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Tipo: Ejercicios
1 / 21
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Trabajo practico I
Estudiante:
Nombre: Vicente Zapata.
Matrícula: 44675.
Carrera: Ingeniería Electromecánica.
Curso: 3er Curso.
Materia: Calculo Numérico.
Profesor: Ing. Hugo Franco.
determinar
a) Error Relativo.
b) Error Porcentual.
A
a) E
R
A
x
x =3, E
R
− 3
b)
p
R
p
valor probable de 1,85 m, determinar el: a) Error Relativo, b) Error Absoluto.
Eporc = 4 % a) Eporc = Erelat × 100
x =1,85 m Erelat =0,
b) Erelat =
Eabs
x
Eabs =0,
cual de los dos se produce mayor error. Justifique su respuesta.
Para x = 5 kg
Eabs =0,02 kg Eporc = Erelat × 100
Erelat =
Eabs
− 3
Eporc =0,4 %
Para x =0,09 kg
Eabs =0,0021 kg Eporc = Erelat × 100
Erelat =
Eabs
Eporc =2,3 %
x =
b ×h
=481,112 cm
2
x =
b ×h
=481,202 cm
2
Eabs = x − x =0,
Erelat =
Eabs
x
− 4
Eporc = Erelat × 100 =0,0187 %
Perímetro.
x = b × 3 =99,999 cm
x = b × 3 =100,008 cm
Eabs = x − x = 9 × 10
− 3
Erelat =
Eabs
x
− 5
Eporc = Erelat × 100 = 9 × 10
− 3
operaciones, manteniendo tres dígitos significativos en la suma.
a) x + y , b) x +0,1 y , c) x +0,01 y. Determine los errores y magnitudes de los mismos y
su incidencia en los resultados.
a) x + y =3,32+5,39=8,
b) x +0,1 y =3,32+0,1 ( 5,39)=3,
c) x +0.01 y =3,32+0,01 ( 5,39)=3,
3
−6,1 x
2
+3,2 x +1,5en
x =4, usando aritmética de cómo flotante
con tres dígitos. Computar los resultados haciendo truncamiento y redondea.
Calcular el error relativo en cada caso considerando como valor exacto
f ( 4,71)=−14,263899.
f
x
= x
3
−6,1 x
2
+3,2 x +1,
Para x =4,
f ( 4,71)=−14,263899 Por redondeo
¿−0,143 × 10
2
Por truncamiento
¿−0,142 × 10
2
Error por Truncamiento.
Eabs =
2
Erelat =
2
− 3
Eporc =0,44999%
Error por Redondeo.
Eabs =(−14,263899)−(−0,143 × 10
2
Erelat =
2
− 3
Eporc =0,2524 %
decimales exactos analizando previamente cuantos decimales deben tomarse por
cada factor.
a)
1,3134 × π =1,3134 × 3,1415=4,125.
b)0,3761 ×e =0,3761 × 2,7182=0,376 × 2,718=1,022.
c) e × π =2,718 × 3,142=8,540.
operaciones siguientes, donde x =2,00 , y =3,00 , z =4,00han sido
correctamente redondeados.
a)
f ( x )= 3 x + y + z
para el volumen del cuerpo y para la superficie de sus caras?
a = 3 cm
a = a + E
Aa
= 3 ± 0,5 cm
b = 4 cm
b = b + E
Ab
= 4 ± 0,5 cm
c = 5 cm
c = c + E
Ac
= 5 ± 0,5 cm
Para determinar las cotas:
V ≤ 86,625 cm
3
Cota superior
V ≥ 39,375 cm
3
Cota inferior
Superficie ac:
Cota Superior: A =( 3 +0,5)( 5 + 0,5)
A ≤ 19,25 cm
2
Cota Inferior: A =( 3 −0,5)( 5 −0,5)
A ≥ 11,25 cm
2
Superficie bc:
Cota Superior: A =( 4 +0,5)¿
A ≤ 24,75 cm
2
Cota Inferior: A =( 4 −0,5)( 5 −0,5)
A ≥ 15,75 cm
2
Superficie ab:
Cota Superior: A =( 4 +0,5)( 3 +0,5)
A ≤ 15,75 cm
2
Cota Inferior: A =( 4 −0,5)( 3 −0,5)
A ≥ 8,75 cm
2
la aproximación x?
Número exacto x y su aproximación x :
o ¿Cuál es la cota para el error absoluto de la aproximación x?
Ax
t
− 3
x =0,045682138y ∂
Ax
− 5
x − x = ∂
Ax
x =0,045682138+0,
x =0,
a =3,5 cm ε < 50 cm
3
b =4,0 cm V =3,5 × 4,0 × 4,
c =4,5 cm V = 63 cm
3
Ax
= 63 cm − 50 cm
Ax
= 13 cm
Rx
13 cm
50 cm
=0,26 cm
Aproximación de
± 0,26 cm
c) x
k
af ´ ( b ) − bf ´ ( a )
f ´ ( b ) − f ´ ( a )
k a b f´(a) f´(b)
x
k
f´(
x
k
0 1 2 -0,15852 0.90929 1,14845. 0,
1 1,14845 2 0,06057 0,90929 1.08767. -0,
2 1,08767 2 -0,02677 0,90929 1,11376. 0,
3 1,11376 2 0,01112 0,90929 1,10278. -0,
4 1,10278. 2 -0,00474 0,90929 1,10743. 0,
d)
Rx
la función v ( t ) ¿ t
3
− 2 t
2
. Utilizando el método de Newton-Raphson aproxima el
tiempo en el que la partícula alcanza una velocidad de 1 m/s, a partir del
reposo, de manera que el error sea menor que 0.5%
v ( t ) ¿ t
3
− 2 t
2
v ´ ( t )
¿ 3 t
2
− 4 t
Por el teorema de Bolzano
t 1 2 3 4
v´(t) - - + +
→ [ 2 ; 3 ]
ᶓ ≤ 0,
t
k + 1
= t
k
v
t
k
v ´
t
k
k
t
k
v
t
k
v ´
t
k
t
k + 1
v
t
k + 1
0 3 8 15 2,4666. 1,8388 ≥0,
1 2,4666 1,8388 8,3859 2,2473. 0,2489 ≥0,
2 2,2473 0,2489 6,1618 2,2069. 0,0076 ≥0,
3 2,2069 0,0076 57.836 2,2055 0,0004 ≤0,
Para
t =2. → v ( t ) ¿ t
3
− 2 t
2
-x
-cos(x) , tiene dos raíces. Utilizando el
método de la bisección determina:
a) el intervalo de longitud igual a 0,5 que contiene la raíz más próxima a 1.
b) la cantidad de iteraciones para encontrar la raíz aproximada para una tolerancia del
error ε<
.
c) el valor aproximado de la raíz para la condición dada en b).
a) [1; 1,5]
b) k>
log ( b − a )−log ε
log 2
k>
log ( 1.5− 1 )−log 0.
log 2
k>
c) x 0 =
=1.
f ( 1 )< 0
f ( 1.25) <¿ f (1.5 )> 0
→
[1.25;1.5]
x 1=
f (1.25)< 0
f (1.375 )> ¿ f ( 1.5) > 0
→
[1.25;1.375]
x2=
f (1.25)< 0
f (1.3125 )> ¿ f ( 1.375) > 0
→
[1.25;1.3125]
x 3=
f (1.25)< 0
f ( 1.28125 )< ¿ f ( 1.3125) > 0
→
[1.28125;1.3125]
x 4=
f (1.28125)< 0
f ( 1.296875) >¿ f ( 1.3125) > 0
→
[1.28125;1.296875]
continúa el intervalo.
F 6
(x)=
e
x
x − 3
F’ 6
(x)=
x e
x
( x − 3 )− e
x
( x − 3 )
2
*F(x) y F’(x) son continuas en el
intervalo
Por tanto esta función converge
aproximar f (1,25).
x -0.2 0.1 0.3 0.
f(x) -0.163746 0.110517 0.404958 1.
n=
Lo(x)=
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 )
( xo − x 1 ) ( xo − x 2 ) ( xo − x 3 )
( x −0.1) ( x −0.3) ( x −0,7)
x
3
−1.1 x
2
+0.31 x −0.
L1(x)=
( x − xo ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 )
( x 1 − x 0 ) ( x 1 − x 2 ) ( x 1 − x 3 )
( x + 0.2) ( x −0.3) ( x −0,7)
x
3
−0.8 x
2
−0.01 x +0.
L2(x)=
( x − xo ) ( x − x 1 ) ( x − x 3 )
( x 2 − x 0 ) ( x 2 − x 1 ) ( x 2 − x 3 )
( x +0.2) ( x −0.1) ( x −0,7)
x
3
−0.6 x
2
−0.09 x +0.
L3(x)=
( x − xo ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 )
( x 3 − x 0 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 )
( x +0.2) ( x −0.1) ( x −0,3)
x
3
−0.2 x
2
−0.05 x +0.
P3(x)=
3
−1.1 x
2
3
−0.8 x
2
x
3
−0.6 x
2
−0.09 x +0.
x
3
−0.2 x
2
−0.05 x + 0.
P3(x)=
0.6849 x
3
2
+0.99156 x −1.
p/ f(1.25)
P3(x)= 3.
para aproximar
f (0,4) y f (0,9) evaluando el error cometido.
x 0.1 0.3 0.5 0.7 1
f(x) 11.052 4.
3.2974 2.
x Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4
0.1 11.
-32.
0.3 4.4995 66.
-6.0105 -95.
0.5 3.2974 9.76875 95.
-2.103 -9.
0.7 2.8768 3.
-0.
1 2.
a)
P/ f(0.4)
P2(x) = do + d1(x-xo) + d2(x-xo) (x-x1)
P2(x) = 4.4995- 6.0105(x-0.3) + 9.76875(x-0.3)(x-0.5)
P2(x) = 9.
x
2
-13.8255x + 7.
P2(0.4) = 3.
x Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3 Orden 4
1972 131700
1897
1982 150670 -48,
2865 -2,
1992 179320 -23,65 0,
2392 0,
2002 203240 -3,
2326
2012 226500
P (x) = 131700 +1897 (x- 1972) + 4,8 (x-1972)(x-1982)-2,388(x-1972)(x-1982)(x-
1992)+0,07665 (x-1972)(x-1982)-2,388(x-1972)(x-1982)(x-1992)(x-2002)
P(x) = 0,07695 x
4
3
2
−2443091352,54 x +1,2182.
12
P (1975) = 134775
P (2010) = 221083
x
2
segundo grado. Estima usando dicho polinomio, el valor de
4
y compara con
el valor obtenido por medio de la calculadora. Determina una cota del error que
X Orden 0 Orden 1 Orden 2 Orden 3
0 1
1 2.71828 7.
13.53884 34.
1.5 9.4877 76.
2 54.
2
( x ) = d
0
1
x − x
0
2
x − x
0
x − x
1
2
( x ) = 1 +1.71828( x − 0 ) +7.8803 ( x − 0 ) ( x − 1 )
2
x
=7.8803 x
2
−6.16202 x + 1
x =
y =
4
e = e
1
4
2
(
)
Error =
(
)(
)(
)
∫
2
5
x
2
( ln x − 1 ) dx por medio de la interpolación de
Newton y un polinomio de segundo grado.
y = ∫
2
5
x
2
( ln x − 1 ) dx
y =13.
X Orden 0 Orden 1 Orden 2
2 -1.
3.5 3.096346 1.
4 6.
2
( x ) = d
0
1
x − x
0
2
x − x
0
x − x
1
2
( x ) =−1.22741+ 2.882504 ( x − 2 ) +1.643111( x − 2 ) ( x −3.5 )
2
( x ) =1.643111 x
2
−6.1546065 x + 4.
∫
2
5
1.643111 x
2
−6.1546065 x + 4.
dx =12.98603 ⋍ 13
X 1 2 3 4 5
F(x) -1,3 1,4 5,1 9,8 15,
a) Completa la tabla de diferencias divididas de Newton
b) Aproxima el valor de la función para x 3,5 por medio de un polinomio de
interpolación de Newton de segundo grado.
c) Evalúa el error cometido
d) Por medio de la tabla de diferencias divididas, determina el grado del polinomio
que mejor aproxima a la función.
2
( 2 )= a
2
2
1
2
( 3 )= a
2
2
2
1
'
x
2
'
( x )
2 c
1
( 2 ) + b
1
= 2 c
2
( 2 ) + b
2
4 c
1
1
= 4 c
2
2
' '
1
( x )= 0 c
1
a
1
1
= 2 a
1
2
2
= 2 a
1
2
2
a
1
1
=− 1 a
1
2
2
=− 1 a
1
2
2
a
2
2
2
=− 1 a
2
2
2
=− 1 b
2
2
a
2
2
2
= 3 a
2
2
2
− a
2
2
2
a
2
2
2
b
2
2
a
1
a
2
b
1
b
2
2
b
2
2
c
2
b
2
siguiente tabla:
x - 1 1 3 4
f ( x ) 3 0 2 1
a) Determina los polinomios de interpolación
b) El valor de f (1,5) y f (1,5)
c) El valor aproximado de ∫
1
4
f ( x )
Ecuación usada: S(x)= a+bx+c x
2
Ec.1 S
1
'
2
'
1
(− 1 )= a
1
− b
1
1
= 3 2
c
1
b
1
=
b
2
2
1
( 1 )= a
1
1
1
s
1
' '
2
c
1
=
Ec.
c
1
S
3
( 3 )= a
3
3
3
S
3
( 4 )= a
3
3
3
Ec.3 S
2
'
3
'
S
2
( 1 )= a
2
2
2
b
2
2
= b
3
3
S
2
( 3 )= a
2
2
2
Ec. 4
a
1
− b
1
a
1
, b
1
,
c
1
a
1
1
Ec.
a
2
2
2
a
2
2
9
c
2
=2 a
2
, b
2
=− 4 , c
2
b
2
2
Ec. 6
a
3
3
+9 c
3
a
3
3
3
a
3
=− 49 , b
3
, c
3
b
3
3
A)
1
x ,
2
( x ) =
− 4 x +
x
2
,
3
( x )=− 49 +
x −
x
2
B)
1
,
2
3
1
'
2
'
3
'
1
( x ) =
∫
1
4
x ) dx =
2
∫
1
4
− 4 x +
4 x
2
) dx =
3
( x )=
∫
1
4
2 x
− 9 / 2 x
2
) dx =− 51 / 4 ¿
