¡Descarga problemas calculo 2 y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Càlcul de diverses variables
Enginyeria Biomèdica – Enginyeria Electrònica de Telecomunicació Primavera 2012–
Col·lecció de problemes
[P] → classe de problemes. [pT] → classe de problemes tutoritzats. [ex.] → altres problemes proposats. (*) → problemes més difícils, una mica més el.laborats.
1. Funcions de diverses variables
Generalitats
1.1 [pT] Trobeu f (1/ 2 , 3) i f (1, −1) per f (x, y) = xy + x y
1.2 [pT] Trobeu i dibuixeu al pla x, y el domini de les següents funcions reals de dues variables:
a) f (x, y) = log((16 − x^2 − y^2 )(x^2 + y^2 − 4)), b) f (x, y) =
√ 6 − (2x + 3y).
1.3 [pT] Dibuixeu i identifiqueu la superfície a l’ espai de tres dimensions que té per equació a) 2 x + 4y + 3z = 12. b) Feu el mateix amb f (x, y) = x^2 + y^2. c) f (x, y) = x^2 − y^2.
1.4 [pT] Trobeu els valors que pren la funció f (x, y) = 1 + x − y en els punts de la paràbola y = x^2 i dibuixeu la gràfica de g(x) ≡ f (x, x^2 ).
1.5 [pT] Construïu i dibuixeu les corbes de nivell de la funció z = x^2 y.
Límits i continuïtat
1.6 [pT] Trobeu, per (x, y) → (0, 0), els límits iterats, els límits direccionals i el límit, si existeix,
de la funció x
(^2) − y 2 x^2 + y^2
, (x, y) 6 = (0, 0).
1.7 Trobeu, si existeixen, els límits següents:
a[P]) (^) (x,ylim)→(1,1)
log x + log y x + y − 2 ,^ b[P])^ (x,ylim)→(0,0) f^ (x, y),^ f^ (x, y) =^ e
−x^2 /y (^) (y > 0),
c[pT]) lim (x,y)→(0,0)
(xy)^2 (xy)^2 + (x − y)^2 ,^ d[pT])^ (x,ylim)→(1,1)
sin x − sin y x − y , e [ex.]) lim (x,y)→(2,2)
ex^ − ey x − y ,^ f [P])^ (x,ylim)→(0,0)
2 x^2 y 2 x^2 + y^2 , g [ex.]) lim (x,y)→(0,0)
sin xy x
1.8 [pT] Demostreu que existeix el límit lim (x,y)→(0,0)
(xy)^2 x^2 + y^2
2. Càlcul diferencial en diverses variables
Derivada parcial
2.1 [ex.] Trobeu
∂f ∂x ,^
∂f ∂y si a) f (x, y) = exy. b) f (x, y) = x^2 cos (xy) sinh(x − y). c) f (x, y) = (x^2 + y^2 ) log(x^2 + y^2 ).
2.2 [pT] Si f (x, y) = x^3 y + exy
2 , trobeu: a) ∂f ∂x
i ∂f ∂y
, b) ∂
(^2) f ∂x^2
i ∂
(^2) f ∂y^2
, c) ∂
(^2) f ∂y∂x
i ∂
(^2) f ∂x∂y
2.3 [ex.] Calculeu les derivades parcials de primer ordre per a les funcions següents, als punts regulars: a) w =
√^1
x^2 + y^2 + 2xy cos z
b) w = arcsin x z + y^2
c) w = x^2 + log(1 + x^2 + y^2 + z^2 ). d) w = arctan
x + yz.
2.4 [pT] Comproveu que la funció
f (x, y) =
xy x^2 + y^2
si (x, y) 6 = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)
és diferenciable en R^2 excepte en el punt (0, 0).
2.5 [ex.] Comproveu que la funció
f (x, y) =
x^3 y^3 x^2 + y^2 si^ (x, y)^6 = (0,^ 0) 0 si (x, y) = (0, 0)
és diferenciable en tot R^2.
2.6 [P] Esbrineu si les següents funcions són diferenciables al punt (0, 0):
a) f (x, y) = cos
√ x^2 + y^2 , b) f (x, y) = sin
√ x^2 + y^2.
2.7 [P] Esbrineu si són diferenciables al punt (0, 0) les funcions següents,
a) f (x, y) = x x
(^2) − y 2 x^2 + y^2
, f (0, 0) = 0; b) f (x, y) = x
(^4) + y 4 x^2 + y^2
, f (0, 0) = 0.
2.8 [P] Trobeu l’expressió de les derivades parcials i de la diferencial, si existeix, per a les funcions
i) f (x, y) = (x + y) sin (x^2 + y^2 ), ii) f (x, y) =
√ x^2 + y^2 ,
2.18 [P] Si U (x, y, z) = 2x^2 − yz + xz^2 , x = 2 sin t, y = t^2 − t + 1, i z = − 3 e−t, trobeu
dU dt en el punt t = 0.
2.19 Trobeu totes les derivades parcials amb respete a x i a y de les funcions següents:
a [ex.]) z = u log v, on u = x^2 , v = (^) 1 +^1 y.
b [pT]) z = euv, on u = 5x, v = cos y. c [ex.]) z = u arctan v, on u = xy x − y
, v = x^2 y + y − x.
2.20 [pT] * Sigui F (u, v) = ln
u + v
) amb u = x^2 + y^2 i v = ex^ sin y. Trobeu
∂F
∂x i^
∂F
∂y.
2.21 [ex.] Utilitzeu la regla de la cadena per a calcular les derivades ∂z/∂x i ∂z/∂y on
z =
x + y
)sin (xy) .
Derivades parcials d’ordre superior
2.22 [pT] Verifiqueu ∂^3 f (x, y, z) ∂x∂y∂z =^
∂^3 f (x, y, z) ∂z∂y∂x per a la funció f (x, y, z) = zexy^ + yz^3 x^2.
Desenvolupament de Taylor
2.23 [P] Trobeu el desenvolupament de Taylor fins a segon ordre de les següents funcions. i) f (x, y) = 2x^3 + 3y^3 − x^2 y en el punt (2,1). ii) f (x, y) = x sin(y) + y sin(x) en el punt (0, 0). Compareu el valor aproximat amb l’exacte per a x = 0. 2 i y = 0. 25. iii) Calculeu aproximadament el valor de 0. 95 5.^03 fent ús del desenvolupament de Taylor de la funció f (x, y) = xy^ entorn del punt (1, 5).
2.24 [ex.] Desenvolupeu aprop de (0, 0) fins a segon ordre i escriviu en cada cas l’equació del pla tangent i la matriu hessiana, a) f (x, y) = cos^ x cos y
, entorn de (0, 0),
b) f (x, y) = log (1 + xy), entorn de (0, 0), c) f (x, y) = cos (x cos y), entorn de (0, 0), d) f (x, y) = cos (x + 2y), entorn de (x = 0, y = π 2 ), e) f (x, y) = e−xy−^1 entorn de (− 1 , 1), f) f (x, y) = x y
entorn de (1, 1),
g) f (x, y) =
√ 1 − x^2 − y^2 entorn de (3/ 10 , 2 /5),
h) f (x, y) =
(x − 1)^2 (y − 3)^2 entorn de^ (4,^ 6)^ Compareu els valors numèrics incloent termes lineals i quadràtics amb el valor exacte, per (h 1 = − 0. 02 , h 2 = − 0 .03). i) f (x, y) = √^1 1 + x − 2 y
entorn de (1, −1).
2.25 [P] Desenvolupeu entorn de (0, 0) fins a ordre quàrtic (inclòs), e−(x^2 +y^2 )^ cos xy. (Hi ha una manera ràpida d’obtenir el resultat correcte!).
2.26 [pT] Considereu la funció f (x, y) = e
√1+xy− 1
. Trobeu-ne el desenvolupament de Taylor al voltant del punt (0, 1) fins a segon ordre.
3. Aplicacions del càlcul diferencial
Teorema de la funció inversa i canvi de coordenades
3.1 [P] Considereu el següent canvi de variables: u(x, y) = x^3 − 3 xy^2 , v(x, y) = 3x^2 y − y^3. a) Trobeu els punts singulars del canvi (és a dir, els punts on el teorema de la funció inversa no ens garanteix que x i y es puguin aïllar en termes d’una funció diferenciable d’u i de v). b) Considereu les imatges dels punts (1, 0) i (1/ 2 ,
3 /2). És el canvi de variables una aplicació bijectiva al voltant de cadascún d’aquests punts? I a tot el pla?
3.2 [ex.] Trobeu els punts singulars dels canvis de coordenades següents: a) A R^2 , x = 12 (u^2 − v^2 ) y = uv b) A R^3 , x = eu^ y = sin(u + v) z = ew. 3.3 Donats els canvis: a [ex.]) x = t + s, y = t − s b [P]) u = x^2 + y^2 , v = x^2 − y^2 , c [pT]) u = x^2 + axy + y^2 , v = x^2 − y^2 , en funció del valor de a, d [P]) u = ex^ sin y, v = ex^ cos y. trobeu els punts on són invertibles. 3.4 [pT] Estudieu si el sistema
u = x + y + z , v = y + xy , w = z + 2x + 3z^2
es pot resoldre per x, y, z en funció de u, v, w en un entorn de l’origen.
Teorema de la funció implicíta
3.5 [pT] Avalueu dy/dx en els punts indicats per a les funcions definides de forma implícita que s’assenyalen: a[pT]) 3x^2 + y^2 − ex^ = 0 x = 0, y = 1 ;
b[ex.]) cos(x + y) = x +
2 x^ = 0, y^ =^
π
3.6 [pT] Estudieu si f (x, y, z) = 0, on f (x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + z^2 − 8 xz − z + 8, defineix la variable z com funció implícita de x i de y en un entorn del punt (2, 0 , 1). En cas afirmatiu calculeu ∂z/∂x i ∂z/∂y.
4. Integració de funcions de diverses variables
Integrals depenents d’un paràmetre
4.1 [P] Considereu la funció gamma:
Γ(s) =
∫ (^) ∞
0
ts−^1 e−tdt s > 0.
Demostreu que: a) Γ(s + 1) = s Γ(s), b) si n és un enter positiu, Γ(n + 1) = n!.
4.2 [P] Calculeu la derivada de la funció
F (x) =
∫ (^) x 2
0
dt log^ xt t + 1
on x ≥ 0. Particularitzeu per F ′(1).
4.3 [pT] Calculeu la integral
∫ (^) ∞
0
e−αx^ dx (α > 0 ) i, a partir d’ella, trobeu
∫ (^) ∞
0
xne−αxdx, derivant respecte α.
4.4 [ex.] Considereu la integral
In(a) =
∫ (^) ∞
0
dx xn^ e−ax^2 ,
on n = 0, 2 , 4 , .... i a > 0. a) Demostreu que I n′(a) = −In+2(a). b) Sabent que In=0(a = 1) =
π/ 2 , trobeu In(a) (n parell).
4.5 [pT] Fent servir derivació respecte d’un paràmetre trobeu
∫ (^1)
0
dx
xλ(x − 1) ln x ,^ λ^ ≥^0 , sabent que (^) ∫ 1 0
dx xln^ − x^1 = ln 2.
4.6 [P] Calculeu la funció I(x) definida per la integral
I(x) =
∫ (^) ∞
0
e−y^1 −^ e
− 2 xy y
dy,
essent x > − 1 / 2. [Ajut: Quant val I(x = 0)?].
4.7 [P] Calculeu la funció I(x)
I(x) =
∫ (^) ∞
0
e−xy^
sin y y dy amb x ≥ 0. Useu el resultat per trobar el valor de la integral ∫ (^) ∞
0
sin x x
dx.
Integrals dobles
4.8 [P] Calculeu les integrals dobles següents: a)
∫ ∫ (√y + x − 3 xy^2 ) dxdy [0, 1] × [1, 3].
b)
∫ ∫ sin(x + y) dxdy [0, π] × [0, π].
4.9 [P] Avalueu la integral doble de la funció f (x, y) = x + y en la regió compresa entre les paràboles y = 2x^2 , y = 1 + x^2.
4.10 [pT] Una làmina molt prima està limitada per l’arc de paràbola y = 2x − x^2 i l’interval
0 ≤ x ≤ 2. Determineu la seva massa si la densitat superficial és σ(x, y) = 3 + 2 1 + xy.
4.11 [P] Calculeu el volum de la intersecció entre els cilindres x^2 + y^2 = 1, (x − 1)^2 + (y − 1)^2 = 1; el pla z = 0 i la superfície z = xy.
4.12 [pT] Calculeu el volum del domini comprès entre el primer quadrant (x, y ≥ 0 ) dels cilindres
el.líptics x^2 +
( (^) y 2
) 2 = 1, 4 x^2 + 16y^2 = 1; el pla z = 0 i la superfície z = 2y
Canvis de variables
4.13 [P] Trobeu l’àrea del cardioide (recinte limitat per la corba r(θ) = a(1 + cos θ)), expressada en coordenades polars (a > 0 ).
4.14 [P] Calculeu la integral doble (^) ∫ ∫
D
dx dy (3y − x),
on la regió d’integració D és el triangle isòscel.les amb vèrtexs als punts (0, 0), (1, 2), (2, 1). Per això, efectueu el canvi de variables x − y = u, x + y = 3v.
4.15 [ex.] * Calculeu la integral
∫ ∫ (x + y)^3 dxdy estesa al paral·lelogram limitat per les rectes x + y = 1, x + y = 4, x − 2 y = 1 i x − 2 y = − 2 utilitzant el canvi de variable u = x + y, v = x − 2 y. Dibuixeu el corresponent domini d’integració en el pla xy i en el pla uv.
4.16 [P] Sigui D el domini de R^2 delimitat per les rectes x + y = 1, x = 0 i y = 0. Calculeu la integral (^) ∫ ∫
D
cos
( (^) x − y x + y
) dxdy
mitjançant el canvi de variables u = x − y i v = x + y. Dibuixeu el domini D′^ transformat del domini D sota el canvi esmentat.
4.17 [P] * Donat el recinte D = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1 }, calculeu la integral ∫ ∫ D
ex+y^ dxdy.
4.18 [pT] Considereu el canvi de variables (x, y) −→ (u, v) definit per
xy = u ,
x y =^ v.
4.29 [P] Calculeu el moment d’inèrcia d’un con de revolució i de densitat uniforme: a) Respecte el seu eix. b *) Respecte un diàmetre de la base.
4.30 [pT] Calculeu el moment d’inèrcia d’un cilindre homogeni, de radi R i alçada h, respecte d’un diàmetre (eix x) de la secció transversal que passi pel centre de massa (0, 0). [Podeu usar el fet que, per simetria, Ix = Iy, i calcular més fàcilment Ix =
2 (Ix^ +^ Iy).)
4.31 [P] a) Trobeu el volum determinat per la intersecció del con de base circular de radi R, centrat
a l’origen i d’alçada h i el cilindre x^2 +
( y − R 2
) 2
( R
) 2
. Podeu fer-ho en coordenades cilíndriques. b) Trobeu el volum comú a una esfera de radi R i el mateix cilindre de l’apartat anterior.
4.32 [P] Trobeu el volum de la regió comú als cilindres (perpendiculars) x^2 + y^2 = a^2 i x^2 + z^2 = a^2. Es suggereix fer-ho en coordenades cartesianes.
5. Successions i sèries
Successions numèriques
5.1 [P] Proveu que la successió definida per: a 1 =
2 , a 2 =
2 + a 1 ,.. ., an =
2 + an− 1 és convergent i calculeu-ne el límit. Ajut: podeu demostrar que monòtona creixent i fitada superiorment.
5.2 [pT] Considereu la successió de Fibonacci Fn =
( 1 +
)n A +
( 1 −
)n B, on A, B, són positius. a) Comproveu Fn+2 = Fn+1 + Fn, és a dir, cada nou terme és la suma dels dos anteriors (cal especificar els dos primers, que fixen els valors de A i de B). b) Condidereu el cas F 0 = 0, F 1 = 1. Trobeu els valors d’A i B per aquest cas i escriviu explícitament el deu termes següents. c) Considereu la sèrie dels quocients consecutius (an = Fn+1/Fn). Calculeu el límit de an per n → ∞ i comproveu que el seu valor és la raó àurea = 1 +^
= 1. 61803 ..., indepedent del que valguin A 6 = 0 i B.
[Pot ser útil notar que 1 −
.]
5.3 [pT] Calculeu el límit: (^) nlim→∞
{√ n^2 + n + 1 − an
} per a qualsevol valor de a.
Sèries numèriques
5.4 [ex.] Esbrineu la convergéncia de les séries següents amb el criteri del quocient (de d’Alembert):
a)
∑^ ∞ 1
3 n n! ,^ b)
∑^ ∞ 1
2 nn^3 n! ,^ c)
∑^ ∞ 1
2 nn! nn^ ,^ d)
∑^ ∞ 1
(n!)^2 (2n)! ,
e)
∑^ ∞ 1
3 n 2 nn^3
, f)
∑^ ∞ 1
enn! nn^
, g)
∑^ ∞ 1
3 n − 1 (
2)n^
5.5 [ex.] Esbrineu la convergència de les sèries següents amb el criteri de l’arrel (de Cauchy):
a)
∑^ ∞ n=
n 5 n^
, b)
∑^ ∞ n=
( (^) n n + 1
)n 2 , c)
∑^ ∞ n=
( n^2 + 1 2 n^2 + 1
)n ,
5.6 [pT] Convergeixen les sèries següents?
a)
∑^ ∞ 1
n + 1 +
n ,^ b)
∑^ ∞ 1
n (n + 4)^2 ,
c)
∑^ ∞ 1
( (^) n 2 n^ + 1
)n , d)
∑^ ∞ 1
( n^2 + 1 n^2 − 1
)n 2 .
5.7 [P] Estudieu la convergència de la sèries usant el criteri de la integral:
a)
∑^ ∞ n=
arctan n 1 + n^2
, b)
∑^ ∞ n=
n + 2 (n + 1)^2 (n^2 + 1)
c)
∑^ ∞ n=
n(log n)q^
, en funció de q > 0.
5.8 [pT] Estudieu la convergència de:
a)
∑^ ∞ n=
n^3 e−n, b)
∑^ ∞ n=
pnnp^ amb p > 0.
5.9 [P] Esbrineu la convergència de les séries següents:
a)
∑^ ∞ 1
(− √1)n+ n
, b)
∑^ ∞ n=
(−1)n+1^ n n^2 + 1
, c)
∑^ ∞ n=
(−1)n^2
n+ 3 n+1(n + 1)
