¡Descarga Extremos condicionados y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Extremos condicionados - Método de los Multiplicadores de Laplace
Ejercicios seleccionados de los textos:
_- Cálculo, Trascendentes tempranas – J. Stewart – 6° edición
- Calculus – T. Apostol – Vol II
- Cálculo Vectorial – J. Marsden, A. Tromba – 3° edición_
Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r.
Calcule los valores extremos de
xy f x y e
( , ) en la región descripta por la desigualdad
2 2 x y .
- Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función
f ( x , y , z ) xyz sujeta a la restricción 2 3 6
2 2 2 x y z .
- Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies 1
2 2 2 x xy y z y
2 2 x y que están más próximos al origen.
- Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de
un punto de la elipse 4 4
2 2 x y a la recta x y 4.
- Considerar la función
2 2 f ( x , y ) x xy y en el disco unitario ( , )/ 1
2 2 D x y x y .
Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo
para la f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos
de f en D.
Soluciones
- Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r
Comencemos con un esquema. Llamemos con a , b y c a las dimensiones de la caja rectangular
inscripta en la esfera. Cómo la esfera de radio r y la caja rectangular son simétricas respecto al origen,
podemos dibujar un corte con un plano que pase por el origen de coordenadas y obtenemos el esquema
siguiente (el eje x está saliendo de la hoja):
La función volumen queda expresada por V ( x , y , z ) 8 xyz con x 0 , y 0 , z 0
Llamemos
2 2 2 g ( x , y , z ) x y z. Nuestro problema queda expresado así:
La función que debemos maximizar es el
volumen de la caja, es decir, a.b.c , sujeto a la
restricción de que los vértices de la caja estén
sobre la esfera.
Una vez ubicado el sistema de coordenadas,
observamos que
c z
b y
a x
Y la restricción está dada por la ecuación
2 2 2 2 x y z r
b
c
r
Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange a éste problema. El sistema que debemos
resolver es:
2 ( , , )
gx y z r
V x y z gx y z
2 2 2 2
x y z r
xy z
xz y
yz x
Como x , y y z son positivos , λ es no nulo y podemos multiplicar la primer ecuación por x , la segunda
por y y la tercera por z y dividir por λ para obtener el sistema equivalente:
2 2 2 2
2
2
2
x y z r
xyz z
xyz y
xyz x
Las primeras tres ecuaciones nos dicen que
2 2 2 x y z y reemplazando en la última ecuación
obtenemos
2 2
x
x r x r y r
Además
2 2 2
x y z r
x y z
x y z
Luego el volumen máximo es ( , , ) 8 / 3 3
3
3 3 3
V r
r r r 3
3
9
8 r
- Calcule los valores extremos de
xy f x y e
( , ) en la región descripta por la desigualdad
2 2 x y
Buscaremos los puntos críticos de f resolviendo el sistema f ( 0 , 0 )y nos quedaremos sólo
con aquellos puntos que sean interiores a B (puntos que verifican 4 1
2 2 x y ).
Observemos que la región
( , ) / 4 1
2 2 2 B x y R x y
es una región cerrada y acotada, por lo
tanto la función f alcanzará en B su
máximo y mínimo en el interior o en la
frontera.
Para hallarlos, trabajaremos en dos etapas:
Maximizar V ( x , y , z )
Sujeto a g(x,y,z) = r
2
Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar valores extremos, tenemos que
resolver el siguiente sistema:
gx y
f x y g x y
2 2 x y E
xe y E
ye x E
x y
x y
El sistema con incógnitas x , y y no es lineal.
xy e y podemos deducir que 0 , dado que en caso contrario de las ecuaciones
E1 y E2 obtendríamos que x = 0 e y = 0 pero estos valores no verifican E3.
- Razonando de manera muy similar obtenemos que x 0 e y 0.
¿Por qué razonamos primero de esta manera, en vez de empezar a resolver el sistema? Porque ahora
tenemos la libertad de dividir por cualquiera de estas expresiones, dado que ninguna es nula!
Ahora vamos a resolver el sistema. La forma de resolver este tipo de sistemas (no lineales) no es única,
dependerá del sistema y de la forma particular en que cada persona decida como comenzar. Dividiendo
miembro a miembro la ecuación E2 por la E1 obtenemos:
2 2 4
x y
x
y
y
x
x
y
y e
x e
xy
x y
(*)
Reemplazando x
2 en la ecuación E3 por la expresión obtenida en (*) tenemos:
1 2
2
2 2
2 2
y y oy
x y
x y
La expresión (*) también puede expresarse así: x 2 y , por lo cual obtenemos cuatro puntos en
los que evaluar la función:
Para saber cual es el máximo y el mínimo, evaluamos f en cada uno de estos puntos:
( x , y ) f ( x , y ) Conclusión
( 0 , 0 ) 1 Punto silla
4
2
,
2
2 ,
4
2 ,
2
2
14 e
Máximo Absoluto
4
2
,
2
2 ,
4
2 ,
2
2
14 e
Mínimo Absoluto
Maximizar / Minimizar f (x,y)
Sujeta a g (x,y) = 1
Veamos el problema desde el punto de vista geométrico. Grafiquemos la superficie de ecuación
x y z f x y e
( , ) y la restricción:
-0.
0
1
x
0
1
2
y
0
1
2
3
4
z
0
1
2
Superficie
-0.
0
- 5
1
x -0.
y
0
1
2
3
z
-0.
0
- 5
1
x
0
1
2
Restricción: cilindro elíptico
Observación : es importante destacar la diferencia entre el valor máximo o mínimo y el punto
donde se alcanza ése valor:
- el mínimo de f en la región B vale
4
^1
e y lo alcanza en los puntos
y
- el máximo de f en la región B vale
4
1
e y lo alcanza en los puntos
y
IMPORTANTE : no debemos olvidar que el sistema tiene tres incógnitas: x , y y . Al resolver el
sistema debemos hallar ternas ( x , y , )que verifiquen TODAS las ecuaciones. En este ejercicio, si
despejamos de la primer ecuación tenemos
y
x e
xy
y reemplazamos con los valores
obtenidos para x e y anteriormente llegamos a las soluciones
( x , y )
4
2 ,
2
2 4
1
4
(^1) e
4
2 ,
2
2 4
1
4
1 e
4
2 ,
2
2 4
1
4
1 e
4
2 ,
2
2 4
1
4
1 e
En el contexto del problema nos interesan los puntos ( x , y ) por eso no hacemos énfasis en los
valores de , pero no debe olvidarse que las ternas deben verificar el sistema.
g x y z
f x y z gx y z
2 2 2 x y z e
xy z e
xz y e
yz x e
Caso 1 : si suponemos que x , y y z son no nulas, podemos multiplicar la primera ecuación por x , la
segunda por y y la tercera por z obtenemos una relación entre los cuadrados de las variables:
2 2 2
2
2
2
x y z
zxy z
yxz y
xyz x
Reemplazando en la cuarta ecuación tenemos
2 2 x x x 2
y 1 , z
Los puntos críticos son 8. Para evaluar la función en cada punto, es útil ver que el valor absoluto va a
ser el mismo para todos los puntos (porque se multiplican las coordenadas) y lo único distinto va a ser
el signo, de acuerdo a la cantidad de factores positivos o negativos. De esta manera tenemos que:
• f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23
En todos estos puntos
x
y z
• f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23
En estos otros cuatro puntos
x
y z
Caso 2 : ¿Qué sucede si alguna de las variables es nula?
Supongamos que x = 0. El sistema quedaría:
2 2 y z e
z e
y e
yz e
De (e1) tenemos:
yz 0 y 0 z 0 y no simultáneamente nulas pues sino no se verificaría (e4).
y 0 0 , z 2
z 0 0 , y 3
Obtenemos los puntos ( 0 , 0 , 2 ) y ( 0 , 3 , 0 )
Razonando de manera similar con y = 0 o z = 0 se pueden obtener los puntos ( 6 , 0 , 0 )
La función f evaluada en cada uno de estos puntos da 0.
Resumiendo todo lo razonado anteriormente:
= f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23
= f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23
= f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23
= f 2 , 1 , 23 f 2 , 1 , 23
4 ) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies 1
2 2 2 x xy y z y
2 2 x y que están más próximos al origen.
Para resolver este problema no es necesario que busquemos la curva intersección de las superficies,
sino que podemos comprender que imponen dos restricciones al problema: que los puntos más
próximos al origen pertenezcan a las dos superficies.
Sean g ( x , y , z )
2 2 2 x xy y z y h ( x , y , z )
2 2 x y
La función a minimizar es la distancia al origen:
2 2 2 d x y z , pero trabajaremos con el
cuadrado de la distancia por ser más sencillos los cálculos: f ( x , y , z )
2 2 2 x y z
Nuestro problema queda expresado:
Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange, teniendo ahora dos restricciones:
h x y z
g x y z
f x yz g x yz hx y z
, R
2 2
2 2 2
x y
x xy y z
z z z z z z
y y x y
x x y x
Minimizar f ( x , y , z )
Sujeto a g ( x , y , z ) 1
h ( x , y , z ) 1
5 ) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un
punto de la elipse 4 4
2 2 x y a la recta x y 4
La función que vamos a maximizar y minimizar es la distancia de un punto de la elipse a la recta dada.
Recordando lo aprendido en Algebra I, si tenemos la recta dada en la forma ax by c 0 , la
distancia de un punto ( , ) o o
P x y a la recta está dada por la expresión
2
2 a b
ax (^) obyo c d
.
Sean
x y
d x y ,
2 2 g ( x , y ) x 4 y
Nuestro problema puede expresarse:
Como para aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange necesitamos las derivadas parciales
de f, nos será útil prescindir del valor absoluto, analizando el problema primero.
Resolveremos el problema
El sistema esta expresado por:
2 2 x y
y
x
De las dos primeras ecuaciones podemos deducir que x 0 , y 0 y 0
Maximizar / minimizar d(x,y)
Sujeta a g(x,y) = 1
Como se puede observar en el
gráfico, los puntos que estamos
buscando están ubicados en el
semiplano definido por
inecuación x y 4 0.
Entonces podemos trabajar
con la función
f ( x , y ) ( x y 4 )/ 2
en vez de la expresión de
d(x,y) con el valor absoluto.
Maximizar / minimizar
x y
f x y
Sujeta a 4 4
2 2 x y
mínima distancia
máxima distancia
Igualando las dos primeras ecuaciones obtenemos la relación x 4 y que junto con la tercer ecuación
nos da los valores
x
16
10
, 0
16
10
x 0 da x da
Los puntos encontrados son: (^)
y
Finalmente,
distancia mínima: 1 , 247
f
distancia máxima: 4. 409
f
que corresponden a las longitudes de los segmentos perpendiculares a la recta de color rosa y azul
respectivamente.
- Considerar la función
2 2 f ( x , y ) x xy y en el disco unitario ( , )/ 1
2 2 D x y x y .
Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo para la
f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f en D
Para buscar los extremos en el interior del disco unitario, procedemos a resolver la ecuación
f ( x , y )( 0 , 0 ) para buscar los puntos críticos de la función, y nos quedaremos con aquellos que
estén dentro del círculo.
x y
x y
x y
f x y
f x y x y x y
Para saber si la función tiene un máximo, mínimo o punto silla en (0,0) evaluamos:
x x
yx yy
xx xy
f
f f
f f
D
Más aún, f ( 0 , 0 ) 0
Busquemos los extremos en la circunferencia unitaria 1
2 2 x y utilizamos el método de los
multiplicadores de Lagrange. Sea
2 2 g ( x , y ) x y. Debemos resolver el problema
El sistema que debemos resolver es
f (0,0) es un mínimo relativo
Maximizar / Minimizar f ( x , y )
Sujeta a g ( x , y ) = 1
