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Calculo Integrales, bastente bien explicado
Tipo: Ejercicios
1 / 56
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A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
CIENCIASCIENCIAS
J Doc Doc I
Fco Javier Gonz´alez Ortiz
Tabla de Contenido Inicio Art´ıculo
© c 2004 [email protected] 18 de junio de 2004 Versin 1.
A
s = B + m v
r = A + l u
B
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Integrales
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Tabla de Contenido
A
s = B + m v
r = A + l u
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Secci´on 1: Primitiva de una funci´on 4
Ejemplo 1.3. Comprobar que F (x) = x^4 , G(x) = x^4 + 5 y H(x) = x^4 − 3 son primitivas de f (x) = 4x^3. Soluci´on: Comprobamos que F ′(x) = G′(x) = H′(x) = f (x). En efecto F (x) = x^4 =⇒ F ′(x) = 4x^3 = f (x) G(x) = x^4 + 5 =⇒ G′(x) = 4x^3 = f (x) H(x) = x^4 − 3 =⇒ H′(x) = 4x^3 = f (x) Estos ejemplos nos muestran que una funci´on puede tener m´as de una prim- itiva. En realidad tiene infinitas. Nos preguntamos ¿qu´e relaci´on hay entre ellas?. La respuesta nos la da el siguiente teorema Teorema 1.1. Sean F (x) y G(x) dos primitivas de la funci´on f (x) entonces existe una constante C con F (x) = G(x) + C (2)
Soluci´on: Definimos la funci´on H(x) = F (x) − G(x). Se tiene que H′(x) = F ′(x) − G′(x) = f (x) − f (x) = 0 como H′(x) = 0, la funci´on H(x) es una constante C. Luego F (x) − G(x) = C y por tanto F (x) = G(x) + C
A
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Secci´on 1: Primitiva de una funci´on 5
1.1. Notaci´on de la integral indefinida La notaci´on utilizada para referirnos a la primitiva o integral indefinida de una funci´on f se debe a Leibniz. Siendo f una funci´on de x, escribimos la primitiva de f como (^) ∫ f (x)dx
y representa la funci´on cuya derivada es f (x). Fijarse en los detalles f (x) es el integrando el s´ımbolo dx es la diferencial de x, y x es la variable de integraci´on. Puesto que una primitiva∫ F de f en la variable x se va a expresar F (x) = f (x)dx, se tiene
F ′(x) = f (x) =⇒ (^) dxd
f (x)dx = f (x)
Test. La derivada de la funci´on F (x) =
(1 + x^2 )dx es
(a) 1 + x^2 (b) 0
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Secci´on 1: Primitiva de una funci´on 7
Teorema 1.4. (Regla de la potencia) Sea a ∈ R cualquier n´umero real dis- tinto de −1, ∫ xadx = x
a+ a + 1 a^6 =^ −^1 (5)
Soluci´on: Es inmediata, pues, d dx
xa+ a + 1 =^ x
a
Ejercicio 1. Calcular las integrales.
a)
x^2 dx b)
7 x^4 dx c)
x−^2 dx
Ejercicio 2. Calcular las integrales.
a)
x−^5 /^2 dx b)
x^5 dx c)
(3x−^5 + 8x^10 )dx
Ejercicio 3. Calcular las integrales.
a)
∫ (^1) − x 3 x^2 dx^ b)
∫ (^) 2 + x 2 √x dx c)
∫ (^) x − x 3 / 2 √ (^5) x dx
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Secci´on 2: Integrales B´asicas 8
Integrales B´asicas ∫ sen x dx − cos x + C
cos x dx sen x + C ∫ (1 + tan^2 x) dx tan x + C
sec^2 x dx tan x + C ∫ ex^ dx ex^ + C
ax^ dx (^) ln^1 a ax^ + C ∫ (^1) x dx^ ln^ x^ +^ C
1 + x^2 dx^ arctan^ x^ +^ C ∫ (^1) √ 1 − x^2 dx arc sen x + C
1 − x^2 dx arc cos x + C
Es relativamente f´acil aprenderse las primitivas b´asicas si se sabe derivar con cierta fluidez.
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Secci´on 3: M´etodos de Integraci´on 10
Para el nivel de este curso solo consideramos los casos en que el denomi- nador sea un polinomio de grado 1 o bien un polinomio de grado 2. Los casos inmediatos son: (^) ∫ 1 ∫ x dx^ = ln(x) +^ C 1 1 + x^2 dx^ = arctan^ x^ +^ C todos los dem´as casos se reducen en la pr´actica a estos, es decir la primitiva ser´a con peque˜nas variantes una suma de logaritmos y arcotangente.
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Secci´on 3: M´etodos de Integraci´on 11
2 x + 1 dx^ =
∫ 2 ln(2x^ + 1) +^ C 7 3 x + 5 dx^ =
3 x + 5 dx^ =
3 ln(3x^ + 5) +^ C El caso general es sencillo ∫ c a x + b dx^ =^
c a ln(a x^ +^ b) +^ C Si el numerador es de grado igual o mayor que el denominador, se divide:
Ejemplo 3.1. Hallar
∫ (^) x 2 x + 1 dx Soluci´on: Como Gra(x^2 ) ≥ Gra(x + 1) se divide: x^2 x + 1 =^ x^ −^ 1 +^
∫ x^ + 1 x^2 x + 1 dx^ =
(x − 1) dx +
x + 1 dx = 12 x^2 − x + ln(x + 1) + C
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Secci´on 3: M´etodos de Integraci´on 13
Ejemplo 3.3. Hallar
∫ (^8) x x^2 − 4 dx Soluci´on: Se descompone en factores el denominador, x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2) y el integrando en fracciones simples, es decir
8 x x^2 − 4 =^
x − 2 +^
x + 2 =⇒^
8 x x^2 − 4 =^
A(x + 2) + B(x − 2) x^2 − 4
Se quitan denominadores y se tiene que cumplir la identidad 8 x = A(x + 2) + B(x − 2) Se dan valores a x. Las ra´ıces de los factores facilitan el c´alculo Para x = 2 =⇒ 16 = 4A =⇒ A = 4 Para x =∫ − 2 =⇒ −16 = − 4 B =⇒ B = 4 8 x x^2 − 4 dx^ =
x − 2 dx^ +
x + 2 dx = 4 ln(x − 2) + 4 ln(x + 2) + C
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Ejercicio 7. Calcular las integrales.
a)
∫ (^) x (^2) + 1 x + 2 dx b)
∫ (^) x (^3) + x + 2 x + 3 dx c)
∫ (^) x (^2) + 5 x + 1 x + 1 dx
Ejercicio 8. Calcular las integrales.
a)
1 + x^2 dx b)
∫ (^2) x + 1 1 + x^2 dx c)
∫ (^3) x − 5 1 + x^2 dx d )
∫ (^) x − 7 1 + x^2 dx
Ejercicio 9. Hallar
∫ (^8) x − 21 x^2 − 5 x + 6 dx
Ejercicio 10. Hallar
∫ (^3) x − 1 x^2 − x dx
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Ejemplo 3.4. Calcular por cambio de variable ∫ (^) √ 3 x − 1 dx
Soluci´on: Con una ra´ız cuadrada es frecuente igualar el radicando a t^2. As´ı pues, 3 x − 1 = t^2 3 dx = 2 t dt =⇒ dx =^23 t dt
La t´ecnica consiste en sustituir la variable x en funci´on de la variable t y la dx por la dt. (^) ∫ √ 3 x − 1 dx =
t^2 23 t dt
= (^23)
t^2 dt
= 2313 t^3 =^29 t^3 + C
= 29 (
3 x − 1)^3 + C
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Ejemplo 3.5. Calcular por cambio de variable
ex^ + e−x^ dx Soluci´on: Efectuamos el cambio de variable ex^ = t Ya que ex^ dx = dt =⇒ dx =^1 t dt la integral buscada queda ∫ (^1) ex^ + e−x^ dx^ =
t + t−^1
t dt^ =
t^2 + 1 dt = arctan t + C = arctan ex^ + C
Ejemplo 3.6. Calcular por cambio de variable
∫ (^) ex 1 + e^2 x^ dx Soluci´on: Efectuamos el cambio de variable ex^ = t
ex^ dx = dt =⇒ dx =^1 t dt
la integral buscada queda ∫ (^) ex 1 + e^2 x^ dx^ =
∫ (^) t 1 + t^2
t dt^ =
1 + t^2 dt = arctan t + C = arctan ex^ + C
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Secci´on 3: M´etodos de Integraci´on 19
3.3. Integraci´on por Partes Sean dos funciones en x, u(x) y v(x) si designamos du = (^) dx^1 u(x) dv = (^) dx^1 v(x)
Por la derivada de un producto se tiene d dx (u v) =^ v du^ +^ u dv ahora, integrando la expresi´on anterior ∫ (^) d dx (u v) =
v du +
u dv
como
∫ (^) d dx (u v) =^ u v^ y despejando uno de los sumandos de la expresi´on
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Secci´on 3: M´etodos de Integraci´on 20
Ejemplo 3.7. Calcular por partes ∫ x sen x dx
Soluci´on:
u = x dv = sen x dx du = dx v = − cos x
x sen x dx = −x cos x +
cos x dx = −x cos x + sin x + C
Ejemplo 3.8. Calcular por partes ∫ ln x dx
Soluci´on:
u = ln x dv = dx du =^1 x dx v = x
ln x dx = x ln x −
x dx = x ln x − ln x + C
