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Optimización: funciones
de varias variables
20.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
20.2 DERIVADAS PARCIALES
20.3 OPTIMIZACIÓN DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES
20.4 APLICACIONES DE LA OPTIMIZACIÓN DE DOS VARIABLES
20.5 OPTIMIZACIÓN DE n VARIABLES (OPCIONAL)
20.6 OPTIMIZACIÓN SUJETA A RESTRICCIONES (OPCIONAL)
Términos y conceptos clave
Fórmulas importantes
Ejercicios adicionales
Evaluación del capítulo
Minicaso: Modelo de inventario de pedidos retrasados
C A P Í T U L O 2 0
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En los capítulos 15 a 17 se ofreció una metodología para analizar las funciones que contie-
nen una variable independiente. En las aplicaciones reales, un criterio u objetivo de deci-
sión se basa a menudo en más de una variable. Como se mencionó en el capítulo 4, cuando
las funciones incluyen más de una variable independiente se llaman funciones multivaria-
das o funciones de varias variables. Se cuenta con métodos del cálculo diferencial para
examinar su comportamiento y determinar los valores óptimos (máximos y mínimos). Al
estudiar algunos de esos procedimientos en el presente capítulo, se verá que se parecen a
los que se aplicaron a las funciones de una variable independiente.
Este capítulo se concentrará inicialmente en las funciones bivariadas (las que contie-
nen dos variables independientes). Se describirán sus gráficas y luego se dará una explica-
ción de las derivadas de esas funciones y su interpretación. A continuación se expondrán
los métodos para obtener sus valores óptimos. Luego vendrá una sección en que se comen-
tan las aplicaciones de las funciones bivariadas. La explicación abarcará la optimización de
las funciones de n variables. El tema de la optimización restringida se aborda en la última
sección del capítulo.
Representación gráfica de funciones de dos variables
Representación gráfica
Una función que incluye una variable dependiente z y dos variables independientes x y y
puede representarse con la notación
Ya antes en el libro se dijo que el número de variables presentes en una función determina
el número de dimensiones necesarias para graficarla. Se requieren dos dimensiones para
trazar las funciones de una sola variable, y en cambio hacen falta tres dimensiones para gra-
ficar las funciones bivariadas.
Según se señaló en el capítulo 4, las funciones lineales que contienen una variable in-
dependiente tienen una gráfica de líneas rectas en dos dimensiones. Las funciones lineales
que incluyen dos variables independientes se grafican como planos en tres dimensiones.
z f ( x , y )
A lo largo del texto se ha comentado la noción de estimación de relaciones
matemáticas. En los capítulos 2, 5, 6 y 7 se vieron aplicaciones reales en las
que se utilizaron puntos muestrales de datos para determinar las funciones de
estimación lineales, cuadráticas y exponenciales. En cada caso, dichos puntos
fueron seleccionados para uso en la determinación de las funciones de estima-
ción. Dado un conjunto de puntos de datos y suponiendo una forma funcional
(por ejemplo, lineal, cuadrática, etc.), el método de los mínimos cuadrados es
uno de los más populares para determinar el “mejor” ajuste para los datos. En
este capítulo se verá que el modelo de los mínimos cuadrados se basa en méto-
dos de optimización (ejemplo 21).
ESCENARIO DE MOTIVACIÓN:
Método de los
mínimos cuadrados,
o cómo hallar la
curva de mejor
ajuste para un
conjunto de puntos
de datos
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Figura 20.1 Gráfica parcial de f ( x , y ) = 25 x^2 y^2.
Figura 20.2 Gráfica parcial de f ( x , y ) = 25 x^2 y^2.
Tabla 20.
1 1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7
5
15
10
25 20
30
x
z = f ( x, y )
z = 25 – x^2 – y^2 donde y = 0
y
y 0 1 2 3 4 5
z 25 y^2 25 24 21 16 9
1 1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7
5
15 10
25 20
30
x
z = f ( x, y )
z = 25 – x^2 – y^2
y
x = 0 y = 0
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Y si se examina atentamente la figura 20.2 en una dirección paralela al eje x , se verá que
la gráfica de esta ecuación es una parte de la parábola cóncava hacia abajo. La figura 20.
contiene lo que se vería si se observara a lo largo del eje x.
Observe la figura 20.2. Las dos partes de f que allí se muestran son trazas. Una es una
traza cuando y 0, en tanto que la otra es una traza donde x 0. Cada traza representa
una costilla en la superficie que simboliza la función.
La figura 20.4 presenta una gráfica de la función que incluye cuatro trazas adiciona-
les. Haciendo y 1, la función se convierte en
La traza que representa a esta función es paralela al plano xz y se encuentra una unidad fue-
ra a lo largo del eje positivo y. De manera análoga, si se hace y 3, se tiene
La traza que representa a esta función tiene una gráfica paralela al plano xz y tres unidades
fuera a lo largo del eje y.
También se han dibujado las trazas haciendo que x 1 y x 3. Estas seis trazas en
combinación comienzan a parecerse a la estructura esquelética de la superficie. Y si se tu-
viera que graficar más trazas asociadas a otros supuestos valores de x y y se obtendría una
representación más exacta de la superficie que representa a f , similar a la parte sombreada
de la figura 20.4.
f ( x , y ) 25 x^2 3 16 x^2
f ( x , y ) 25 x^2 24 x^2
Figura 20.3 Traza con x 0 vista a lo largo del eje x. 5 4 3 2 1
y
z = f ( x, y )
2
5
15 10
25
20
30
z = 25 – y
Definición: Traza
Si z f ( x , y ), una traza es la gráfica de f cuando una variable se mantiene constante.
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Derivadas parciales
Aunque más complejo, el cálculo de las funciones bivariadas se asemeja mucho al de las
funciones de una sola variable. En la presente sección se hablará de las derivadas de es-
tas funciones y de su interpretación.
Derivadas de funciones de dos variables
En las funciones de una sola variable, la derivada representa la tasa instantánea de cambio
en la variable dependiente respecto del que se opera en la variable independiente. En las
funciones bivariadas se tienen dos derivadas parciales. Estas derivadas representan la tasa
instantánea de cambio en la variable dependiente respecto de los cambios de las dos varia-
bles independientes, tomadas por separado. En una función z f ( x , y ), puede calcularse
una derivada parcial respecto de cada variable independiente. La derivada parcial tomada
respecto de x se denota mediante
La derivada parcial tomada respecto de y se indica mediante
Aunque ambas formas pueden utilizarse para denotar la derivada parcial, en este capítulo
se utilizará la notación con subíndices fx y fy.
z y o f (^) y
z x o f (^) x
1. f ( x , y ) 16 x^2 y^2 , donde 0 x 4 y 0 y 4 2. f ( x , y ) 9 x^2 y^2 , donde 0 x 3 y 0 y 3 3. f ( x , y ) 4 x^2 y^2 , donde 0 x 2 y 0 y 2 4. f ( x , y ) 25 x^2 /4 y^2 /4, donde 0 x 10 y 0 y 10 5. f ( x , y ) x^2 y^2 , donde 0 x 5 y 0 y 5
Definición: Derivada parcial
En la función z = f ( x , y ), la derivada parcial de z respecto de x en ( x , y ) es
a condición de que exista el límite. La derivada parcial de z respecto de y en ( x , y ) es
suponiendo que exista el límite.
fy lím y é 0
f ( x , y y ) f ( x , y ) y
fx lím x é 0
f ( x x, y ) f ( x, y ) x
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Considere la función
Para calcular la derivada parcial respecto de x , se usará el método del límite (explicado en la sección 15.3). Primero se forma el cociente de la diferencia como
que, al simplificarse, da
La derivada parcial es
Nótese que al calcular fx se están examinando los efectos que producen los cambios de x (es decir, x ); la otra variable y independiente se mantiene constante. La derivada parcial tomada respecto de y puede obtenerse de modo similar.
f ( x , y ) y
f ( x , y y ) f ( x , y ) y 3 x^2 5( y y ) 3 (3 x^2 5 y^3 ) y 3 x^2 5( y^3 3 y^2 y 3 y y^2 y^3 ) 3 x^2 5 y^3 y 3 x^2 5 y^3 15 y^2 y 15 y y^2 5 y^3 3 x^2 5 y^3 y y (15 y^2 15 y y 5 y^2 ) y 15 y^2 15 y y 5 y^2
fx lím x é 0
f ( x , y ) x lím x é 0 (6 x 3 x )
6 x
f ( x , y ) x
6 x x 3 x^2 x x (6 x 3 x ) x
6 x 3 x
f ( x , y ) x
f ( x x , y ) f ( x , y ) x 3( x x ) 2 5 y^3 (3 x^2 5 y^3 ) x 3( x^2 2 x x x^2 ) 5 y^3 3 x^2 5 y^3 x
f ( x , y ) 3 x^2 5 y^3
Ejemplo 1
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Por fortuna, las derivadas parciales se obtienen más fácilmente empleando las mismas
reglas de diferenciación utilizadas en los capítulos 15 a 17. La única excepción es que, cuan-
do se encuentra una derivada parcial respecto de una variable independiente, se supone que
se mantiene constante a la otra. Por ejemplo, al calcular la derivada parcial respecto de x ,
se supone que y es constante. Y un punto muy importante es que la variable que se supone
constante debe tratarse como una constante al aplicar las reglas de diferenciación.
Encuentre las derivadas parciales respecto de fx y fy para la función
SOLUCIÓN
Primero, para determinar la derivada parcial respecto de x se supondrá que y es constante. Al diferen- ciar término por término, se observa que la derivada de 5 x^2 respecto de x es 10 x. Al diferenciar el se- gundo término, no se olvide que se supone que y es constante. Así pues, este término presenta la forma general
6(constante)^3
que es simplemente una constante. Una constante no cambia de valor al hacerlo otras variables (o, como se señaló en el capítulo 15, la derivada de una constante es 0), por lo cual la derivada del se- gundo término es 0. Por consiguiente,
Al encontrar la derivada parcial respecto de y , se supone que se mantiene constante la variable x. Al diferenciar término por término, 5 x^2 se considera como constante, ya que x se supone constan- te y la derivada es 0. La derivada de 6 y^3 respecto de y es 18 y^2. En consecuencia,
f (^) y 0 18 y^2 18 y^2
f (^) x 10 x 0 10 x
f ( x , y ) 5 x^2 6 y^3
Encuentre fx y fy para la función
SOLUCIÓN
Para calcular fx se supone que y es constante. El término 4 xy tiene la forma de un producto. Para di- ferenciar tales términos de producto, pueden aplicarse dos métodos. El primero consiste en usar sim- plemente la regla del producto. Al considerar 4 xy como el producto 4 x y y , con la regla de producto se obtiene
o bien
f (^) x (4)( y ) (0)(4 x ) fx 4 y
f ( x , y ) 4 xy
Ejemplo 3
Ejemplo 4
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Otro método consiste en recordar cuál variable se supone que era constante. Cuando y se mantiene constante, puede rearreglarse 4 xy para que tenga la forma
o bien
Al agrupar 4 y y , este término presenta la forma general de una constante 4 y por x. Y la derivada de una constante multiplicada por x es la constante, o
Para calcular fy , se supone que x es constante. Al aplicar la regla del producto se obtiene
o bien
O usando el otro procedimiento, el factor 4 x es constante (al mantener constante x ) y puede conside- rarse que f tiene la forma
La derivada respecto de y es la constante, o bien
f (^) y 4 x
f ( x, y ) constante y (4 x ) y
f (^) y (0)( y ) (1)(4 x ) f (^) y 4 x
f (^) x 4 y
f ( x, y ) constante x f ( x , y ) (4 y ) x
Encuentre fx y fy si
SOLUCIÓN
Para calcular fx deberá suponerse que y es constante. Esta función puede rearreglarse (mental o ex- plícitamente) para que tenga la forma
donde 10 y^3 es constante. La derivada es
Para fy puede considerarse que la función tiene la forma
La derivada respecto de y es
o bien (^) f (^) y 30 xy^2 ❑
(constante)(3 y^2 )
(constante) y^3 o ( 10 x ) y^3
f (^) x 10 y^3
f ( x , y ) (constante) x ( 10 y^3 ) x
f ( x , y ) 10 xy^3
Ejemplo 5
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La derivada parcial fx estima el cambio en z cuando se da un cambio en x , suponiendo
que y se mantenga constante. En la sección 20.1 se vio que, cuando y es mantenida cons-
tante, las trazas correspondientes se grafican paralelas al plano xz. La pendiente de esas tra-
zas la representa f x.
De manera semejante, fy supone que x se conserva constante. Cuando se mantuvo cons-
tante x en la sección 20.1, el resultado fue una familia de trazas paralelas al plano yz. Y f y
representa la pendiente de esas trazas. La figura 20.5 muestra la representación de la pen-
diente.
La otra interpretación de las derivadas parciales es la de la tasa instantánea de cambio.
Como en el caso de las funciones de una sola variable, las derivadas parciales pueden em-
plearse para aproximar los cambios de valor de la variable dependiente, si se produce un
II fy es una expresión general para la pendiente de la tangente de la familia
de trazas paralelas al plano yz.
1 1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7
5
25
20
10
15
30
x
z f ( x, y )
z 25 – x^2 – y^2
y
x 0
x 1
y 1
y 0
x 3
y 3
f
f
y
y
f (^) x f (^) x
f (^) x
f (^) y
Figura 20.5 Representación de las derivadas parciales a partir de la pendiente de la tangente.
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cambio en una de las variables independientes. Por ejemplo, fx puede servir para aproximar
el cambio de f ( x , y ), cuando se da un cambio en x y se supone que y es constante. La deri-
vada parcial f y puede utilizarse para aproximar el cambio de f ( x , y ), dado un cambio en y ,
suponiendo que x es constante. El siguiente ejemplo ilustra esta interpretación.
(Interrelaciones de la demanda de varios productos) Hasta ahora se ha supuesto que la demanda de un producto depende, exclusivamente, de su precio. Así, las funciones de demanda analizadas pre- sentan la forma q f ( p ) Con frecuencia, la demanda de un producto o servicio recibe el influjo no sólo de su precio, sino tam- bién de los precios de otros productos o servicios. La ecuación (20.5) es una función de demanda que expresa la cantidad demandada del producto 1 ( q 1 ) en términos de su precio ( p 1 ) y también de los pre- cios de otros dos productos ( p 2 y p 3 ), todos ellos expresados en dólares.
Las derivadas parciales de esta función de demanda pueden ofrecer una medida de la respuesta ins- tantánea de la demanda ante los cambios en los precios de los tres productos. Por ejemplo,
sugiere que, si p 2 y p 3 se mantienen constantes, la demanda del producto 1 disminuirá a una tasa ins- tantánea de 2.5 unidades por cada unidad (dólar) que aumente p 1. De modo análogo, las derivadas parciales
indican las tasas instantáneas de cambio en la demanda asociada a los que se producen en los precios de los otros dos productos. f (^) p 2 3 sugiere que la demanda del producto 1 aumentará a una tasa ins- tantánea de tres unidades por cada unidad (dólar) que aumente p 2 (se mantienen constantes p 1 y p 3 y fp 3 1.5 indica que la demanda del producto 1 crecerá a una tasa instantánea de 1.5 unidades por ca- da unidad (dólar) que p 3 aumente (se mantienen constantes p 1 y p 2 ). Haga en seguida un par de observaciones. En primer lugar, esta función de demanda es lineal y las correspondientes derivadas parciales son constantes. Es decir, las tasas instantáneas de cambio son realmente las mismas en cualquier parte del dominio de la función de demanda. En segundo lugar, el hecho de que la demanda del producto 1 aumente al incrementarse los precios de los productos 2 y 3 revela una interdependencia entre los tres productos. Éste es el tipo de relación que cabría esperar que exista entre productos en competencia. Entre los ejemplos de este tipo de bienes conviene citar las di- ferentes marcas de un mismo producto (por ejemplo, las llantas radiales) o los productos que pueden servir para satisfacer una necesidad determinada (como margarina vs. mantequilla, carne de res vs. carne de pollo). En el caso de esta categoría de bienes de consumo cabría esperar que, conforme se incremente el precio de un producto, disminuya su demanda y la de los productos en competencia au- mente. De manera análoga, a medida que descienda el precio de un producto, cabría esperar que su demanda aumente y la de los productos de la competencia disminuya. Éste es el tipo de comporta- miento ejemplificado por la función de demanda en la ecuación (20.5) y sus derivadas parciales. ❑
fp 2 3 y f (^) p 3 1.
f (^) p 1 2.
q 1 f ( p 1 , p 2 , p 3 ) 10 000 2.5 p 1 3 p 2 1.5 p 3
Ejemplo 8
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La diferencia entre los incrementos real y estimado usando f (^) x es de 48 990 49 000 10 unida- des. El signo de menos indica que la derivada parcial sobreestimó el cambio verdadero. Supóngase ahora que se quiere determinar el efecto, si se destinan $1 000 más a la publicidad por radio y no a la publicidad por televisión. La derivada parcial tomada con respecto de y aproxima- rá este cambio:
Al evaluar fy cuando x 40 y cuando y 20, se obtiene
Así pues, un aumento de $1 000 en los gastos de publicidad por radio originará un incremento apro- ximado de 38 800 unidades. Con un aumento de $1 000 en los gastos de este tipo de publicidad, las ventas reales se estiman en
El incremento real en las ventas es
También en este caso, el cambio aproximado estimado empleando fy presenta un error de apenas 20 unidades. Desde el punto de vista comparativo, si se asignan $1 000 a la publicidad por televisión o radio, es evidente que el rendimiento mayor provendrá de la televisión. ❑
f (40, 21) f (40, 20) 2 806 780 2 768 000 38 780 unidades
f (40, 21) 50 000(40) 40 000(21) 10(40) 2 20(21) 2 10(40)(21) 2 000 000 840 000 16 000 8 820 8 400 2 806 780 unidades
fy (40, 20) 40 000 40(20) 10(40) 40 000 800 400 38 800
fy 40 000 40 y 10 x
f (41, 20) f (40, 20) 2 816 990 2 768 000 48 990 unidades
Derivadas de segundo orden
Igual que en el caso de las funciones de una sola variable, se pueden determinar derivadas
de segundo orden para las funciones bivariadas. Éstas serán de gran importancia en la si-
guiente sección cuando se trate de optimizar el valor de una función.
Para las funciones de la forma f ( x , y ) existen cuatro diferentes derivadas de segundo
orden. Éstas se dividen en dos tipos: derivadas parciales puras de segundo orden y deri-
vadas parciales mixtas. Las dos derivadas parciales se denotan con fxx y fyy. La derivada
parcial pura de segundo orden respecto de x , f xx se calcula obteniendo primero fx y luego
diferenciando fx respecto de x. De manera parecida, f yy se obtiene determinando la expre-
sión para f y y luego diferenciando f y respecto de y.
Las dos derivadas parciales mixtas se denotan mediante fxy y f yx. La derivada parcial
mixta fxy se obtiene determinando fx y luego diferenciando fx respecto de y. De modo aná-
logo, fyx se encuentra determinando fy para luego diferenciar fy respecto de x. La figura 20.
sintetiza los procedimientos con que se obtienen las derivadas de segundo orden.
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Determine las derivadas de primero y segundo órdenes para la función
SOLUCIÓN
Se empieza con las primeras derivadas:
La derivada parcial pura fxx se calcula al diferenciar fx respecto de x , o sea
f (^) yy se obtiene al diferenciar fy respecto de y , es decir,
La derivada parcial mixta f (^) xy se calcula al diferenciar fx respecto de y , o sea
f (^) yx se obtiene diferenciando f (^) y respecto de x , esto es,
fy 4 x^2 30 y^2 é fyx 8 x ❑
f (^) x 24 x^2 8 xy (^) é fxy 8 x
f (^) y 4 x^2 30 y^2 é f (^) yy 60 y
f (^) x 24 x^2 8 xy (^) é fxx 48 x 8 y
f (^) x 24 x^2 8 xy f (^) y 4 x^2 30 y^2
f ( x , y ) 8 x^3 4 x^2 y 10 y^3
Ejemplo 10
f (^) x
diferenciar respecto de x
diferenciar respecto de y
f (^) y
diferenciar respecto de y
diferenciar respecto de x
Derivadas parciales de primer orden
Derivadas parciales de segundo orden f (^) xx
f (^) xy
f (^) yy
f (^) yx
(derivada parcial pura de segundo orden)
(derivada parcial mixta)
(derivada parcial pura de segundo orden)
(derivada parcial mixta)
Figura 20.6 Determinación de las derivadas de segundo orden.
NOTA Una proposición conocida con el nombre de^ teorema de Young
establece que las derivadas parciales mixtas f xy y f yx son iguales
entre sí a condición de que ambas sean continuas. Obsérvese que esta
condición se cumple en el ejemplo 10. Esta propiedad ofrece una
posible comprobación de los errores que pudieran haberse cometi-
do al calcular f x , fy , fxy y fyx.
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b ) Haciendo uso de las derivadas parciales, estime el cambio esperado en f ( x , y ), si x aumenta en una unidad. c ) Compare el cambio real con el cambio estimado. d ) Repita los incisos b ) y c ), suponiendo un posible incremento de una unidad en y.
62. En f ( x , y ) 20 x^3 30 y^3 10 x^2 y : a ) Determine f (20, 10). b ) Haciendo uso de las derivadas parciales, estime el cambio esperado en f ( x , y ), si x aumenta en una unidad. c ) Compare el cambio real con el cambio estimado. d ) Repita los incisos b ) y c ), suponiendo un posible incremento de una unidad en y. 63. Una empresa estima que el número de unidades que vende cada año es una función de los gas- tos de publicidad por radio y televisión. La función que expresa esta relación es
donde z es el número de unidades vendidas, x indica la cantidad destinada a la publicidad por televisión y la y denota la cantidad que se gasta en publicidad por radio (las dos últimas varia- bles se expresan en miles de dólares). En la actualidad, la firma está destinando $50 000 a la pu- blicidad por televisión y $30 000 a la publicidad por radio. a ) ¿Cuáles se espera que sean las ventas anuales? b ) Usando derivadas parciales, estime el efecto en las ventas anuales, si se asignan $1 000 más a la publicidad por televisión. c ) Empleando derivadas parciales, estime el efecto en las ventas anuales si se asignan $1 000 más a la publicidad por radio. d ) ¿En qué tipo de publicidad se obtienen mejores resultados con una inversión de $1 000? 64. En la función de demanda
a ) Determine las derivadas parciales fp 1 y fp 2. b ) Si p 1 20 y p 2 10, evalúe f (^) p 1 y fp 2 e interprete su significado. c ) ¿Cómo se interrelacionan esos tres productos entre sí?
65. En la función de demanda
a ) Determine las derivadas parciales fp 1 , fp 2 y fp 3. b ) Si p 1 30, p 2 10 y p 3 20, evalúe las derivadas parciales e interprete su significado. c ) ¿Cómo se interrelacionan los dos productos entre sí?
q 1 f ( p 1 , p 2 , p 3 ) 250 000 0.5 p (^) 12 p (^) 22 0.4 p^23
q 1 f ( p 1 , p 2 ) 25 000 0.1 p (^) 12 0.5 p^22
z 2 000 x 5 000 y 20 x^2 10 y^2 50 xy
Optimización de las funciones de dos variables
El proceso de encontrar los valores óptimos de las funciones bivariadas es muy parecido al
que se aplicó en el caso de las funciones de una sola variable. En la presente sección se ex-
plicará ese proceso.
Puntos críticos
Igual que con las funciones de una sola variable, nos concentraremos en identificar los pun-
tos máximo y mínimo relativos en la superficie que representa una función f ( x , y ).
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Dichos puntos tienen en dos dimensiones el mismo significado que en tres.
Un máximo relativo suele aparecer en la parte superior o pico de una cresta de la superfi-
cie que representa a f ( x , y ).
Un mínimo relativo suele aparecer en la parte inferior de un valle sobre la superficie que
representa a f ( x , y ).
La figura 20.7 muestra tanto un punto máximo relativo como un punto mínimo relati-
vo. Si el lector examina las condiciones de pendiente de una superficie plana en un máxi-
mo o mínimo relativo, debería llegar a la conclusión de que una línea tangente trazada en
el punto en cualquier dirección tiene una pendiente de 0. Dado que las primeras derivadas
parciales fx y f y representan expresiones generales de la pendiente de la tangente de trazas
paralelas, respectivamente, a los planos xz y yz , puede afirmarse lo siguiente.
Definición: Máximo relativo
Se dice que una función z f ( x , y ) tiene un máximo relativo cuando x a y y b
si para todos los puntos ( x , y ) “suficientemente cercanos” a ( a , b ),
f ( a , b ) f ( x , y )
Definición: Mínimo relativo
Se dice que una función z f ( x , y ) tiene un mínimo relativo cuando x a y y b
si para todos los puntos ( x , y ) “suficientemente cercanos” a ( a , b ),
f ( a , b ) f ( x , y )
f = 0
z
x
f (^) y = 0
y
x x f = 0
z
x f (^) y = 0
y
Figura 20.7 Extremos relativos en un espacio tridimensional.
a ) Máximo relativo b ) Mínimo relativo
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