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TEMA II: Funciones vectoriales de varias variables.
´Indice del Tema:
2.1 Funciones vectoriales f : R
n → R
m
. Funciones coordenadas.
2.2 Derivadas parciales. Diferencial de una funci´on vectorial.
2.3 Matriz Jacobiana. Regla de la cadena.
2.4 Problemas de funciones vectoriales.
El libro de referencia para este Tema sigue siendo ”Calculus” de T. M. Apostol.
2.1 Funciones vectoriales f : R
n
→ R
m
. Funciones coordenadas.
Sea f : R
2 → R
2 definida de la forma f (x, y) = (x + y, x − y). Podemos escribir
f (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) donde f 1 (x, y) = x + y, f 2 (x, y) = x − y
y cada fi(x, y), i = 1, 2 , es una funci´on real de dos variables, es decir
fi : R
2 → R.
En general, si f : R
n → R
m , tenemos
f (x 1 ,... , xn) = (y 1 ,... , ym) donde yi = fi(x 1 ,... , xn), i = 1,... , m,
y cada fi es una funci´on real de n variables,
fi : R
n → R, i = 1,... , m.
Las funciones f : R
n → R
m se llaman funciones vectoriales de n variables y las correspon-
dientes fi : R
n → R, i = 1,... , m, se llaman funciones coordenadas de f o, simplemente,
componentes de f.
Un caso particular de funci´on vectorial especialmente interesante es
f : R → R
n
t f (t) = (x 1 (t),... , xn(t)).
Si se representa gr´aficamente el conjunto de puntos C = {f (t) : t ∈ Dom(f )}, se obtiene
una curva en el plano si n = 2, una curva en el espacio cuando n = 3, etc. Esta es la
forma m´as general de dar las ecuaciones de una curva en el plano, en el espacio, o, en
general, en R
n , y se dice que f (t) = (x 1 (t),... , xn(t)) es una representaci´on param´etrica
de la curva C.
Ejemplo 2.1. El conjunto C = {(t, t
2 ) : t ∈ R} es la par´abola y = x
2 , y el par de
ecuaciones (^) {
x = t,
y = t
2 ,
t ∈ R,
es una representaci´on param´etrica de la par´abola.
Ejemplo 2.2. El conjunto C = {(cos t, sen t) : 0 ≤ t ≤ 2 π} es la circunferencia de centro
(0, 0) y radio 1 por lo que {
x = cos t
y = sen t,
t ∈ [0, 2 π],
es una representaci´on param´etrica de la circunferencia (est´a claro que x
2
2 = 1 y que
t = arctg
y x
Recuperando la notaci´on abreviada, x = (x 1 ,... , xn) ∈ R
n e y = (y 1 ,... , ym) ∈ R
m ,
simplemente escribiremos y = f (x) para denotar una funci´on f : R
n → R
m .
La definici´on de l´ımite es la misma de siempre; s´olo cambia el significado que tienen
|x| y |y| que ahora son puntos de R
n y de R
m respectivamente.
Definici´on 2.1. Sean f : R
n → R
m , x 0 ∈ R
n y l = (l 1 ,... , lm) ∈ R
m
. Se dice que l es el
l´ımite de f (x) cuando x tiende a x 0 , y se escribe
l = lim x→x 0
f (x),
si se cumple que para cada > 0 existe δ > 0 de forma que |f (x) − l| < para todo x tal
que |x − x 0 | < δ.
El c´alculo de l´ımites de funciones vectoriales, f : R
n → R
m , es el mismo problema que
el c´alculo de l´ımites de funciones reales de n variables puesto que se cumple el siguiente
resultado.
Teorema 2.1. Sea f : R
n → R
m y sean fi : R
n → R, i = 1,... , m, sus funciones
coordenadas. Sea x 0 un punto dado de R
n
. Entonces
lim x→x 0
f (x) =
lim x→x 0
f 1 (x),... , lim x→x 0
fm(x)
2.2 Derivadas parciales. Diferencial de una funci´on vectorial.
Definici´on 2.3. Sea f : R
n → R
m y sea x 0 ∈ R
m
. Sean e 1 ,... , en los vectores de la base
can´onica de R
n
. Se definen las derivadas parciales de f (x) en el punto x 0 de la forma
∂f
∂xi
(x 0 ) = Dif (x 0 ) = lim h→ 0
f (x 0 + hei) − f (x 0 )
h
, i = 1,... , n.
Si u ∈ R
n es tal que |u| = 1, se define la derivada direccional Duf (x 0 ) de la forma
Duf (x 0 ) = lim h→ 0
f (x 0 + hu) − f (x 0 )
h
Teniendo en cuenta el Teorema 2.1 de c´alculo de l´ımites de funciones vectoriales, es
inmediato el siguiente resultado.
Teorema 2.4. Sea f : R
n → R
m y sean f 1 ,... , fm sus componentes. Sea x 0 ∈ R
n
. Para
cada i = 1,... , n, la derivada parcial Dif (x 0 ) existe si y s´olo si Dif 1 (x 0 ),... , Difm(x 0 )
existen y, adem´as,
Dif (x 0 ) = (Dif 1 (x 0 ),... , Difm(x 0 ))
An´alogamente, si u ∈ R
n es tal que |u| = 1,
Duf (x 0 ) = (Duf 1 (x 0 ),... , Dufm(x 0 )).
Ejercicio 2.3. Utiliza el Teorema 2.1 para demostrar el Teorema anterior.
Observaci´on: En el caso particular f : R → R
n , f (t) = (x 1 (t),... , xn(t)), ´unicamen-
te hay una variable independiente por lo que la derivada es
f
′ (t) = (x
′ 1 (t),... , x
′ n(t))
y, cuando n = 2 o n = 3, est´a claro seg´un la definici´on de la derivada que f
′ (t 0 ) representa
un vector en la direcci´on de la tangente a la curva f (t) en el punto f (t 0 ).
La diferencial de una funci´on vectorial se puede definir en t´erminos muy similares
a como se hac´ıa para funciones reales de n variables s´olo que, en lugar de hablar de
la existencia de un ”vector de constantes A = (A 1 ,... , An) tal que ....” como se hac´ıa
en la Definici´on 1.13 del Tema I, ahora se necesita la existencia de una cierta matriz
rectangular de constantes cumpliendo condiciones an´alogas a las de la Definici´on 1.13.
La definici´on formal de la diferencial de una funci´on vectorial tiene una traduci´on muy
sencilla en t´erminos de las funciones componentes y, por comodidad ya que no aporta nada
nuevo, omitimos la definici´on de la diferencial y enunciamos directamente el resultado
que relaciona la diferencial de una funci´on vectorial con la diferencial de cada una de sus
funciones componentes (aunque no sea muy ortodoxo, no se pierde ninguna informaci´on).
Teorema 2.5. Sea f : R
n → R
m y sean f 1 ,... , fm sus componentes. Sea x 0 un punto
dado de R
n
. f (x) es diferenciable en x 0 si y s´olo si, para cada i = 1,... , m, fi(x) es
diferenciable en x 0. Adem´as,
df (x 0 ) = (df 1 (x 0 ),... , dfm(x 0 )).
Por razones de comodidad en la notaci´on, resulta conveniente escribir la diferencial
df (x 0 ) en columna en vez de hacerlo en fila. Es decir, escribir
df (x 0 ) =
df 1 (x 0 )
df 2 (x 0 )
. . .
dfm(x 0 )
∂f 1 ∂x 1
(x 0 )dx 1 +... +
∂f 1 ∂xn
(x 0 )dxn
∂f 2 ∂x 1
(x 0 )dx 1 +... +
∂f 2 ∂xn
(x 0 )dxn
. . .
∂fm ∂x 1
(x 0 )dx 1 +... +
∂fm ∂xn
(x 0 )dxn
Con esta notaci´on, la diferencial df (x 0 ) se puede escribir como un producto de matrices
de la siguiente forma:
df (x 0 ) =
∂f 1 ∂x 1
(x 0 )
∂f 1 ∂x 2
(x 0 )...
∂f 1 ∂xn
(x 0 )
∂f 2 ∂x 1
(x 0 )
∂f 2 ∂x 2
(x 0 )...
∂f 2 ∂xn
(x 0 )
. . .
∂fm ∂x 1
(x 0 )
∂fm ∂x 2
(x 0 )...
∂fm ∂xn
(x 0 )
dx 1
dx 2
. . .
dxn
Conviene tener en cuenta que cada fila de la matriz anterior es ∇fi(x 0 ), i = 1,... , m, y
que cada columna de esta matriz es Dj f (x 0 ), j = 1,... , n.
El siguiente Teorema es otra consecuencia inmediata del Teorema 2.5.
Teorema 2.6. Si f : R
n → R
m es diferenciable en x 0 ∈ R
n entonces
i) f (x) es continua en x 0.
ii) Para cada i = 1,... , n, existe Dif (x 0 ).
Teorema 2.7. (Regla de la cadena) Si f es diferenciable en x 0 y g es diferenciable en
f (x 0 ) entonces h = g ◦ f es diferenciable en x 0 y, adem´as,
Jh(x 0 ) = Jg(f (x 0 )) Jf (x 0 ). (2)
Observaciones:
- Esta es la f´ormula que generaliza a funciones vectoriales la expresi´on (g ◦ f )
′ (x) =
g
′ (f (x)) f
′ (x) (regla de la cadena) que conocemos para funciones reales de una ´unica
variable.
- Los elementos de la matriz Jh(x 0 ) son
∂hi ∂xj
(x 0 ) por lo que la ”breve” f´ormula (2) del
Teorema nos dice como se deriva una composici´on de funciones vectoriales.
- Una vez que conocemos el modo de calcular las derivadas parciales de una com-
posici´on podemos obtener inmediatamente la diferencial de h o cualquier derivada
direccional de la composici´on h.
Teniendo en cuenta que h = g ◦ f : R
n → R
p , si h 1 ,... , hp son las componentes de h, lo
que dice la ”breve” f´ormula (2) es que
Jh(x 0 ) =
∂h 1 ∂x 1
(x 0 )
∂h 1 ∂x 2
(x 0 )...
∂h 1 ∂xn
(x 0 )
∂h 2 ∂x 1
(x 0 )
∂h 2 ∂x 2
(x 0 )...
∂h 2 ∂xn
(x 0 )
. . .
∂hp ∂x 1
(x 0 )
∂hp ∂x 2
(x 0 )...
∂hp ∂xn
(x 0 )
∂g 1 ∂y 1
(f (x 0 ))
∂g 1 ∂y 2
(f (x 0 ))...
∂g 1 ∂ym
(f (x 0 ))
∂g 2 ∂y 1
(f (x 0 ))
∂g 2 ∂y 2
(f (x 0 ))...
∂g 2 ∂ym
(f (x 0 ))
. . .
∂gp ∂y 1
(f (x 0 ))
∂gp ∂y 2
(f (x 0 ))...
∂gp ∂ym
(f (x 0 ))
∂f 1 ∂x 1
(x 0 )
∂f 1 ∂x 2
(x 0 )...
∂f 1 ∂xn
(x 0 )
∂f 2 ∂x 1
(x 0 )
∂f 2 ∂x 2
(x 0 )...
∂f 2 ∂xn
(x 0 )
. . .
∂fm ∂x 1
(x 0 )
∂fm ∂x 2
(x 0 )...
∂fm ∂xn
(x 0 )
donde g 1 ,... , gp son las componentes de g : R
m → R
p , y 1 ,... , ym son las variables de esta
funci´on g, y f 1 ,... , fm y x 1 ,... , xn las componentes y las variables respectivamente de
f : R
n → R
m .
As´ı pues, el elemento de la fila i y columna j de Jh(x 0 ) es
∂hi ∂xj
(x 0 ) que se obtiene
multiplicando la fila i de Jg(f (x 0 )) por la columna j de Jf (x 0 ). Es decir
∂hi
∂xj
(x 0 ) =
∂gi ∂y 1
(f (x 0 )),
∂gi ∂y 2
(f (x 0 )),... ,
∂gi ∂ym
(f (x 0 ))
∂f 1 ∂xj
(x 0 )
∂f 2 ∂xj
(x 0 )
. . .
∂fm ∂xj
(x 0 )
∂gi
∂y 1
(f (x 0 ))
∂f 1
∂xj
(x 0 ) +
∂gi
∂y 2
(f (x 0 ))
∂f 2
∂xj
(x 0 ) +... +
∂gi
∂ym
(f (x 0 ))
∂fm
∂xj
(x 0 )
para i = 1,... , p y j = 1,... , n.
Para fijar ideas, consideremos el caso de f : R
2 → R
2 y g : R
2 → R
2 de manera que
f (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) y g(u, v) = (g 1 (u, v), g 2 (u, v)). Entonces la composici´on es
h(x, y) = g(f (x, y)) = (g 1 (u, v), g 2 (u, v)) donde u = f 1 (x, y) y v = f 2 (x, y). As´ı pues,
h 1 (x, y) = g 1 (u, v) y h 2 (x, y) = g 2 (u, v). Entonces
∂h 1
∂x
(x, y) =
∂g 1
∂u
(u, v)
∂u
∂x
(x, y) +
∂g 1
∂v
(u, v)
∂v
∂x
(x, y),
∂h 1
∂y
(x, y) =
∂g 1
∂u
(u, v)
∂u
∂y
(x, y) +
∂g 1
∂v
(u, v)
∂v
∂y
(x, y),
∂h 2
∂x
(x, y) =
∂g 2
∂u
(u, v)
∂u
∂x
(x, y) +
∂g 2
∂v
(u, v)
∂v
∂x
(x, y),
∂h 2
∂y
(x, y) =
∂g 2
∂u
(u, v)
∂u
∂y
(x, y) +
∂g 2
∂v
(u, v)
∂v
∂y
(x, y)
donde u = f 1 (x, y) y v = f 2 (x, y).
Tal vez resulte ´util y m´as sencillo de memorizar atender al esquema siguiente. Si la
situaci´on es la misma que antes, tenemos
(x, y) (u, v) (z, w)
y las derivadas se obtienen de la forma
∂z
∂x
(x, y) =
∂z
∂u
(u, v)
∂u
∂x
(x, y) +
∂z
∂v
(u, v)
∂v
∂x
(x, y),
∂z
∂y
(x, y) =
∂z
∂u
(u, v)
∂u
∂y
(x, y) +
∂z
∂v
(u, v)
∂v
∂y
(x, y),
y las f´ormulas an´alogas para las parciales en x e y de la segunda componenente w.
Un ´ultimo caso particular de la Regla de la cadena:
f : R → R
2 , g : R
2 → R
2
2.4 Problemas de funciones vectoriales.
- Determina una representaci´on param´etrica de cada uno de los siguientes conjuntos:
(a) La recta que pasa por (1, 2 , 1) en la direcci´on del vector (1, − 1 , 2).
(b) El segmento de extremos (2, 0 , 4) y (1, 0 , 6).
(c) El segmento de extremos (1, 0) y (0, 1).
(d) La recta x + y = 2.
(e) La circunferencia de radio 2 y centro en (2, 0).
(f) La circunferencia de ecuaci´on (x − 2)
2
2 = 1.
(g) La elipse de ecuaci´on
x− 1 2
y− 1 4
(h) El arco de la par´abola y = (x − 1)
2 comprendido entre el punto (0, 1) y el punto
(i) La curva de ecuaci´on y = e
x .
(j) La recta de ecuaciones {
x + y + z = 1,
x = y.
- Calcula la recta tangente a la h´elice circular de ecuaci´on h(t) = (cos t, sen t, t) en
los puntos
(a) h(
π 4
(b) (1, 0 , 0).
(c) h(
π 2
- Sea f (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) donde f 1 (x, y) = x + y y la funci´on f 2 (x, y) viene
dada por f 2 (x, y) =
x+y √ x^2 +y^2
cuando (x, y) 6 = (0, 0) y f 2 (0, 0) = 0. Estudia su
continuidad y su diferenciabilidad.
- Sea f : R
3 → R
2 definida de la forma f (x, y, z) = (x cos z, ye
x ).
(a) Demuestra que f (x, y, z) es diferenciable en todo R
3 .
(b) Calcula su matriz Jacobiana.
(c) Halla la diferencial de f (x, y, z) en el punto (0, 1 , 0).
- Sean f : R
2 → R
2 y g : R
2 → R definidas de la forma
f (x, y) = (y + cos x, x + e
y ), g(t, u) = t + u.
(a) Calcula las matrices Jacobianas de f y g. ¿D´onde son diferenciables cada una
de estas funciones?
(b) Calcula la diferencial de g ◦ f en el punto (0, 0).
(c) Halla la derivada direccional de g ◦ f en el punto (0, 0) seg´un la direcci´on del
vector ( √^2 5
−√ 1 5
- Sea f (x, y, z) = (sen(xy + z), (1 + x
2 )yz) y sea g(u, v) = (u + e
v , v + e
u ).
(a) Comprueba que f (x, y, z) es diferenciable en (1, − 1 , 1) y que g(u, v) lo es en
(b) Calcula Jf (1, − 1 , 1) y Jg(0, −2).
(c) Determina la diferencial d(g ◦ f )(1, − 1 , 1).
- Sean f (x, y) = (e
x+2y , sen(x + 2y)) y g(u, v, t) = (u + 2v
2
3 , 2 v − u
2 ).
(a) Calcula las matrices jacobianas de f y g en cada punto de R
2 y R
3 respectiva-
mente.
(b) Calcula la matriz jacobiana de f ◦ g en el punto (1, − 1 , 1).
- Sean f (x, y) = (y
2
2
y ) y g(x, y) = x + y.
(a) Demuestra que f y g son diferenciables en todo R
2 .
(b) Sea h = g ◦ f. Calcula dh(0, 0).
(c) Calcula la derivada direccional de h en el punto (0, 0) seg´un la direcci´on del
vector (2, 1).
(d) Calcula la derivada direccional m´axima de h en el punto (0, 0).
(e) Demuestra que la ecuaci´on h(x, y) − 2 = 0 define a y como funci´on impl´ıcita
de x en un entorno de (0, 0).
