¡Descarga calculo para estudiar y más Diapositivas en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!
Catálogo
Clase Nro. 4 ··································································································································································· 1
Clase Nro. 5 ································································································································································· 15
Clase Nro. 6 ································································································································································· 24
Videos de interes_S2 ··················································································································································· 38
Quita marcas de agua PDFelement
DERIVACIÓN
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y DERIVACIÓN
IMPLÍCITA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
ING. OSWALDO LATORRE GARZÓN
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
1.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS
Ahora consideremos funciones como sen 2 x , arcSen 2 x , que se llaman
funciones trigonométricas para distinguirlas de las funciones algebraicas que hemos
estudiado hasta aquí.
Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la
variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aquí se tiene que una función
trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el dominio de
una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y las funciones
trigonométricas sí son una función.
FUNCION FORMA DOMINIO RANGO GRAFICO
Seno 𝑦 = Sen (𝑥) [−
]
Coseno 𝑦 = Cos (𝑥)^ [0; π]^ |𝑦| ≤ 1
Tangente 𝑦 = Tg (𝑥) ] −
[
Cotangente 𝑦 = Ctg (𝑥)
] 0; π [
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
Secante 𝑦 = Sec (𝑥)^
[ 0;
[ ∪ ]
; 𝜋 ]
Cosecante (^) 𝑦 = Csc (𝑥) [−
; 0 [ ∪ ] 0;
]
Algunas de las identidades trigonométricas que se utilizan en Cálculo Diferencial son:
Pitagóricas
2 (𝛼) + 𝑐𝑜𝑠
2 (𝛼) = 1 1 + 𝑐𝑡𝑔
2 (𝛼) = 𝑐𝑠𝑐
2 (𝛼) 𝑡𝑔
2 (𝛼) + 1 = 𝑠𝑒𝑐
2 (𝛼)
Recíprocas
𝑠𝑒𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑡𝑔(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼)^ 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑡𝑔(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼)^ 𝑡𝑔(𝛼) ∙ 𝑐𝑠𝑐(𝛼) = 𝑠𝑒𝑐(𝛼)
Ángulos opuestos
Reducción de ángulos al I cuadrante ∀ 0 ≤ 𝛼 ≤
𝜋
2
II Cuadrante III Cuadrante
+ 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼)^
+ 𝛼) = −𝑠𝑒𝑛(𝛼)^
+ 𝛼) = −𝑐𝑡𝑔(𝛼)^
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
Transformaciones de productos a sumas:
𝑠𝑒𝑛(𝛼)^ ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽)^ =
[ 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) + 𝑠𝑒𝑛( 𝛼 − 𝛽) ]
𝑠𝑒𝑛(𝛼)^ ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛽)^ =
[ 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠( 𝛼 + 𝛽) ]
[ 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠( 𝛼 − 𝛽) ]
Vamos a demostrar la derivada de la función seno, coseno y tangente
I. DERIVADA DEL COSENO
Sea y f x cos x
Según la regla general considerando v como la variable independiente, tenemos
PRIMER PASO y^ ^ y cos^ x ^ x
SEGUNDO PASO y cos x x y
y cos x x cos x
Para poder calcular el límite en el cuarto paso debemos transformar el segundo miembro
utilizando identidades trigonométricas de sumas a productos, es decir:
cos cos 2
A B
sen
A B
A B sen
Haciendo A x x , B x
A B x x x 2 x x y A B x x x x
Entonces 2 2
x A B v x
A B x x
Sustituyendo
cos cos 2
x sen
x x x x sen x
Luego
x sen
x y sen x
TERCER PASO
x
x sen x sen x x
x sen
x sen x
x
y (^) 2
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
x
v sen
x sen x
x
x sen x sen x x
y
CUARTO PASO
lim lim (^0 0) x
v sen x sen x x
y
x x
lim 2
lim lim (^0 00) x
v sen x sen x x
y
x x x
Puesto que 1
lim 0
x
x sen
x
y sen x
x sen x x
lim 0
sen x dx
dy
x sen x dx
d cos
II. DERIVADA DEL COSENO
Sea y cos x
Podemos escribir
y sen x 2
Derivando tenemos
x dx
d x dx
dy
cos
Puesto que x (^) sen x
cos
sen x 1 dx
dy
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
II. dx
dv v senv dx
d cos
III. dx
dv tg v v dx
d (^) 2 sec
IV. dx
dv ctg v v dx
d (^) 2 csc
V. dx
dv v v v dx
d sec sec tan
VI. dx
dv v vctg v dx
d csc csc
Ejemplo 1: Derivar la función
2 y sen ax
Solución:
2 2 cos ax dx
d ax dx
dy
ax dx
dv v ax 2
2
2 2 ax cos ax dx
dy
Ejemplo 2: Derivar la función y tg 1 x
Solución: ^2
2 1 sec 1 1 x dx
d x dx
dy
dx x
dv v x
x
x
dx
dy
x
x dx
dy
sec 1
sec 1
2
2
Ejemplo 3: Derivar la función y x
3 cos
Solución: Esta función puede escribirse en la forma
3 y cos x
x dx
d x dx
dy 3 cos cos
2
v cos x y n 3
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
x sen x dx
dy
x sen x dx
dy
2
2
3 cos
3 cos
2.- DERIVACIÓN IMPLÍCITA
FUNCIONES EXPLICITAS E IMPLÍCITAS
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación 4 3
2 y x , dónde la variable y está
escrita explícitamente como función de x.
Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación.
f x , y , c 0
La función x
y
, viene definida implícitamente por la ecuación xy 1. Si
queremos hallar la derivada
dx
dy para esta última ecuación, lo hacemos despejando y , así
x x
y , obteniendo su derivada fácilmente 2
x
x dx
dy
.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El
problema es que si no se logra despejar y , es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar
dx
dy para la ecuación 2 4 2
2 3 x y y , donde resulta muy difícil despejar y como función
explícita de x?
MÉTODO DE LA REGLA DE LA CADENA
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será
la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será
necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Solución:
3 2 x 3 x dx
d Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
Extrayendo el factor común
dx
dy ,
y ax x y dx
dy x xy
3 6 7 5 2 2 7 6 6
Y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
3 6
7 5 2
x xy
y ax x y
dx
dy
MÉTODO DE DERIVADAS PARCIALES
En la derivación de funciones implícitas; mucho del trabajo anterior podría omitirse si
se utiliza derivadas parciales:
a) La derivada parcial de f x , y , c 0 respecto de “x” , se define como:
f x
Dx f dx
df ´'
b) La derivada parcial de f x , y , c 0 respecto de “y” , se define como:
f y (^) y D f dy
df ´'
Además, se debe utilizar la siguiente fórmula:
dy
df
dx
df
dx
dy
NOTA: Cuando se aplican las reglas de derivación se debe tener en cuenta la siguiente
recomendación:
a) En el proceso de hallar dx
df , “y” es una constante.
b) En el proceso de hallar dy
df , “x” es una constante.
Ejemplo 1: Hallar la
dx
dy , de la función implícita: 2 10
6 3 7 ax x y y x
Solución:
Primero,
5 2 7 6 ax 6 x y y dx
df
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
Segundo,
3 6 2 x 7 xy dy
df
Ahora el cociente, 3 6
5 2 7
x xy
ax x y y
dy
df
dx
df
dx
dy
Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
3 6
7 5 2
x xy
y ax x y
dx
dy
Ejemplo 2. Sea la función y 2 xy 7 3 x 1
3 , hallar la derivada dx
dy .
Solución:
En éste ejemplo, se utilizará la notación
dx
dy y´ para simplificar el manejo de la ecuación, así
como acostumbrar al estudiante a diferentes formas de escritura.
Se busca la derivada de la expresión y 2 xy 7 3 x 1
3 .
De la regla de la cadena, se sabe que
dx
du
dx
df f ux dx
d , lo cual puede expresarse para
potencias como
dx
du u x u dx
d (^) n n 1 .
Por lo tanto 3 '
3 3 ' 2 y y y y dx
d .
En el segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tal,
2 xy ´ 2 x ´ y 2 xy ´ 2 y 2 xy ´.
Por lo tanto, nos quedaría:
y x
y y
y y x y
y y xy y
y y y xy
2
2
2
2
Quita marcas de agua PDFelement
DERIVACIÓN
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
ING. OSWALDO LATORRE GARZÓN
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
Contenido
Título Derivación de la función inversa, funciones trigonométricas inversas
Duración 2 horas (1 hora de derivación de la función inversa y 1 hora de
derivación de funciones trigonométricas inversas)
Información general Si una función es biyectiva en todo su dominio, entonces posee
función inversa.
Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un
intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y
estrictamente creciente (decreciente).
Objetivo Resolver ejercicios con funciones inversas y funciones trigonométricas
inversas aplicando propiedades para simplificar las funciones.
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
I.
dy
dy dx
dx x f y
' 1 '^1
Por lo tanto
II.
dy
dx dx
dy 1 (^) siendo y función de x
Ejemplo: Encontrar
dy
dx x (^) y Dyx
'
2 y x
Derivamos la función
2 f x x , su derivada es f x 2 x
' , entonces:
f x
x '
x
x 2
De la función original
2 y x despejamos x , es decir nos queda x y que
reemplazamos en la derivada anterior.
y
x 2
2.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la
variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aquí se tiene que la inversa de
una función trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el
dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la
función trigonométrica sí es una función.
FUNCION FORMA DOMINIO RANGO GRAFICO
Arco Seno 𝑦 = Arc Sen (𝑥)^ |𝑥| ≤ 1 [−
]
Quita marcas de agua PDFelement
Semana # 2
Arco
Coseno
𝑦 = Arc Cos (𝑥)^ |𝑥| ≤ 1
[0; π]
Arco
Tangente
𝑦 = Arc Tg (𝑥)^ ] −
[
Arco
Cotangente
𝑦 = Arc Ctg (𝑥)^ ] 0; π [
Arco
Secante
𝑦 = Arc Sec (𝑥)^ |𝑥| ≥ 1
[ 0;
[ ∪ ]
; 𝜋 ]
Arco
Cosecante
𝑦 = Arc Csc (𝑥) |𝑥| ≥ 1
[−
; 0 [ ∪ ] 0;
]
Algunas de las identidades trigonométricas inversas que se utilizan son:
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 [^ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)^ ]^ = 𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 [ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ] = 𝑥
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 [^ 𝑡𝑔(𝑥)^ ]^ = 𝑥
Quita marcas de agua PDFelement
