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Catálogo
- CONTENIDO SEMANA 5 Y VIDEOS DE INTERES ······································································································
- Clase Nro.13 ·······················································································································································
- Clase Nro.14 ·······················································································································································
- Clase Nro.15 ·····················································································································································
- .Videos de interés ························································································································································
Catálogo
Clase Nro.13 ·································································································································································· 1 Clase Nro.14 ·································································································································································· 7 Clase Nro.15 ································································································································································ 14
Semana # 5
Contenido
Título (^) Derivadas de orden superior para ecuaciones definidas de forma paramétrica.
Duración 2 horas
Información general Derivadas sucesivas de ecuaciones paramétricas.
Objetivo (^) Obtener las derivadas de orden superior para funciones definidas en forma paramétrica.
Semana # 5
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
EN CURVAS PARAMÉTRICAS
Consideremos dos funciones 𝑓 y 𝑔 derivables en un intervalo [𝑎, 𝑏], tal que:
En las ecuaciones paramétricas, la 𝑑𝑦𝑑𝑥 , donde x e y están dadas en forma paramétrica, se
obtienen aplicando la regla de la cadena, es decir buscamos la derivada de y respecto a x en términos de las derivadas de x e y respecto a t.
Por eso
𝑦′(𝑥) =
𝑥′(𝑡)^ ∀^ 𝑥
Para obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir
dx
dy dx
d dx
d y 2
2 , y si dividimos por dt , nos queda:
dt
dx
dx
dy dt
d
dx
d y
2
x t
x t
y t dt
d
dx
d y '
'
'
2
x t
x t
x t y t y t x t
dx
d y '
'^2
' '' ' ''
2
2
Y para obtener la enésima derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir
Semana # 5
a Sen t
Csc t Csct Ctgt a
b
dx
d y
2 2 3
3
3
Csc t Ctg t a
b dx
d y (^4) 3 3
2.- Determinar la derivada
n
n dx
d y si
y t^ m
x Lnt
Solución: Determinamos las derivadas de x e y con respecto a t:
m tm ^1 dt
dy 1 t 1 dt t
dx
La primera derivada es
dt
dx
dt
dy
dx
dy (^) m m tm t
m t dx
dy (^)
1
1
La segunda derivada es
dt
dx
dx
dy dt
d
dx
d y
2
m m
m m t t
m t t
m t dt
d
dx
d y
2 1
2 1 2 1
2
La tercera derivada es
dt
dx
dx
d y dt
d
dx
d y
2
2
3
3
m m
m m t t
m t t
m t dt
d
dx
d y
3 1
3 1 1
2
3
3
La enésima derivada es
n n m
n
n
n m t dt
dx
dx
d y dt
d
dx
d y
1
1
Semana # 5
BIBLIOGRAFÍA
Espinoza R. Eduardo, Análisis Matemático I. Tercera edición. 2002. Ediciones Perú.
Larson R. & Bruce E. Cálculo 1 de una variable. Novena Edición. 2010. McGraw Hill.
Semana # 5
Contenido
Título (^) Derivadas de orden superior para ecuaciones definidas de forma polar.
Duración 2 horas
Información general Derivadas sucesivas de ecuaciones polares e implícitas.
Objetivo (^) Obtener las derivadas de orden superior para funciones definidas en forma polar.
Semana # 5
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
EN CURVAS POLARES
Consideremos la curva polar derivable en un intervalo [𝑎, 𝑏], tal que: 𝑟 = 𝑓(𝜃) En las curvas polares, para determinar la 𝑑𝑦𝑑𝑥 , se debe pasarla a la forma paramétrica, y se
obtienen aplicando la regla de la cadena, es decir buscamos la derivada de y respecto a x en términos de las derivadas de x e y respecto a t.
𝑟 = 𝑓(𝜃)^ {
Por eso
𝑦′(𝑥) =
𝑥′(𝜃)^ ∀^ 𝑥
Para obtener la segunda derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es decir
dx
dy dx
d dx
d y 2
2 , y si dividimos por dt , nos queda:
d
dx
dx
dy d
d
dx
d y
2
'
'
'
2
2 x
x
y dt
d
dx
d y
'
'^2
' '' ' ''
2
2 x
x
x y y x
dx
d y
Y para obtener la enésima derivada, se aplica nuevamente la regla de la cadena, es
decir
Semana # 5
- Dada la función x^2 4 xy y^2 3 0. Hallar la dx
dy y 2
2 dx
d y en el punto P 2 ; 1
Solución:
La primera derivada es (^2 4) 2 0
^
dx
y dy dx
x y x dy
2 4 4 2 0 dx
y dy dx
x y x dy
(^) 2 (^) (^2) 0 dx
x y x y dy
x y
x y dx
dy
Entonces la primera derivada en el punto P ^2 ;^ ^1 es:
2 ; 1
dx P
dy
La segunda derivada es
(^2) 2
2 2
x y
dx
x y dy dx
x y dy dx
d y
^
^
(^2) 2
2 2
x y
dx
x y x y dy dx
x y x y dy dx
d y
(^2) 2
2 2
x y
dx
x y x y x y x y dy dx
d y
(^2) 2
2 2
x y
dx
x y x y x y x y dy dx
d y
(^2) 2 2
2 2
x y
dx
y x dy x y
dx
y x dy dx
d y
Entonces la segunda derivada en el punto P 2 ; 1 donde
2 ; 1
dxP
dy es:
(^22) ; 1 2 2
2 4 1
dx P
d y
Semana # 5
^ ^3
2 2 ; 1
2
2 dx P
d y
ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplos 1.- Demostrar que la función f x ex^ 2 e^2^ x , satisface la ecuación:
f ''^ ' x 6 f '' x 11 f ' x 6 f x 0
Solución: La primera derivada es f ' ^ x ex^ 4 e^2^ x
La segunda derivada es f ''^ x ex^ 8 e^2^ x
La tercera derivada es f ' ^ x ex^ 16 e^2^ x
Estas derivadas reemplazamos en la ecuación a ser demostrada y nos queda: f ''^ ' x 6 f '' x 11 f ' x 6 f x 0 ex^ 16 e^2 x 6 e x 8 e^2 x 11 e x 4 e^2 x 6 e x 2 e^2 x 0 ex^ 16 e^2 x 6 ex 48 e^2 x 11 ex 44 e^2 x 6 ex 12 e^2 x 0 ex^ 1 6 11 6 e^2 x 16 48 44 12 0 ex^ 0 e^2 x 0 0 0 0 Entonces la función si es solución de la ecuación diferencial.
- Sí f^ x^ a Sen ^3 x ^ b Cos ^3^ x . Hallar los valores de a y b para que se cumpla la
igualdad f '^ ' x 4 f ' x 3 f x 10 Cos 3 x
Solución: La primera derivada es f^ ' ^ x^ ^3 a Cos ^3 x ^ ^3 b Sen ^3^ x
La segunda derivada es f ''^ x 9 a Sen 3 x 9 b Cos 3 x Estas derivadas reemplazamos en la ecuación a ser demostrada y nos queda: f ''^ x 4 f ' x 3 f x 10 Cos 3 x 9 a Sen 3 x 9 b Cos 3 x 4 3 a Cos 3 x 3 b Sen 3 x 3 a Sen 3 x b Cos 3 x 10 Cos 3 x Sen 3 x 9 a 12 b 3 a Cos 3 x 9 b 12 a 3 b 10 Cos 3 x 6 a 12 b Sen 3 x 6 b 12 a Cos 3 x 10 Cos 3 x
DERIVACIÓN
FÓRMULA DE LEIBNIZ DE LA DERIVADA ENÉSIMA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ÁREA DE ANÁLISIS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
Semana # 5
Contenido
Título Fórmula de Leibniz de la derivada enésima y ejercicios de aplicación de la fórmula de Leibniz.
Duración 2 horas
Información general Detalle y aplicación de la Fórmula de Leibniz de la derivada enésima y realizar aplicaciones de la Fórmula de Leibniz.
Objetivo Obtener la enésima derivada de productos de funciones.
Semana # 5
De donde
𝑦(𝑛)^ = ∑^ (
𝑛
𝑘= 0
𝑢(𝑛−𝑘)^ ∙ 𝑣(𝑘)
Sí 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) entonces la derivada enésima es:
𝐷𝑥(𝑛)[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]^ = ∑ (
𝑛
𝑘= 0
𝐷𝑥^ (𝑛−𝑘)𝑓(𝑥)^ ∙ 𝐷𝑥^ (𝑘)𝑔(𝑥)
Propiedades del factorial de un número y de los coeficientes binomiales
- 0! = 1
- 1! = 1
- 2! = 2 ∙ 1 = 2
- 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3 ∙ 2! = 6
- 𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)!
- (𝑚𝑛) = (^) 𝑚!∙(𝑛−𝑚)!𝑛!
- (𝑛 0 ) = (^) 0!∙(𝑛−0)!𝑛! = (^) 0!∙𝑛!𝑛! = 1
- (𝑛𝑛) = (^) 𝑛!∙(𝑛−𝑛)!𝑛! = (^) 𝑛!∙0!𝑛! = 1
- (𝑛 0 ) = (𝑛𝑛)
- (𝑛 1 ) = (^) 1!∙(𝑛−1)!𝑛! = 𝑛∙(𝑛−1)!(𝑛−1)! = 𝑛
- (𝑛 1 ) = ( (^) 𝑛−1𝑛) = 𝑛
- (𝑛 2 ) = (^) 2!∙(𝑛−2)!𝑛! = 𝑛∙(𝑛−1)∙(𝑛−2)!2∙(𝑛−2)! = 𝑛∙(𝑛−1) 2
- (𝑛 2 ) = (^ 𝑛−2𝑛) = 𝑛∙(𝑛−1) 2
Ejemplos:
1.- Determinar la derivada enésima de 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥^ ∙ 𝑥^2
Solución: Entonces hacemos 𝑢 = 𝑒𝑎𝑥^ y 𝑣 = 𝑥^2 , de las que determinamos sus derivadas sucesivas y tenemos: La primera derivada 𝑢′^ = 𝑎 ∙ 𝑒𝑎𝑥^ 𝑣′^ = 2𝑥 La segunda derivada 𝑢′′^ = 𝑎^2 ∙ 𝑒𝑎𝑥^ 𝑣′′^ = 2 La tercera derivada 𝑢′′′^ = 𝑎^3 ∙ 𝑒𝑎𝑥^ 𝑣′′′^ = 0 La derivada enésima 𝑢(𝑛)^ = 𝑎𝑛^ ∙ 𝑒𝑎𝑥^ 𝑣(𝑛)^ = 0
Entonces aplicamos la fórmula de Leibniz para la derivada enésima del producto de dos funciones. 𝑦(𝑛)^ = (𝑛 0 )𝑢(𝑛)𝑣 + (𝑛 1 )𝑢(𝑛−1)𝑣′^ + (𝑛 2 )𝑢(𝑛−2)𝑣′′^ + 0 + ⋯ + 0
Semana # 5
𝑦(𝑛)^ = 𝑎𝑛^ ∙ 𝑒𝑎𝑥^ ∙ 𝑥^2 + 𝑛 ∙ 𝑎𝑛−1^ ∙ 𝑒𝑎𝑥^ ∙ (2𝑥) + 𝑛∙(𝑛−1) 2 ∙ 𝑎𝑛−2^ ∙ 𝑒𝑎𝑥^ ∙ (2)
𝑦(𝑛)^ = 𝑎𝑛−2^ ∙ 𝑒𝑎𝑥^ ∙ [𝑎^2 𝑥^2 + 2𝑎𝑛𝑥 + 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)]
2.- Determinar la 𝑦(𝑉)^ derivada de 𝑦 = 𝑒𝑥^ ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥)
Solución: Entonces hacemos 𝑢 = 𝑒𝑥^ y 𝑣 = 𝑆𝑒𝑛(3𝑥), de las que determinamos sus derivadas sucesivas y tenemos: La primera derivada 𝑢′^ = 𝑒𝑥^ 𝑣′^ = 3 ∙ 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) La segunda derivada 𝑢′′^ = 𝑒𝑥^ 𝑣′′^ = −3^2 ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) La tercera derivada 𝑢′′′^ = 𝑒𝑥^ 𝑣′′′^ = −3^3 ∙ 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) La derivada enésima 𝑢(𝑛)^ = 𝑒𝑥^ 𝑣(𝑛)^ = 3𝑛^ ∙ 𝑆𝑒𝑛 (3𝑥 + 𝑛𝜋 2 )
Entonces aplicamos la fórmula de Leibniz para la 𝑦(𝑉)^ derivada del producto de dos funciones. 𝑦(𝑛)^ = (𝑛 0 )𝑢(𝑛)𝑣 + (𝑛 1 )𝑢(𝑛−1)𝑣′^ + (𝑛 2 )𝑢(𝑛−2)𝑣′′^ + ⋯ + ( (^) 𝑛−2𝑛 )𝑢′′𝑣(𝑛−2)^ + ( (^) 𝑛−1𝑛 )𝑢′𝑣(𝑛−1)^ + +(𝑛𝑛)𝑢𝑣(𝑛)
𝑦(𝑉)^ = (^55 )𝑢(𝑉)𝑣 + (^51 )𝑢(𝐼𝑉)𝑣′^ + (^52 )𝑢(𝐼𝐼𝐼)𝑣′′^ + (^53 )𝑢′′𝑣′′′^ + (^54 )𝑢′𝑣(𝐼𝑉)^ + +(^55 )𝑢𝑣(𝑉)
𝑦(𝑉)^ = 𝑒𝑥^ ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) + 5 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ [3𝐶𝑜𝑠(3𝑥)] − 10 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ [9𝑆𝑒𝑛(3𝑥)] − 10 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ [27𝐶𝑜𝑠(3𝑥)] + 5 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ [81𝑆𝑒𝑛(3𝑥)] + 𝑒𝑥^ ∙ [243𝐶𝑜𝑠(3𝑥)]
𝑦(𝑉)^ = 𝑒𝑥^ ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) + 15 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) − 90 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) − 270 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) + 245 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) + 243 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ 𝐶𝑜𝑠(3𝑥)
𝑦(𝑉)^ = 𝑒𝑥^ ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) ∙ (1 − 90 + 245) + 𝑒𝑥^ ∙ 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) ∙ (15 − 270 + 243) 𝑦(𝑉)^ = 156 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) − 12 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ 𝐶𝑜𝑠(3𝑥) 𝑦(𝑉)^ = 12 ∙ 𝑒𝑥^ ∙ [13 ∙ 𝑆𝑒𝑛(3𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(3𝑥)]
- Determinar la derivada y(8), si y = (3x^2 − 2x + 5)e2x^ , Solución: Entonces hacemos 𝑢 = 𝑒2𝑥^ y 𝑣 = 3x^2 − 2x + 5, de las que determinamos sus derivadas sucesivas y tenemos: La derivada cero u(x) = e2x^ v(x) = 3x^2 − 2x + 5 La primera derivada u′(x) = 2e2x^ v′(x) = 6x − 2 La segunda derivada u′′(x) = 4e2x^ v′′(x) = 6 La tercera derivada u′′′(x) = 8e2x^ v′′′(x) = 0 La derivada enésima u(n)(x) = 2ne2x^ v(n)^ = 0 n > 2
