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Tema 5
Integral Indefinida
5.1 Introducci´on
Dedicaremos este tema a estudiar el concepto de Integral Indefinida y los m´etodos m´as
habituales para calcular las integrales indefinidas. De una manera intuitiva podr´ıa decirse
que la integraci´on (indefinida) es la operaci´on contraria a la derivaci´on.
5.2 Conceptos Generales
Definici´on. Se denomina primitiva de la funci´on f (x) en un intervalo (a, b) a toda
funci´on F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F ′(x) = f (x).
Ejemplos:
La funci´on F (x) = x^3 + 5 es una primitiva de la funci´on f (x) = 3x^2 , para todo x ∈ R.
La funci´on G(x) = √ 1 −−xx 2 es una primitiva de g(x) =
1 − x^2 en el intervalo (− 1 , 1).
La funci´on H(x) = (^) cos^12 x es una primitiva de h(x) = tan x en el intervalo (− π 2 , π 2 ). (Nota: tambi´en lo es en cada uno de los dem´as intervalos de definici´on de la funci´on tangente, pero no de manera global en toda la recta real).
Dos propiedades importantes que verifican las primitivas de una funci´on dada f (x) son
las siguientes:
1) Si F (x) es una primitiva de f (x) en (a, b), entonces la funci´on G(x) = F (x) + C,
con C ∈ R constante, tambi´en lo es en (a, b). La demostraci´on es evidente: G′(x) =
F ′(x) + 0 = f (x), ∀x ∈ (a, b).
2) Si F (x) y G(x) son primitivas de f (x) en (a, b), entonces su diferencia es una constante:
F (x) − G(x) = C, ∀x ∈ (a, b). La demostraci´on de esta propiedad no es tan sencilla
como la anterior y requiere el uso del Teorema del valor medio:
Demostraci´on: Sea h(x) = F (x) − G(x), ∀x ∈ (a, b). Obviamente: h′(x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Sea [x 1 , x 2 ] ⊂ (a, b) cualquier subintervalo cerrado de (a, b). Aplicamos en [x 1 , x 2 ]
el Teorema del valor medio, por ser h(x) continua en [x 1 , x 2 ] y derivable en (x 1 , x 2 ), existe c ∈ (x 1 , x 2 ) tal que:
0 = h′(c) = h(x 2 ) − h(x 1 ) x 2 − x 1 ⇒^ h(x^1 ) =^ h(x^2 )
y en consecuencia h(x) es una funci´on constante en (a, b)..
Definici´on. Llamaremos integral indefinida de una funci´on f (x) en un intervalo (a, b)
al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con
la notaci´on habitual:
f (x) dx. La funci´on f (x) recibe el nombre de integrando.
Las dos propiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f (x) en
(a, b), F (x), para conocer la totalidad de ellas, y as´ı tendremos:
f (x) dx = F (x) + C
para cualquier constante real C. (Nota: es habitual no especificar el intervalo en el que
se definen las primitivas, se sobreentiende que siempre es en un abierto en el que F (x)
sea derivable.)
Propiedades. De la definici´on de integral indefinida se deducen de manera trivial las
siguientes propiedades:
(f (x) + g(x)) dx =
f (x) dx +
g(x)dx
kf (x) dx = k
f (x) dx
d
dx
f (x) dx
= f (x)
f ′(x) dx = f (x) + C.
Si recordamos la notaci´on habitual de la diferencial de una funci´on: df (x) =
f ′(x) dx, es habitual escribir esta propiedad en la forma:
f ′(x) dx =
d(f (x)) = f (x) + C
5.3 Integrales B´asicas o Inmediatas
Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el inte-
grando la derivada de una funci´on conocida. Evidentemente no se trata de un concepto
matem´atico riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las integrales b´asicas
m´as habituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas o inmediatas a las
siguientes:
a menudo es aconsejable realizar el siguiente cambio:
f ′(x)g(f (x)) dx =
f (x) = t
f ′(x)dx = dt
g(t) dt
No existen m´etodos generales que nos indiquen qu´e cambio de variable es el ideal para
una integral cualquiera, sin embargo en muchos casos s´ı que es posible encontrar un
cambio sencillo que nos convierta una integral dada en una de las que hemos considerado
inmediatas.
Ejemplos 1: Las siguientes integrales son “convertibles” en inmediatas mediante un cambio
de variable muy sencillo: ∫ dx 2 x + 3
(x − 2)^4 dx ,
e x 2 dx
En la primera integral el cambio es: 2x+3 = t, es decir: x = 12 (t−3). Evidentemente: dx = 12 dt, y as´ı: (^) ∫ dx 2 x + 3
=^1
dt t
=^1
ln |t| + C =^1 2 ln | 2 x + 3| + C
Para la segunda tendremos: x − 2 = t ⇒ x = t + 2 ⇒ dx = dt. ∫ (x − 2)^4 dx =
t^4 dt =
t^5 + C =
(x − 2)^5 + C
Finalmente la tercera se convierte en inmediata con el cambio: x 2 = t ⇒ x = 2t ⇒ dx = 2 dt. ∫ e x^2 dx = 2
et^ dt = 2et^ + C = 2e x^2 + C
Ejemplos 2: A veces el cambio de variable no es tan trivial, pero tras un breve an´alisis resulta
“casi-evidente”. Calculemos las siguientes integrales:
I 1 =
∫ (^) x x^2 + 1 dx , I 2 =
cos x esen^ x^ dx , I 3 =
∫ (^) ln x x dx
Para el primer caso, el cambio de variable: x^2 + 1 = t nos lleva a que: x dx = 12 dt, y as´ı:
I 1 =
dt t =
2 ln^ |t|^ +^ C^ =
2 ln(x
2 + 1) + C
En la segunda integral cambiamos: sen x = u ⇒ cos x dx = du:
I 2 =
eu^ du = eu^ + C = esen^ x^ + C
Finalmente, I 3 se convierte en inmediata con el cambio: ln x = z ⇒ dxx = dz:
I 3 =
z dz =
2 z
2 + C =^1
2 ln
(^2) x + C
Comentario: En todos los casos se observa la pauta antes comentada, dentro del integrando se
identifica una funci´on concreta y su derivada aparece como factor multiplicando al resto: en la segunda integral aparece la funci´on seno en el exponente y su derivada, la funci´on coseno,
multiplicando al resto del integrando; en la tercera tenemos el logaritmo neperiano y la funci´on 1 x multiplicando.^ Finalmente en la primera tenemos la funci´on^ x (^2) + 1 en el denominador y
como factor multiplicativo la funci´on x, que es esencialmente (salvo un factor constante de 2) la
derivada de la anterior.
- Integraci´on por partes
El m´etodo de integraci´on por partes est´a basado en la regla de derivaci´on de un producto
de dos funciones derivables. Recordemos, en forma diferencial:
d(f (x)g(x)) = (f (x)g(x))′^ dx = f ′(x)g(x) dx + f (x)g′(x) dx
De esta manera:
f (x)g(x) + C =
(f (x)g(x))′^ dx =
f ′(x)g(x) dx +
f (x)g′(x) dx
Tradicionalmente se escribe u y v para denotar las dos funciones, de manera que la
f´ormula de integraci´on por partes aparece habitualmente escrita en la forma:
u dv = uv −
v du
donde se ha obviado la constante aditiva, adem´as de despejarse una de las integrales
en funci´on de la otra, para poner de manifiesto la utilidad del m´etodo. Se trata de
convertir una integral dada (que identificamos con
udv) en una funci´on conocida (el
t´ermino uv) menos una nueva integral (
vdu), con la esperanza de que esta segunda
resulte m´as f´acil de resolver que la original. Evidentemente la aplicaci´on exitosa del
m´etodo requiere adem´as que sepamos derivar la funci´on que identificamos como u e
integrar la que tomamos como derivada de v.
Ejemplo: Calculemos la siguiente integral:
I =
x ex^ dx
Realizamos las siguientes identificaciones: dv = ex^ dx, u = x. Tendremos as´ı: du = dx y v = ex^ + C. En este punto es interesante comentar que podemos escoger una funci´on primitiva cualquiera para especificar v, es decir la f´ormula de integraci´on por partes se verificar´a para cualquier valor de C, por simplicidad tomaremos entonces C = 0, y por tanto: v = ex:
I =
x ex^ dx =
dv = ex^ dx; v = ex u = x; du = dx
= ex^ x −
ex^ dx = ex^ x − ex^ + C = ex(x − 1) + C
3.1 El denominador posee ra´ıces reales simples:
Q(x) = (x − a 1 )(x − a 2 )... (x − ar)
En tal caso se descompone el cociente en fracciones simples:
P (x)
Q(x)
A 1
x − a 1
Ar
x − ar
calcul´andose los coeficientes Ai. Es interesante recordar que la descomposici´on en frac-
ciones simples escrita siempre es posible, y adem´as tiene soluci´on ´unica. La integral
(gracias a la linealidad) queda reducida a una combinaci´on lineal de integrales de la
forma: ∫
A
x − a
dx = A ln |x − a| + C
Ejemplo: Calculemos la integral:
x + 1 x^2 + 3x − 4 dx
Es evidente que el denominador tiene dos ra´ıces reales diferentes:
x^2 + 3x − 4 = (x − 1)(x + 4) ⇒ x^ + 1 x^2 + 3x − 4
= A
x − 1
+ B
x + 4
y as´ı: x + 1 = A(x + 4) + B(x − 1). Se concluye f´acilmente que: A = 25 y B = 35. Finalmente: ∫ x + 1 x^2 + 3x − 4 dx =
ln |x − 1 | +
ln |x + 4| + C
3.2 El denominador tiene ra´ıces reales m´ultiples: Supongamos que Q(x) tiene r ra´ıces
reales: a 1 ,... , ar, con multiplicidades α 1 ,... , αr, respectivamente. Es decir:
Q(x) = (x − a 1 )α^1 (x − a 2 )α^2... (x − ar)αr
Para cada una de las ra´ıces ai, tendremos los siguientes sumandos en la expansi´on en
fracciones simples de la funci´on:
Ai 1
(x − ai)^1
Ai 2
(x − ai)^2
Aiαi
(x − ai)αi
De esta manera, la integral quedar´a reducida a una combinaci´on lineal de las integrales
comentadas en el apartado anterior m´as las de la forma:
A
(x − a)n^
dx =
−A
(n − 1)(x − a)n−^1
+ C
con n ≥ 2.
3.3 El denominador posee ra´ıces complejas simples:
Dado que si c = a + bi es ra´ız de Q(x), entonces su conjugado: ¯c = a − bi, tambi´en
lo es, podemos agrupar las ra´ıces complejas dos a dos ((x − c)(x − ¯c) = x^2 + px + q), y
as´ı ser´a posible escribir Q(x) de la forma:
Q(x) = (x^2 + p 1 x + q 1 )... (x^2 + prx + qr)
(es decir utilizando ´unicamente coeficientes reales). La descomposici´on en fracciones
simples es:
P (x)
Q(x)
A 1 x + B 1
x^2 + p 1 x + q 1
Arx + Br
x^2 + prx + qr
La integral queda reducida a integrales de la forma:
Ax + B
x^2 + px + q
dx
Completando cuadrados, es posible escribir:
x^2 + px + q = (x − a)^2 + b^2
y utilizando el cambio: x − a = b t, se obtiene:
Ax + B
x^2 + px + q
dx =
M t + N
t^2 + 1
dt =
M
ln(t^2 + 1) + N arctan t + C
Deshaciendo el cambio de variables, se concluye.
Comentario: Es evidente que el denominador de una funci´on racional puede tener si-
mult´aneamente ra´ıces reales (simples o m´ultiples) y ra´ıces complejas, ver el siguiente
ejemplo.
Ejemplo: Calcular la integral:
I =
x^2 + 3
(x + 2)^2 x(x^2 + 3x + 4)
dx
Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es mayor que el del denominador. Se tienen dos ra´ıces (del denominador) reales: x = −2 (de multiplicidad dos), y x = 0 (de mul- tiplicidad uno), y dos ra´ıces complejas simples, x = − 32 ± i
- La descomposici´on en fracciones simples de la funci´on racional ser´a:
x^2 + 3 (x + 2)^2 x(x^2 + 3x + 4)
A
x + 2
B
(x + 2)^2
C
x
Dx + E x^2 + 3x + 4
Tras un breve (o semi-breve) c´alculo se obtiene:
A = − 3 4
; B = − 7
; C = 3
; D = 9
; E =^31
Efectuando, como en el apartado anterior, el cambio x − a = b t, dicha integral se reduce
a: ∫
M t + N
(t^2 + 1)n^
dt = M
t
(t^2 + 1)n^
dt + N
dt
(t^2 + 1)n
La primera integral del segundo miembro se integra f´acilmente mediante el cambio de
variable u = t^2 + 1. En cuanto a la segunda, se puede utilizar una f´ormula recurrente de
c´alculo (que se demuestra integrando por partes, ver ejemplo). Llamando:
In =
dt
(t^2 + 1)n
se tiene:
In =
t
2(n − 1)(t^2 + 1)n−^1
2 n − 3
2 n − 2
In− 1
Como I 1 = arctan t, se concluye.
Ejemplo: Comprobemos la f´ormula de recurrencia anterior para el caso I 2 :
I 1 =
dt t^2 + 1 = arctan t + C ; I 2 =
dt (t^2 + 1)^2
Apliquemos el m´etodo de integraci´on por partes a la integral I 1 :
I 1 =
dt t^2 + 1 =
u = (^) t (^21) +1 ⇒ du = (^) (−t (^22) +1)t dt 2 dv = dt ⇒ v = t
t t^2 + 1 +
2 t^2 dt (t^2 + 1)^2
= t t^2 + 1
dt t^2 + 1
dt (t^2 + 1)^2
t t^2 + 1
+ 2I 1 − 2 I 2
Tenemos por tanto:
I 1 = t t^2 + 1
+ 2I 1 − 2 I 2 ⇒ I 2 =
t 2(t^2 + 1)
I 1
que coincide exactamente con lo indicado por la f´ormula anterior. No es dif´ıcil generalizar este c´alculo al caso general con In e In− 1. De esta forma, utilizando el Principio e Inducci´on, queda demostrada la f´ormula de recurrencia.
- Integraci´on de irracionales cuadr´aticas I
Son las integrales de la forma
R(x, y) dx, donde R es una funci´on racional e y =
ax^2 + bx + c (evidentemente se supone que el polinomio cuadr´atico no es un cuadrado
perfecto). Existen esencialmente dos m´etodos para resolver estas integrales. Estudia-
remos en primer lugar los cambios de variable de Euler, que permiten convertir toda
integral irracional cuadr´atica en una integral racional.
La idea de los cambios de Euler es de tipo geom´etrico: la expresi´on
y^2 = ax^2 + bx + c
puede interpretarse como la ecuaci´on de una c´onica en el plano x − y. Si (x 0 , y 0 ) es un
punto de dicha c´onica, entonces el cambio de variables: y − y 0 = t(x − x 0 ), convierte la
integral en una de tipo racional y, en consecuencia, se resuelve seg´un el apartado 3.
Seg´un sean los signos de las constantes, puede elegirse el punto (x 0 , y 0 ) de formas
especialmente sencillas. Tenemos as´ı varios casos:
i) De manera general, si c > 0, la c´onica corta al eje y en los puntos: (x 0 , y 0 ) =
c). Tenemos entonces el cambio posible: y−
c = tx ⇒
ax^2 + bx + c−
c = tx.
Alternativamente podemos tomar:
ax^2 + bx + c +
c = tx.
ii) Siempre que a sea positivo (la c´onica ser´a una hip´erbola), es posible realizar un
cambio diferente:
ax^2 + bx + c + x
a = t, que tambi´en convierte a la integral en
racional. Alternativamente tambi´en es v´alido el cambio:
ax^2 + bx + c − x
a = t.
iii) Si a < 0, entonces el polinomio cuadr´atico debe tener necesariamente dos ra´ıces
reales (en caso contrario la integral no tendr´ıa sentido, pues el radicando ser´ıa siempre
negativo). En este caso: ax^2 + bx + c = a(x − r 1 )(x − r 2 ). Podemos entonces tomar como
punto de la c´onica el (r 1 , 0) o bien el (r 2 , 0). Se tiene as´ı:
ax^2 + bx + c = t(x − r 1 ) o
bien
ax^2 + bx + c = t(x − r 2 ).
Nota 1: Es necesario precisar que los casos anteriormente expuestos no son excluyentes, de esta forma muchas integrales podr´an resolverse alternativamente de varias formas, sin que exista a
priori un criterio claro que nos permita establecer cu´al de ellos va a resultar m´as sencillo.
Nota 2: Aunque los cambios de Euler pueden aplicarse directamente a cualquier integral irra- cional cuadr´atica, en algunos casos es interesante aplicar antes el siguiente resultado:
Proposici´on: Toda integral irracional puede escribirse de la forma ∫ R(y, x) dx =
R 1 (x) y dx +
R 2 (x) dx
siendo R 1 y R 2 dos funciones racionales de x. Demostraci´on: Escribamos R(y, x) expl´ıcitamente como cociente de polinomios: R(y, x) = P (y,x) Q(y,x). Multipliquemos a continuaci´on el numerador y el denominador por:^ y Q(−y, x):
R(y, x) = y P (y, x) Q(−y, x) y Q(y, x) Q(−y, x)
Ahora bien, Q(y, x) Q(−y, x) es un polinomio par en y, as´ı pues es un polinomio simplemente en y^2 , y en definitiva es un polinomio en x. Por su parte, w P (y, x) Q(−y, x) es un polinomio en y, necesariamente lineal (puesto que y^2 es un polinomio en x), de tal forma que podemos escribir: y P (y, x) Q(−y, x) = a(x)y + b(x). Reorganizando estos resultados, queda demostrada la proposici´on:
R(y, x) = R 1 (x) y
Q.E.D.
completar cuadrados en el radicando y realizar el cambio de variable ya descrito en el
apartado 3, de manera que la ra´ız terminar´a reduci´endose necesariamente a uno de los
siguientes casos: √
1 − x^2 ,
1 + x^2 ,
x^2 − 1
Tenemos entonces los siguientes cambios que eliminan las ra´ıces:
i) Para integrales de la forma:
R(x,
1 − x^2 )dx, se hace: x = sen t, ´o x = cos t.
ii) Para integrales de la forma:
R(x,
1 + x^2 )dx, se tiene: x = tan t, ´o x = senh t.
iii) Para integrales de la forma:
R(x,
x^2 − 1)dx, se tiene: x = sec t, ´o x = cosh t.
De manera general estos cambios convertir´an la integral en una de tipo trigonom´etrico,
que veremos en el apartado siguiente.
Ejemplo: Calculemos la integral:
I =
x^2 + 2x − 3 dx
Completando cuadrados podemos escribir: x^2 + 2x − 3 = x^2 + 2x + 1 − 1 − 3 = (x − 1)^2 − 4. Realizamos por tanto el cambio:
x − 1 = 2u ⇒ dx = 2 du ;
x^2 + 2x − 3 =
4 u^2 + 4 = 2
u^2 − 1
Usaremos el cambio del coseno hiperb´olico, recordemos que: cosh^2 t − senh^2 t = 1,
I = 2
u^2 − 1 du =
u = cosh t du √ = senh t dt u^2 − 1 = senh t
senh^2 t dt
Esta integral es f´acil por partes, obteni´endose:
I = − t 2
senh t cosh t + C =
− arccosh u + u
u^2 − 1
+ C
Finalmente:
I =
arccosh
x − 1 2
(x − 1)
x^2 + 2x − 3 4
- Integraci´on de funciones trigonom´etricas
Son las integrales de la forma
R(sen x, cos x) dx, siendo R una funci´on racional. Existe
un cambio general que convierte a cualquier integral de este tipo en una integral racional:
t = tan
( x
2
. Usando las identidades trigonom´etricas es f´acil comprobar que este cambio
se traduce en las siguientes sustituciones:
dx =
2 dt
1 + t^2
, sen x =
2 t
1 + t^2
, cos x =
1 − t^2
1 + t^2
No obstante, en algunos casos especiales, hay otros cambios de variable que tambi´en
reducen la integral a una integral racional, con frecuencia m´as sencilla que la que se
obtiene con el cambio anterior. Son los siguientes:
i) Si R es una funci´on impar en sen x, es decir: R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), se
resuelve con el cambio: cos x = t.
ii) Si R es una funci´on impar en cos x, es decir: R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), se
resuelve con el cambio: sen x = t.
iii) Si R es una funci´on par en sen x y en cos x, es decir: R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x),
se resuelve con el cambio: tan x = t. Este cambio implica las siguientes sustituciones:
cos x =
1 + t^2
, sen x =
t
1 + t^2
, dx =
1 + t^2
dt
Ejemplo: Calculemos la integral:
I =
sen^2 x 1 + cos x dx
Dado que el integrando no es impar ni en seno ni en coseno, y adem´as tampoco es par en seno y coseno, recurriremos al cambio general: t = tan x 2 :
I =
∫ 4 t^2 (1+t^2 )^2
2 dt 1+t^2 1 + (^1) 1+−tt^22
4 t^2 (1 + t^2 )^2 dt
integral racional con ra´ıces complejas m´ultiples (en este caso dobles). Separando en fracciones simples: 4 t^2 (1 + t^2 )^2
At + B 1 + t^2
Ct + D (1 + t^2 )^2
es trivial comprobar que la soluci´on es: A = C = 0, B = 4, D = −4, y as´ı:
I = 4
∫ (^) dt 1 + t^2
∫ (^) dt (1 + t^2 )^2 = 4 arctan t − 4 I 2
siendo I 2 la integral que nos proporciona la f´ormula de recurrencia antes analizada. Tendremos entonces:
I = 2 arctan t − 2 t t^2 + 1
tan x 2
2 tan x 2 tan^2 x 2 + 1
+ C
Utilizando las identidades trigonom´etricas b´asicas:
tan^2 x 2 + 1 =^
cos^2 x 2 ,^ sen^ x^ = 2 sen^
x 2 cos^
x 2
encontramos finalmente el resultado simplificado:
I = x − sen x + C
