0,0) f (x, y) no existe.

Esto se debe a que, si calculamos el l´ımite cuando (x, y) tiende a (0, 0) por cada recta y = mx que pasa por (0, 0), obtenemos

xlim→ 0 f^ (x, mx) = lim x→ 0 x

(^2) − (mx) 2 x^2 + (mx)^2 = lim^ x→^0

x^2 (1 − m^2 ) x^2 (1 + m^2 ) = lim^ x→^0

1 − m^2 1 + m^2 =

1 − m^2 1 + m^2 con lo que obtenemos l´ımites distintos por rectas distintas y, como consecuencia,

(x,ylim)→(0,0) f^ (x, y) no existe. 

Este camino es bueno para ver que un l´ımite no existe pero no para ver que un l´ımite existe. El siguiente ejemplo ilustra esta afirmaci´on.

Ejemplo 1.6. Sea f (x, y) la funci´on definida de la forma

f (x, y) =

{ (^) x (^2) y 2 x^2 y^2 +(x^2 −y)^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

Para esta funci´on, lim(x,y)→(0,0) f (x, y) no existe y, sin embargo, limx→ 0 f (x, mx) = 0 para todo m ∈ R:

En primer lugar,

xlim→ 0 f^ (x, mx) = lim x→ 0 x

(^2) (mx) 2 x^2 (mx)^2 + (x^2 − mx)^2 = lim^ x→^0

x^4 m^2 x^2 [m^2 x^2 + (x − m)^2 ] = 0

para cualquier valor m ∈ R. Sin embargo, si calculamos el l´ımite cuando (x, y) tiende a (0, 0) por la curva y = x^2 que tambi´en pasa por (0, 0) obtenemos

lim x→ 0 f (x, x^2 ) = lim x→ 0 x

(^2) (x (^2) ) 2 x^2 (x^2 )^2 − (x^2 − x^2 )^2 = lim^ x→^0

x^6 x^6 = 1^6 = 0 = lim^ x→^0 f^ (x, mx)

de lo que se deduce que no existe el l´ımite en (0, 0) de f (x, y). 

Despu´es de haber visto este ejemplo, est´a claro que este camino ser´ıa interminable para ver que un l´ımite existe. Nunca acabar´ıamos de analizar todas las posibles direcciones que pasan por (x 0 , y 0 ) si las estudiamos de una en una. Claro est´a, peor ser´ıa en R^3 , R^4 etc. porque cada vez habr´ıa m´as formas posibles de acercarnos al punto x 0. En todo caso, para descartar la existencia de un l´ımite si es un camino adecuado. De hecho, de la definici´on de l´ımite se sigue de forma inmediata el siguiente resultado.

Teorema 1.3. Sea f : Rn^ → R. Si limx→x 0 f (x) = l y S es cualquier subconjunto de Rn que contiene a x 0 entonces

x→^ limx 0 , x∈S f^ (x) =^ l.  La lectura interesante de este resultado es que ”si por dos direcciones distintas los l´ımites son diferentes entonces el l´ımite no existe”.

Ejercicio 1.5. Calcula el l´ımite por cada recta que pasa por (1, −1) de la funci´on f (x, y) y deduce, utilizando el Teorema anterior, que no existe lim(x,y)→(1,−1) f (x, y) siendo f (x, y) la funci´on definida de la forma

f (x, y) =

{ (^) (x−1) (^4) −(y+1) 4 2(x−1)^4 +(y+1)^4 si^ (x, y)^6 = (1,^ −1) 0 si (x, y) = (1, −1).  Para funciones de dos variables, un procedimiento eficaz para demostrar la existencia de un l´ımite en el punto (x 0 , y 0 ) consiste en utilizar coordenadas polares, esto es, escribir x = x 0 + r cos θ e y = y 0 + r sen θ con lo que (x, y) = (x 0 + r cos θ, y 0 + r sen θ) tiende a (x 0 , y 0 ) si y s´olo si r → 0 y el l´ımite correspondiente se hace depender de una s´ola variable r. Se cumple el siguiente resultado.

Teorema 1.4. Dada la funci´on f (x, y) y dado (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 , escribiendo (x, y) en coor- denadas polares tenemos f (x, y) = f (x 0 + r cos θ, y 0 + r sen θ). Si existen funciones F (r) y G(θ) tales que

|f (x, y) − l| = |f (x 0 + r cos θ, y 0 + r sen θ) − l| ≤ F (r)G(θ)

y se cumple que limr→ 0 F (r) = 0 y G(θ) ≤ M para alguna constante M ∈ R entonces

(x,y)^ lim→(x 0 ,y 0 ) f^ (x, y) =^ l.

ii) limx→x 0 (f (x)g(x)) = limx→x 0 f (x) limx→x 0 g(x). iii) Si, adem´as, limx→x 0 g(x) 6 = 0 entonces limx→x 0 f g^ ((xx)) = limlimxx→→xx^00 fg^ ((xx)).  La continuidad de una funci´on se define en los mismos t´erminos que para funciones de una variable.

Definici´on 1.7. Sea f : Rn^ → R y sea x 0 un punto de Rn. Se dice que f (x) es continua en x 0 cuando limx→x 0 f (x) = f (x 0 ). Cuando f (x) es continua en todos los puntos de un conjunto A ⊂ Rn, se dice que f (x) es continua en A.

Las propiedades de los l´ımites del Teorema 1.5 establecen de forma inmediata las siguientes propiedades de las funciones continuas.

Teorema 1.6. Si f, g : Rn^ → R son funciones continuas en x 0 ∈ Rn^ entonces

i) αf (x) + βg(x) es continua en x 0 para todo α, β ∈ R. ii) f (x)g(x) es continua en x 0. iii) Si, adem´as, g(x 0 ) 6 = 0 entonces f g^ ((xx)) es continua en x 0. 

Ejercicio 1.6. Demuestra este ´ultimo resultado utilizando el Teorema 1.5. 

En el libro de Apostol se puede ver la demostraci´on del siguiente resultado relativo a la composici´on de funciones continuas.

Teorema 1.7. Si f : Rn^ → R es continua en x 0 y g : R → R es continua en f (x 0 ) ∈ R entonces (g ◦ f )(x) es continua en x 0. 

De la misma forma que en una variable, se puede demostrar que ”todas las funciones elementales de varias variables, es decir, polin´omicas, trigonom´etricas, exponenciales, logar´ıtmicas etc. son funciones continuas en su dominio de definici´on.” En consecuencia, para calcular el l´ımite de una funci´on elemental en un punto x 0 es suficiente con evaluar la funci´on en ese punto x 0 ∈ Rn. S´olo ser´a necesario alg´un c´alculo extra, como en los ejemplos vistos, si se producen indeterminaciones.

Ejemplo 1.8. La funci´on f (x, y) definida de la forma

f (x, y) =

(x^2 + y^2 ) sen √x (^21) +y 2 si (x, y) 6 = 0 0 si (x, y) = (0, 0),

es continua en todo (x, y) ∈ R^2.

En primer lugar, si (x, y) 6 = (0, 0), f (x, y) es el producto de una funci´on polin´omica, (x^2 + y^2 ), con la composici´on de una trigonom´etrica, sen, y un cociente de continuas, √^1 x^2 +y^2. Entonces^ f^ (x, y) es continua en todo (x, y)^6 = (0,^ 0).^ Veamos qu´e ocurre en (0,^ 0). Como ∣∣ ∣∣ ∣(x

(^2) + y (^2) ) sen √^1 x^2 + y^2

∣ ≤^ (x

(^2) + y (^2) ) para todo (x, y) 6 = (0, 0),

entonces

0 ≤ (^) (x,ylim)→(0,0)

∣(x

(^2) + y (^2) ) sen √^1 x^2 + y^2

∣ ≤^ (x,ylim)→(0,0)(x

(^2) + y (^2) ) = 0

porque x^2 + y^2 es una funci´on continua. Por tanto, lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0 = f (0, 0) por lo que f (x, y) tambi´en es continua en (0, 0). 

Ejercicio 1.7. Estudia la continuidad de la funci´on

f (x, y) =

{ (^) x(y−1) x^2 +(y−1)^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 1) 1 si (x, y) = (0, 1).  Las funciones continuas de n variables tienen las mismas propiedades que ten´ıan las de una variable. Aunque la situaci´on es un poco m´as compleja que en una variable, la demostraci´on de los resultados siguientes tambi´en se puede ver en el libro de Apostol.

Teorema 1.8. Sea f : Rn^ → R. Si A ⊂ Rn^ es un conjunto cerrado y acotado y f (x) es continua en A entonces existen puntos x 1 , x 2 ∈ A tales que

f (x 1 ) ≤ f (x) ≤ f (x 2 ) para todo x ∈ A.

Es decir, f (x) tiene un m´aximo absoluto, M = f (x 2 ), y un m´ınimo absoluto, m = f (x 1 ), en el conjunto cerrado y acotado A. 

Para enunciar la versi´on del Teorema de Bolzano en n variables hay que matizar un poco m´as sobre las caracter´ısticas geom´etricas del conjunto A donde f (x) es continua. Se necesita que sea conexo.

Definici´on 1.8. Un conjunto A ⊂ Rn^ se dice que es conexo cuando para cada par de puntos x, y ∈ A existe una curva L[x, y] que une x e y de forma que L[x, y] est´a contenido en A.

siempre que este l´ımite exista. An´alogamente, se define la derivada parcial con respecto a y, ∂f ∂y (x^0 , y^0 ) = lim^ h→^0

f (x 0 , y 0 + h) − f (x 0 , y 0 ) h siempre que este l´ımite exista.

Se acostumbra a denotar las derivadas parciales con las expresiones anteriores o tambi´en con las expresiones

∂f ∂x (x^0 , y^0 ) =^ D^1 f^ (x^0 , y^0 ),^

∂f ∂y (x^0 , y^0 ) =^ D^2 f^ (x^0 , y^0 ).

Incluso, si se llama z = f (x, y), se escribe tambi´en

∂f ∂x (x^0 , y^0 ) =^ z x′(x^0 , y^0 ),^ ∂f ∂y (x^0 , y^0 ) =^ z y′(x^0 , y^0 ).

Para definir las derivadas parciales de funciones de n variables es conveniente el si- guiente lenguaje: Si e 1 = (1, 0) y e 2 = (0, 1), las derivadas parciales de f (x, y) se pueden definir de la forma

∂f ∂x (x^0 , y^0 ) = lim h→ 0

f ((x 0 , y 0 ) + he 1 ) − f (x 0 , y 0 ) h , ∂f ∂y (x^0 , y^0 ) = lim^ h→^0

f ((x 0 , y 0 ) + he 2 ) − f (x 0 , y 0 ) h puesto que (x 0 , y 0 )+he 1 = (x 0 , y 0 )+h(1, 0) = (x 0 +h, y 0 ) y lo mismo para la otra derivada parcial. Sean e 1 , e 2 ,... , en los vectores de la base can´onica de Rn.

Definici´on 1.10. Dada f : Rn^ → R y dado x 0 de Rn, para cada i = 1, 2 ,... , n, se define la derivada parcial de f (x) con respecto a la variable xi en el punto x 0 de la forma

∂f ∂xi^ (x^0 ) = lim h→ 0

f (x 0 + hei) − f (x 0 ) h

siempre que este l´ımite exista.

Se utiliza tambi´en la notaci´on Dif (x 0 ) para la derivada parcial de f (x) con respecto a xi en el punto x 0. Para calcular derivadas parciales no hay nada nuevo que hacer. Puesto que est´an fijas todas las variables excepto la i-´esima, es lo mismo que derivar la funci´on de una ´unica variable, la variable xi, mientras las dem´as se mantienen constantes.

Ejemplo 1.9. Sea f (x, y) = xy sen(x^2 + y^2 ). Sus derivadas parciales en cada punto (x, y) son las siguientes:

D 1 f (x, y) = y sen(x^2 + y^2 ) + xy cos(x^2 + y^2 ) 2x,

D 2 f (x, y) = x sen(x^2 + y^2 ) + xy cos(x^2 + y^2 ) 2y. 

Ejemplo 1.10. Sea f (x, y) = (^) x 2 xy+y 2 si (x, y) 6 = (0, 0) y f (0, 0) = 0. Calcula sus derivadas parciales en cada punto donde existan.

Soluci´on. Si (x, y) 6 = (0, 0) entonces, aplicando las reglas de derivaci´on obtenemos,

D 1 f (x, y) = (x

(^2) + y (^2) )y − xy 2 x (x^2 + y^2 )^2 ,^ D^2 f^ (x, y) =

(x^2 + y^2 )x − xy 2 y (x^2 + y^2 )^2.

En el punto (0, 0) estas funciones no est´an definidas por lo que comprobamos la existencia o no de las derivadas parciales siguiendo la definici´on.

D 1 f (0, 0) = lim h→ 0 f^ (h,^ 0)^ − h f^ (0,^ 0)= lim h→ 0 h^2 h+0^02 −^0 h = lim h→ 0 0 = 0.

Entonces existe derivada parcial en (0, 0) con respecto a x y D 1 f (0, 0) = 0. An´alogamente,

D 2 f (0, 0) = lim h→ 0 f^ (0, h)^ − h f^ (0,^ 0)= lim h→ 0 020 +^ hh^2 −^0 h = lim h→ 0 0 = 0

y tenemos D 2 f (0, 0) = 0. En resumen, f (x, y) tiene las dos derivadas parciales en todo punto (x, y) ∈ R^2 y estas funciones son

D 1 f (x, y) =

{ (^) (x (^2) +y (^2) )y−xy 2 x (x^2 +y^2 )^2 si (x, y)^6 = (0,^ 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

D 2 f (x, y) =

{ (^) (x (^2) +y (^2) )x−xy 2 y (x^2 +y^2 )^2 si (x, y)^6 = (0,^ 0) 0 si (x, y) = (0, 0). 

Ejercicio 1.8. Calcula las derivadas parciales de f (x, y) en cada punto donde existan siendo f (x, y) la funci´on

f (x, y) =

{ (^) x 3 x^2 +y^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 0) 0 si (x, y) = (0, 0).