THOMAS
CÁLCULO
UNA VARIABLE
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Asignatura: Cálculo I, Profesor: , Carrera: Ingeniería en Tecnologías Industriales, Universidad: UMA
Tipo: Apuntes
2016/2017
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T H O M A S
C Á L C U L O
U N A V A R I A B L E
UNDÉCIMA EDICIÓN
REGLAS DE DERIVACIÓN
Fórmulas generales
Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x.
Funciones trigonométricas
Funciones exponenciales y logarítmicas
d dx a x^ = a x^ ln a d dx slog a x d =
x ln a
d dx e x^ = e x^ d dx ln x =
x
d dx scot x d = -csc^2 x d dx scsc x d = -csc x cot x
d dx stan x d = sec^2 x d dx ssec x d = sec x tan x
d dx ssen x d = cos x d dx scos x d = -sen x
d dx Regla de la cadena: sƒs g s x dd = ƒ¿s g s x dd #^ g ¿s x d
d dx Potencia: x n^ = nx n^ -^1
d dx a u y b^ =
y du dx
- u d y dx y^2
Cociente:
d dx s u yd = u d y dx
- y du dx Producto:
d dx s cu d = c du dx Múltiplo constante:
d dx s u - yd = du dx
d y dx Diferencia:
d dx s u + yd = du dx
d y dx Suma:
d dx Constante: s c d = 0
Funciones trigonométricas inversas
Funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas
Ecuaciones paramétricas Si y son diferenciables, entonces
y ¿ =
dy dx
dy > dt dx > dt
y
d^2 y dx^2
dy ¿> dt dx > dt
x = ƒs t d y = g s t d
d dx scoth-^1 x d = 1 1 - x^2
d dx scsch-^1 x d = - 1 ƒ x^ ƒ 21 +^ x^2
d dx stanh-^1 x d = 1 1 - x^2
d dx ssech-^1 x d = - 1 x 21 - x^2
d dx ssenh-^1 x d = 1 21 + x^2
d dx scosh-^1 x d = 1 2 x^2 - 1
d dx scoth x d = -csch^2 x d dx scsch x d = -csch x coth x
d dx stanh x d = sech^2 x d dx ssech x d = -sech x tanh x
d dx ssenh x d = cosh x d dx scosh x d = senh x
d dx scot-^1 x d = - 1 1 + x^2
d dx scsc-^1 x d = - 1 ƒ x^ ƒ^2 x^2 -^1
d dx stan-^1 x d = 1 1 + x^2
d dx ssec-^1 x d = 1 ƒ x^ ƒ^2 x^2 -^1
d dx ssen-^1 x d = 1 21 - x^2
d dx scos-^1 x d = - 1 21 - x^2
Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas’ calculus 11 th^ ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright © 2005. All rights reserved. ISBN 0-321-
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Thomas’ calculus 11 a^ ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright © 2005. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño
Datos de catalogación bibliográfica
THOMAS, JR., GEORGE B. Cálculo. Una variable. Undécima edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006 ISBN: 970-26-0643- Área: Universitarios Formato: 21 × 27 cm Páginas: 824
Edición en inglés: Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton
Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: © Benjamin Mendlowitz
UNDÉCIMA EDICIÓN, 2006
D.R. © 200 6 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: [email protected]
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 970-26-0643-
Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06
Dedicado a
Ross Lee Finney III
(1933-2000)
profesor, mentor, autor,
gran persona, y amigo de todos
CONTENIDO
Prefacio ix
a (^) a x x
- 1 Preliminares Volumen I - 1.1 Los números reales y la recta real - 1.2 Rectas, círculos y parábolas - 1.3 Funciones y sus gráficas - 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos - 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas - 1.6 Funciones trigonométricas - 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras - PREGUNTAS DE REPASO - EJERCICIOS DE PRÁCTICA - E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- 2 Límites y continuidad
- 2.1 Razón de cambio y límites
- 2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites
- 2.3 La definición formal de límite
- 2.4 Límites laterales y límites al infinito
- 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales
- 2.6 Continuidad
- 2.7 Tangentes y derivadas
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- 2 Límites y continuidad
- 3 Derivadas - 3.1 La derivada como una función - 3.2 Reglas de diferenciación
- 3.3 La derivada como razón de cambio
- 3.4 Derivadas de funciones trigonométricas
- 3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas
- 3.6 Diferenciación implícita
- 3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas
- 3.8 Linealización y diferenciales
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Aplicaciones de las derivadas
- 4.1 Valores extremos de una ecuación
- 4.2 El teorema del valor medio
- 4.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada
- 4.4 Concavidad y trazado de curvas
- 4.5 Problemas de optimización aplicados
- 4.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital
- 4.7 El método de Newton
- 4.8 Antiderivadas
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Integración
- 5.1 Estimación con sumas finitas
- 5.2 Notación sigma y límites de sumas finitas
- 5.3 La integral definida
- 5.4 El teorema fundamental del cálculo
- 5.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución
- 5.6 Sustitución y áreas entre curvas
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Aplicaciones de las integrales definidas - alrededor de un eje 6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación
- 6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos
- 6.3 Longitudes de curvas planas
- 6.4 Momentos y centro de masa
- 6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus
- 6.6 Trabajo
- 6.7 Presiones y fuerzas en fluidos - PREGUNTAS DE REPASO - EJERCICIOS DE PRÁCTICA - E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Funciones trascendentes
- 7.1 Funciones inversas y sus derivadas
- 7.2 Logaritmos naturales
- 7.3 La función exponencial
- 7.4 y log
- 7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales
- 7.6 Razones de crecimiento relativas
- 7.7 Funciones trigonométricas inversas
- 7.8 Funciones hiperbólicas
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Técnicas de integración
- 8.1 Fórmulas básicas de integración
- 8.2 Integración por partes
- 8.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales
- 8.4 Integrales trigonométricas
- 8.5 Sustituciones trigonométricas
- 8.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC)
- 8.7 Integración numérica
- 8.8 Integrales impropias
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- 9 Aplicaciones adicionales de integración - 9.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables - 9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden - 9.3 Método de Euler - 9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas - 9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden - PREGUNTAS DE REPASO - EJERCICIOS DE PRÁCTICA - E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- 10 Secciones cónicas y coordenadas polares Volumen II - 10.1 Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas - 10.2 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad - 10.3 Ecuaciones cuadráticas y rotaciones - 10.4 Cónicas y ecuaciones paramétricas; la cicloide - 10.5 Coordenadas polares - 10.6 Gráficas en coordenadas polares - 10.7 Áreas y longitudes en coordenadas polares - 10.8 Secciones cónicas en coordenadas polares - PREGUNTAS DE REPASO - EJERCICIOS DE PRÁCTICA - E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- 11 Sucesiones y series infinitas - 11.1 Sucesiones - 11.2 Series infinitas - 11.3 Criterio de la integral - 11.4 Pruebas de comparación - 11.5 Pruebas de la raíz y de la razón - 11.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional - 11.7 Series de potencias - 11.8 Series de Taylor y de Maclaurin - 11.9 Convergencia de series de Taylor; estimación de errores - 11.10 Aplicaciones de las series de potencias - 11.11 Series de Fourier - PREGUNTAS DE REPASO - EJERCICIOS DE PRÁCTICA - E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Los vectores y la geometría del espacio
- 12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales
- 12.2 Vectores
- 12.3 El producto punto
- 12.4 El producto cruz
- 12.5 Rectas y planos en el espacio
- 12.6 Cilindros y superficies cuádricas
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Los vectores y la geometría del espacio
- Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio
- 13.1 Funciones vectoriales
- 13.2 Cómo modelar el movimiento de un proyectil
- 13.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T
- 13.4 Curvatura y el vector unitario normal N
- 13.5 Torsión y el vector unitario binormal B
- 13.6 Movimiento de planetas y satélites - PREGUNTAS DE REPASO - EJERCICIOS DE PRÁCTICA - E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Derivadas parciales
- 14.1 Funciones de varias variables
- 14.2 Límites y continuidad en dimensiones superiores
- 14.3 Derivadas parciales
- 14.4 Regla de la cadena
- 14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente
- 14.6 Planos tangentes y diferenciales
- 14.7 Valores extremos y puntos de silla
- 14.8 Multiplicadores de Lagrange
- 14.9 Derivadas parciales con variables restringidas
- 14.10 Fórmula de Taylor para dos variables - PREGUNTAS DE REPASO - EJERCICIOS DE PRÁCTICA - E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Integrales Múltiples
- 15.1 Integrales dobles
- 15.2 Área, momentos y centros de masa
- 15.3 Integrales dobles en forma polar
- 15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares
- 15.5 Masas y momentos en tres dimensiones
- 15.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
- 15.7 Sustitución en integrales múltiples
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Integración en Campos Vectoriales
- 16.1 Integrales de línea
- 16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo
- y campos conservativos 16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales
- 16.4 Teorema de Green en el plano
- 16.5 Área de superficies e integrales de superficie
- 16.6 Superficies parametrizadas
- 16.7 Teorema de Stokes
- 16.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada
- PREGUNTAS DE REPASO
- EJERCICIOS DE PRÁCTICA
- E JERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS
- Apéndices AP-
- A.1 Inducción matemática AP-
- A.2 Demostración de los teoremas de límites AP-
- A.3 Límites que aparecen comúnmente AP-
- A.4 Teoría de los números reales AP-
- A.5 Números complejos AP-
- A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-
- A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-
- A.8 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-
- A.9 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-
- Respuestas R-
- Índice I-
- Breve tabla de integrales T-
- Créditos C-
PREFACIO
INTRODUCCIÓN Al preparar la undécima edición de Cálculo de Thomas, hemos querido mantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas. Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores características de las ediciones clásicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues- tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estándares en mente, hemos reconstruido los ejercicios y aclarado algunos temas de difícil comprensión. De acuerdo con el autor, George Thomas, “hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisión como ha sido posible”. Además, hemos restablecido los contenidos para que sean más lógicos y congruentes con los programas de estudio de mayor difusión. Al revisar esta labor en re- trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado a crear un texto de cálculo útil y atractivo para la siguiente generación de ingenieros y científicos. En su undécima edición, el texto no sólo presenta a los estudiantes los métodos y las aplicaciones del cálculo, sino que plantea también una manera de pensar totalmente mate- mática. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revela la teoría en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicación de ideas matemáticas. El cálculo tiene gran relación con muchos de los paradigmas clave de las matemáticas, y establece los fundamentos reales para la reflexión precisa y lógica en torno de temas físicos y matemáticos. Nuestro propósito se centra en ayudar a los estu- diantes a alcanzar la madurez matemática necesaria para dominar el material y aplicar sus conocimientos de manera íntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensión de lo analizado en las páginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creación valga la pena. Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarán bien instruidos en el lenguaje matemático que se necesita para aplicar los conceptos de cálculo a numerosas situaciones de ciencias e ingeniería. También estarán preparados para tomar cursos de ecuaciones diferenciales, álgebra lineal o cálculo avanzado.
Cambios en la undécima edición
EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje del cálculo. En esta edición hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecían en versiones anteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer- cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero los problemas computacionales para luego abordar los relativos a la teoría y las aplicaciones. Esta disposición permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los mé- todos del cálculo y adquieran una comprensión más profunda de sus aplicaciones en el marco de una estructura matemática coherente. ix
- Vectores^ Para evitar la repetición de los conceptos algebraicos y geométricos fun- damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones en un solo capítulo, el 12. A esta presentación le sigue el capítulo de funciones de valores vectoriales en el plano y en el espacio.
- Los números reales^ Hemos escrito un nuevo apéndice para analizar brevemente la teoría de los números reales y su aplicación en el cálculo.
ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de gran importancia en el aprendizaje del cálculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras de este libro, buscando mayor claridad en la relación entre éstas y los conceptos a que hacen referencia. Esto resulta especialmente evidente en las gráficas tridimensionales, en las que podemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotación (vea las figuras siguientes).
y
x
0 a x b
y R ( x ) y r ( x )
0 x
y y
0 x
( x , R ( x )) ( x , r ( x ))
Arandela
x x
4
1
0 2
y
y
x
x
⎛ ⎝
⎛ ⎝
2 y ,^ y
2 x y
2 x y
2 R ( y ) y
2 R ( y ) y
0
1
4
y
2
(a)
(b)
y
Prefacio xi
FIGURA 6.13, página 403 Las secciones transversales del sólido de rotación generado aquí son arandelas, no discos.
FIGURA 6.11, página 402 Determinación del volumen del sólido generado al hacer girar la región (a) alrededor del eje y.
Otras características
PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPÍTULO Además de los problemas que apare- cen después de cada sección, los capítulos terminan con preguntas de repaso, ejercicios prácticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayor envergadura. Asimismo, casi todos los capítulos incluyen la descripción de varios proyectos para que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos más largos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis- ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas.
EJERCICIOS DE DESARROLLO TEÓRICO Los ejercicios de desarrollo teórico que aparecen a lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedad de conceptos y aplicaciones del cálculo. Además, al final de cada capítulo se halla una lis- ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos de estos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido teórico.
RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando es adecuado; la corrección de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente.
EXACTITUD MATEMÁTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidado en afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemático. Cada definición, teorema, corolario y demostración han sido revisados para garantizar su clari- dad y exactitud matemática.
LEGILIBILIDAD Y APLICACIÓN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus- ca ser fácil de leer, interactivo y matemáticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordado con claridad, ilustrado con ejemplos de fácil comprensión y reforzado con aplicaciones a problemas reales que involucran el cálculo en ciencias e ingeniería, y que resultan de inte- rés para los estudiantes. Estos problemas de aplicación se han actualizado, mejorado y am- pliado a lo largo de las últimas ediciones.
TECNOLOGÍA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnológicas del cálculo, a partir de la décima edición esto resulta menos evidente dentro de los capítu- los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fácilmente la tecnología según los propósitos del profesor. Para ello, cada sección contiene ejercicios que requieren el uso de la tecnología, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:
- Con una^ si se requiere una calculadora o computadora para su resolución.
- Con el texto EXPLORACIÓN CON COMPUTADORA si se necesita un software matemático (como Maple o Mathematica ) para contestarlos.
Complementos multimedia y soporte en línea (en inglés)
MANUALES DE RECURSOS TECNOLÓGICOS Maple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State University Mathematica Manual , preparado por Marie Vanisko, de la California State University Stanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth College TI-Graphing Calculator Manual , por Luz DeAlba, de la Drake University. Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI- Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrece guía detallada para la integración de un paquete de software o una calculadora graficadora a lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.
T
xii Prefacio
xiv Prefacio
Jefatura de revisión Harry Allen, Ohio State University Rebecca Goldin, George Mason University Christopher Heil, Georgia Institute of Technology Dominic Naughton, Purdue University Maria Terrell, Cornell University Clifford Weil, Michigan State University
Revisión técnica Robert Anderson, University of Wisconsin–Milwaukee Charles Ashley, Villanova University David Bachman, California Polytechnic State University Elizabeth Bator, University of North Texas William Bogley, Oregon State University Kaddour Boukaabar, California University of Pennsylvania Deborah Brandon, Carnegie Mellon University Mark Bridger, Northeastern University Sean Cleary, The City College of New York Edward Crotty, University of Pennsylvania Mark Davidson, Louisiana State University Richard Davitt, University of Louisville Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus Anne Dougherty, University of Colorado Rafael Espericueta, Bakersfield College Klaus Fischer, George Mason University William Fitzgibbon, University of Houston Carol Flakus, Lower Columbia College Tim Flood, Pittsburg State University Robert Gardner, East Tennessee State University John Gilbert, The University of Texas at Austin Mark Hanish, Calvin College Zahid Hasan, California State University, San Bernardino Jo W. Heath, Auburn University Ken Holladay, University of New Orleans Hugh Howards, Wake Forest University Dwanye Jennings, Union University Matthias Kawaski, Arizona State University Bill Kincaid, Wilmington College Mark M. Maxwell, Robert Morris University Jack Mealy, Austin College Richard Mercer, Wright State University Victor Nestor, Pennsylvania State University Michael O’Leary, Towson University Bogdan Oporowski, Louisiana State University
Troy Riggs, Union University Ferinand Rivera, San Jose State University Mohammed Saleem, San Jose State University Tatiana Shubin, San Jose State University Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire Donald Solomon, University of Wisconsin-Milwaukee Chia Chi Tung, Minnesota State University William L. VanAlstine, Aiken Technology College Bobby Winters, Pittsburg State University Dennis Wortman, University of Massachusetts at Boston Participantes en encuestas Omar Adawi, Parkland College Siham Alfred, Raritan Valley Community College Donna J. Bailey, Truman State University Rajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State University Robert C. Brigham, University of Central Florida (retired) Thomas A. Carnevale, Valdosta State University Lenny Chastkofsky, The University of Georgia Richard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech- nical College Lloyd Davis, College of San Mateo Will-Matthis Dunn III, Montgomery College George F. Feissner, SUNY College at Cortland Bruno Harris, Brown University Celeste Hernandez, Richland College Wei-Min Huang, Lehigh University Herbert E. Kasube, Bradley University Frederick W. Keene, Pasadena City College Michael Kent, Borough of Manhattan Community Colle- ge Robert Levine, Community College of Allegheny County, Boyce Campus John Martin, Santa Rosa Junior College Michael Scott McClendon, University of Central Okla- homa Ching-Tsuan Pan, Northern Illinois University Emma Previato, Boston University S.S. Ravindran, University of Alabama Dan Rothe, Alpena Community College John T. Saccoman, Seton Hall University Mansour Samimi, Winston-Salem State University Ned W. Schillow, Lehigh Carbon Community College W.R. Schrank, Angelina College Mark R. Woodard, Furman University
Agradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Cálculo en los países de habla hispana con el apoyo del reconocido libro de Thomas. Sus valiosos comentarios han servido para enri- quecer el desarrollo de la actual edición. Espe- ramos que con el uso de este texto cumplan sa- tisfactoriamente los objetivos del programa del curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del ámbito de las Ma- temáticas. En especial deseamos agradecer el apoyo y retroalimentación que nos han dado los siguientes profesores:
COLOMBIA
Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Ana Alicia Guzmán Benjamín Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio Pulido Campo Elías Velosa Carlos Abel Álvarez Carlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Triviño Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzón Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Inés Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueñas Isabel Carlota López Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Pérez Jorge Bateman José Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Díaz Margarita Mónica Rey María Consuelo Cortés María Viviana Bernal Néstor Raúl Pachón Olga Maritza Camacho Óscar Antonio Pulido Óscar Darío Zárate
Rafael Guzmán Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutiérrez Víctor Ardila William Estrada
Fundación del Área Andina Mario Duarte Rosario Granados
INPAHU Edgar Borras
Pontificia Universidad Javeriana Abrahan Jiménez Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy Herrera Eduardo Estrada Fabio Molina Fernando Suárez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Héctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael García Iván Castro Jesús Fernando Novoa José Humberto Serrano José Severino Niño Juan Carlos Quintero Julio César Melo Lennin Reyes Liliana Ángel Liliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Mejía Luz Marina Moya Luz Mary Ariza María C. Rodríguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde Páez Nelson Urrego Nicolás Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno
Universidad Antonio Nariño Orlando Vanegas
Universidad Autónoma Gladys Villamarín Marco Tulio Millán
Universidad Católica de Colombia Ana Mercedes Márquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzón Felipe Lara Gerardo Ardila Germán Beltrán Javier Manotas Libardo Ortegón Lorenzo Zubieta Miguel Ángel Martínez Régulo Miguel Hernández Rubén Darío Castañeda
Universidad de América Edgar Rodríguez Héctor Lozano Jaime Bolaños Margarita Ruiz
Universidad de la Sabana Héctor López María Lilia Perilla
Universidad de San Buenaventura Elmer Villegas Hernán Pineda Patricia Mateus Wilson Soto
Universidad de San Martín Jaime Preciado
Universidad del Bosque Libardo Munevar
Universidad Distrital Francisco José de Caldas Abrahan Jiménez Adrián Ricardo Gómez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodríguez Janeth Galeano José María Pino José Villada Luis Martín María Astrid Cuida María del Pilar Bohórquez Nayive Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz
Universidad INCCA de Colombia Jorge Eliécer Rodríguez
Agradecimientos a los profesores
INTRODUCCIÓN En este capítulo se presenta un repaso de las ideas básicas necesarias pa- ra iniciar el estudio del cálculo. Entre los temas se incluyen el sistema de números reales, las coordenadas en el plano cartesiano, las líneas rectas, las parábolas, los círculos, las funciones y la trigonometría. También se analiza el uso de calculadoras graficadoras y de programas para graficación por computadora.
1
PRELIMINARES
C a p í t u l o
Los números reales y la recta real
Esta sección trata de los números reales, las desigualdades, los intervalos y las propieda- des del valor absoluto.
Números reales
Gran parte del cálculo se basa en las propiedades del sistema de números reales. Los nú- meros reales son aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo
En cada caso, los puntos suspensivos … indican que la sucesión de dígitos decimales con- tinúa indefinidamente. Cualquier expansión decimal posible representa un número real, aunque algunos números tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos .999… y 1.000… representan el mismo número real, 1. Una afirmación similar es válida para cualquier número con una infinita fila de nueves. Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una recta numérica, llamada recta real.
El símbolo denota tanto al sistema de números reales como a la recta real. Las propiedades del sistema de números reales se clasifican en tres categorías: pro- piedades algebraicas, propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedades algebraicas establecen que los números reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (excepto entre 0) para obtener más números reales bajo las reglas usuales de la aritmética. No es posible dividir entre 0.
–2 –1 3 0 1 2 3 4 4
1
- (^3) 2
22 = 1.4142 Á
3 =^ 0.33333^ Á
4 = -0.75000^ Á
1.
En el apéndice 4 se dan las propiedades de orden de los números reales. A partir de ellas pueden obtenerse las siguientes reglas útiles, donde el símbolo Qsignifica “implica”.
2 Capítulo 1: Preliminares
Reglas para desigualdades Si a, b y c son números reales, entonces: **1.
4.** Caso especial: 5.
6. Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces a 6 b Q 1 b (^6 1) a
a 7 0 Q (^1) a 7 0
a 6 b Q - b 6 - a
a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac
a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc
a 6 b Q a - c 6 b - c
a 6 b Q a + c 6 b + c
Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un número. Al multiplicar por un número positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por un número negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recíprocos invier- te el sentido de desigualdad cuando los números son del mismo signo. Por ejemplo, pero y En el caso del sistema de números reales, la propiedad de completez* es compleja y difícil de definir con precisión; sin embargo, es esencial para comprender el concepto de límite (capítulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficien- tes números reales para “completar” la recta real, en el sentido que no haya “vacíos” o “fal- tantes” o huecos en ella. Si el sistema de números reales no cumpliera con esta propiedad, muchos teoremas de cálculo carecerían de validez. Por conveniencia, el tema se deja para un curso más avanzado, pero el apéndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cómo se construyen los números reales. Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales.
1. Los números naturales , digamos 1, 2, 3, 4,... 2. Los números enteros , como 3. Los números racionales , es decir, aquellos que pueden expresarse como una fracción m / n , donde m y n son enteros y Por ejemplo
Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones deci- males, que son (a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo
(b) periódicas (terminan con un bloque de dígitos que se repite una y otra vez), por ejemplo, La barra indica el bloque de dígitos que se repite.
= 2.090909 Á = 2.
= 0.75000 Á = 0.75 o
= -^4
, y 57 = 57 1
n Z 0.
0, ;1, ;2, ;3, Á
- A este término también se le conoce como propiedad de densidad o de completitud.